宋 娟，曹自洋

(1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2. 蘇州科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院，江蘇蘇州215009)

含時延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞保性能控制器設(shè)計

宋 娟1，曹自洋2

(1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2. 蘇州科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院，江蘇蘇州215009)

本文綜合考慮外界噪聲輸入和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延的影響， 研究了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞保性能控制問題。 基于網(wǎng)絡(luò)傳輸環(huán)境，首先將含時變時延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模成一類帶有時變參數(shù)的閉環(huán)離散系統(tǒng)。 接著，使用Lyapunov理論，推導(dǎo)了H∞保性能指標(biāo)存在的條件，并采用線性矩陣不等式(LMI)原理， 提出了H∞保性能控制器的設(shè)計方法。 最后，通過仿真實驗表明， 該H∞保性能控制器能有效地提高網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒性，并能維持系統(tǒng)的保性能指標(biāo)，從而證明了此方法的有效性和可行性。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；時延；H∞保性能控制；Lyapunov原理；LMI

0 引言

通過實時通訊網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)被稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control system，NCS)。相對于傳統(tǒng)的點對點的控制方式，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、操作靈活、易于維護(hù)、成本低及方便實現(xiàn)遠(yuǎn)程控制等優(yōu)點。 因此網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)被廣泛地應(yīng)用于軍事、航空航天及生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域。然而，隨著通訊網(wǎng)絡(luò)的引入，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中不可避免地存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延、數(shù)據(jù)包丟失、時序錯亂等不確定因素[1-15]， 這不但會給系統(tǒng)性能帶來消極影響，甚至可能導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定。近年來，帶時延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)控制問題逐步成為控制領(lǐng)域的一個熱點[2-9]。

文獻(xiàn)[4]基于狀態(tài)中包含多重連續(xù)延時成分的延時模型，針對NCS 提出一種新的延時系統(tǒng)論方法。Luck 和Ray[5]針對帶有隨機(jī)時延的NCS提出了隊列預(yù)報延時補(bǔ)償方法，在控制器和執(zhí)行器節(jié)點端分別設(shè)立接收緩沖區(qū)，將隨機(jī)的時變延時轉(zhuǎn)化為固定延時。文獻(xiàn)[7]針對隨機(jī)延時，提出了延時估計和在線獲得延時數(shù)據(jù)的2種方法。 先利用z變換處理延時，由等價關(guān)系產(chǎn)生殘差，再通過參數(shù)設(shè)計解耦干擾向量，從而對網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的故障進(jìn)行了有效診斷。但是該文處理時延的方法只適用服從某種特殊概率分布的延時，然而實際中時延具有不確定性，往往難以統(tǒng)計。文獻(xiàn)[8]提出一種同時設(shè)計控制器和通信策略的方法，共同鎮(zhèn)定一個線性NCS，將延時和通信受限同時存在的線性NCS建模為等價的線性時變系統(tǒng)。文獻(xiàn)[9]給出了廣義被控對象的離散模型，利用Lyapunov方法給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并基于LMI 求解狀態(tài)反饋控制律。文獻(xiàn)[8-9]在對NCS進(jìn)行反饋控制器設(shè)計時，均沒有涉及到系統(tǒng)的保性能問題，然而性能指標(biāo)往往是衡量控制性能是否優(yōu)良的一項重要指標(biāo)。文獻(xiàn)[12]針對小于或等于一個采樣周期的不確定時延，研究了一類具有不確定時延的動態(tài)輸出反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制問題。文獻(xiàn)[13]針對一類具有馬爾可夫時延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，討論了其保性能控制器的設(shè)計問題。但是文獻(xiàn)[12-13]均沒有考慮外界噪聲對NCS的影響，然而，在實際應(yīng)用中，往往不可避免地存在外界噪聲，這是導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能下降的重要因素。若NCS在存在噪聲的環(huán)境下工作，由于設(shè)計的保守性，這必然將導(dǎo)致文獻(xiàn)[12-13]中所設(shè)計的控制策略失效，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此在對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行時延研究時，同時考慮如何對外界噪聲進(jìn)行抑制是一項十分重要的課題，也是在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)研究中亟待解決的難題。

本文在考慮外界噪聲輸入的情況下研究具有時變時延NCS的H∞保性能控制問題。 首先基于網(wǎng)絡(luò)傳輸環(huán)境， 將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為帶時變參數(shù)的閉環(huán)離散時間系統(tǒng)模型。 接著使用Lyapunov理論和線性矩陣不等式方法，提出基于時滯依賴法的H∞保性能控制器的設(shè)計方法。最后通過仿真實驗來驗證此方法的有效性和可行性。

1 具有時變時延的NCS建模

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)Fig.1 The basic structure of networked control systems

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是通過實時網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)的反饋控制，其基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。傳感器對被控對象進(jìn)行采樣后經(jīng)前向反饋網(wǎng)絡(luò)將采樣數(shù)據(jù)傳輸給控制器，控制器對其進(jìn)行計算后得到控制輸入信號，然后經(jīng)后向反饋網(wǎng)絡(luò)將控制輸入信號傳輸?shù)綀?zhí)行器，并作用到被控對象。圖1中，τsc表示傳感器-控制器端時延， 此時延在前向反饋網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生；τca表示控制器-執(zhí)行器端時延，此時延在后向反饋網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生?？偟恼T導(dǎo)時延為τ=τsc+τca?？紤]一類一般線性連續(xù)時間被控對象，如下：

(1)

其中x∈Rn，u∈Rm，y∈Rr和ω(t)∈L2[0，∞)∈Rp分別表示狀態(tài)、控制輸入、輸出向量及外界噪聲輸入，Ao、Bo、C和Ho為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。為了便于進(jìn)一步討論，現(xiàn)作出如下假設(shè)：

假設(shè)1 在傳輸過程中存在時變時延，時延有界且不超過采樣周期， 即τ(t)∈[0，T]，其中T為采樣周期。

假設(shè)2 傳感器采用時間驅(qū)動， 控制器和執(zhí)行器均采用事件驅(qū)動。

注1 在NCS中，小于或等于一個采樣周期的時延被稱為短時延；大于一個采樣周期的時延被稱為長時延。 本文只研究網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延為短時延的情況。

注2 主要驅(qū)動方式有2種：時間驅(qū)動和事件驅(qū)動。 所謂時間驅(qū)動是指以時間為因素的一種驅(qū)動方式。傳感器為時間驅(qū)動，則表明NCS中傳感器按照一定的周期進(jìn)行采樣，以保證采樣周期恒定。事件驅(qū)動是指以事件為因素的一種驅(qū)動方式。控制器采用事件驅(qū)動，便于控制器一旦計算出控制信號后，可立即經(jīng)后向網(wǎng)絡(luò)將控制信號傳輸?shù)綀?zhí)行器，執(zhí)行器也隨即將接收到的信號作用于被控對象，有利于增強(qiáng)信息的實時性。

基于如上假設(shè)， 在一個采樣周期內(nèi)， 系統(tǒng)的輸入不是一個單一的常數(shù)，而是一個分段的常數(shù)。在一個周期內(nèi)， 控制輸入可以表示為：

(2)

其中tk是第k個采樣時刻，τk是對應(yīng)的時延。根據(jù)以上所述，系統(tǒng)(1)可以等價于如下離散模型：

(3)

由于τk是不確定的，故B1和B2也是時變的。因此，系統(tǒng)(3)含有不確定參數(shù)，文獻(xiàn)[10]給出了式(3)的等價模型：

(4)

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測，采用如下狀態(tài)反饋：

u(k)=Kx(k)。

(5)

將式(5)帶入式(4)便可得NCS模型：

(6)

接下來，我們將討論受外界噪聲輸入影響的時延NCS的H∞保性能控制。

2 H∞ 保性能控制器設(shè)計

對于NCS系統(tǒng)(6)，本文討論使下列性能指標(biāo)極小的控制律設(shè)計：

(7)

其中S為正定對稱矩陣。

定義1 對于系統(tǒng) (6)，若存在K使得：

①當(dāng)ω(k)=0時，閉環(huán)系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，且存在常數(shù)相應(yīng)的性能指標(biāo)J0，使得相應(yīng)的性能指標(biāo)式(7)滿足J∞≤J0；

②在任意0初始條件下， 給定γ>0， 對于任意非0向量ω(k)∈L2[0，∞)，輸出y(k)滿足‖y(k)‖2≤γ‖ω(k)‖2。 則稱K為NCS系統(tǒng)(6)的H∞保性能控制增益，且γ是H∞范數(shù)。

引理1[10]對于任意矩陣W、M、N、F(t)，滿足FTF≤I，給定常數(shù)ε>0， 則如下不等式成立：

W+MF(t)N+NTFT(t)MT≤W+εMMT+ε-1NTN。

(8)

定理1 對于系統(tǒng)(6)， 給定正定對稱矩陣S，若存在正定對稱矩陣P和Q，以及常數(shù)ε>0和μ>0，滿足如下線性矩陣不等式：

(9)

則K是NCS系統(tǒng) (6)的H∞保性能控制增益，且γ是H∞范數(shù)， 系統(tǒng)的性能指標(biāo)值滿足：

J∞

證明 首先選取Lyapunov函數(shù)如下：

v(k)=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)，

(10)

其中P、Q均為正定對稱矩陣。

沿系統(tǒng)(5)的任意軌線向前作差分必有：

Δv(k)=v(k+1)-v(k)=xT(k+1)Px(k+1)-xT(k)(P-Q)x(k)-xT(k-1)Qx(k-1)=

[(A+DFEK)x(k)+(B-DFE)Kx(k-1)+Hω(k)]TP[(A+DFEK)x(k)+

(B-DFE)Kx(k-1)+Hω(k)]-xT(k)(P-Q)x(k)-xT(k-1)Qx(k-1)。

(11)

將式(11)改寫成矩陣形式為

(12)

其中：Φ11=(A+DFEK)TP(A+DFEK)-P+Q+CTC；

Φ12=(A+DFEK)TP(B-DFE)K；

Φ13=(A+DFEK)TPH；

Φ22=[(B-DFE)K]TP(B-DFE)K-Q；

Φ23=[(B-DFE)K]TPH；

Φ33=HTPH-γ2I。

(13)

根據(jù)引理1可知：

(14)

結(jié)合式(14)和Schur補(bǔ)原理可知，若式(9)成立，式(13)必成立。再根據(jù)式(11)可得：

Δv(k)+yT(k)y(k)-γ2ωT(k)ω(k)<-xT(k)Sx(k)<0。

Δv(k)<-xT(k)Sx(k)<0，

則有：

②根據(jù)0初始條件可知，v(0)=0。 由于v(∞)≥0，故有：

(15)

(16)

即‖y(k)‖2<γ‖ω(k)‖2。根據(jù)定義 1可知，NCS系統(tǒng)(6)的H∞保性能控制增益k存在，且H∞范數(shù)為γ。 定理得證。證畢。

由于矩陣不等式(9)中同時含有變量P和P-1，因此不等式(9)是非線性矩陣不等式。接下來，將對式(9)進(jìn)行變形得到定理1的充分條件。

(17)

顯然，定理2中的矩陣不等式(17)是線性的，故可以借助Matlab中的LMI工具箱求解H∞保性能控制增益。

3 仿真算例

考慮如下線性倒立擺系統(tǒng)模型：

選取采樣周期T=0.1，小于一個采樣周期的時變時延如圖2所示。選擇參數(shù)α1=1.23，α2=0.82。按文獻(xiàn)[10]的計算方式可得：

顯然滿足條件FTF

圖2 NCS中的時變時延Fig.2 The time-varying delays in NCS

圖3 本文方法所得NCS的狀態(tài)響應(yīng)Fig.3 The response of NCS by the method in this paper

圖4 文獻(xiàn)[12]中方法所得NCS的狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 The response of NCS by the method in [12]

4 總結(jié)

本文基于實時網(wǎng)絡(luò)傳輸環(huán)境將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為閉環(huán)的離散系統(tǒng)，并將時變誘導(dǎo)時延建模為一類時變參數(shù)。結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論和矩陣不等式原理，在同時考慮外界噪聲輸入和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延的影響下，提出了此類系統(tǒng)的H∞保性能控制器的設(shè)計方法。 根據(jù)仿真實驗可知，該控制方法對外界噪聲有良好的抑制作用，且能維持系統(tǒng)的保性能指標(biāo)，從而驗證了此方法的有效性。

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(責(zé)任編輯 黃 勇)

Design ofH∞Guaranteed Cost Controller for NetworkedControl Systems with Time Delay

SONG Juan1， CAO Ziyang2

(1.School of Mathematics and Physics， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou Jiangsu 215009， China；2.School of Mechanical Engineering， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou Jiangsu 215009， China)

Considering the influence of external noise input and network induced delay, theH∞guaranteed cost control of networked control systems is studied. Based on the network transmission environment, the networked control system with time-vary and delay is modeled as a kind of closed loop discrete system with time varying parameters. Then, using the Lyapunov theory, the conditions for the existence of guaranteed performance indexes ofH∞are derived. Based on the principle of linear matrix inequality (LMI), the design method of guaranteed cost controllerH∞is proposed. Finally, the simulation results show that the guaranteed cost controllerH∞can effectively improve the robustness of the network control system, and can maintain the performance index of the system. The validity and feasibility of this method are then proved.

networked control system； time delay；H∞guaranteed cost control； Lyapunov theory； linear matrix inequality

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.04.012

2016-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305286)；蘇州市科技計劃資助項目(SYN201509)

曹自洋(1979—)，男，河南駐馬店人，蘇州科技大學(xué)副教授，博士。E-mail：dukeczy@nuaa.edu.cn

TP273

A

1001-6600(2016)04-0078-07