梁 雄 賴國(guó)忠

(龍巖學(xué)院，福建 龍巖 364012)

鏡像對(duì)稱的載流導(dǎo)線磁場(chǎng)方向的分析

梁 雄 賴國(guó)忠

(龍巖學(xué)院，福建 龍巖 364012)

電磁場(chǎng)的對(duì)稱性分析在大學(xué)物理教學(xué)中有著極其重要的地位，但是現(xiàn)有的大學(xué)物理教材很少給出如何利用穩(wěn)恒磁場(chǎng)的對(duì)稱性來(lái)分析磁感強(qiáng)度的方向.文章針對(duì)此問(wèn)題應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律并結(jié)合矢量的分解更加便捷地分析了一對(duì)鏡像對(duì)稱的載流導(dǎo)線在中間面上任意點(diǎn)處的磁場(chǎng)方向：其方向必定垂直于該面.應(yīng)用這一結(jié)論可以很容易判斷出像密繞螺線管、直螺線管和圓柱形導(dǎo)線等這一類電流分布具有鏡像對(duì)稱的載流導(dǎo)線在其中間面上的磁感強(qiáng)度的方向.

畢奧-薩伐爾定律；矢量分解；鏡像對(duì)稱；磁場(chǎng)方向

大學(xué)物理教學(xué)中，電磁場(chǎng)的對(duì)稱性分析具有很重要的地位[1].有不少文獻(xiàn)探討在求解電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)如何應(yīng)用對(duì)稱性[2-4]，但很少探討具有高對(duì)稱性的載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)方向問(wèn)題.大學(xué)物理教程中的電磁學(xué)部分通常都選取無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線、無(wú)限長(zhǎng)直螺線管以及載流螺繞環(huán)作為典型例子來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用安培環(huán)路定理求解磁感強(qiáng)度[5,6]，其管內(nèi)的磁場(chǎng)大小分布容易根據(jù)載流導(dǎo)線的對(duì)稱性分析，但對(duì)于其方向卻未給出相應(yīng)的分析過(guò)程.目前有文獻(xiàn)從建立具體的坐標(biāo)系，并借助于矩陣運(yùn)算來(lái)分析螺繞環(huán)內(nèi)部的磁場(chǎng)方向[7]，但求解過(guò)程比較繁瑣.本文在應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律基礎(chǔ)上，結(jié)合矢量分解更加便捷地分析得出鏡像對(duì)稱的載流導(dǎo)線在中間面上任意點(diǎn)的磁場(chǎng)方向，然后應(yīng)用這一結(jié)論分析幾種典型載流導(dǎo)線在其中間平面上所激發(fā)的磁場(chǎng)方向.

1 鏡像對(duì)稱電流元在中間平面上的磁場(chǎng)方向

在兩線圈上對(duì)稱位置取兩電流元Idl(記作電流元1)和Idls(記作電流元2)，在中間平面α(簡(jiǎn)稱面α)上任取一點(diǎn)P，則該點(diǎn)相對(duì)這對(duì)電流元的位矢分別記作r和rs，將電流元2和電流元1連接起來(lái)，則連線與面α相交于O點(diǎn)，引入兩個(gè)輔助矢量d和rM：d的模等于這對(duì)電流元之間的距離，rM是P點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的位置矢量，具體參見(jiàn)圖1.由畢奧-薩伐爾定律可得該兩電流元在中間平面某點(diǎn)P點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

圖1 對(duì)稱電流元的輔助矢量分析示意圖

(2)

結(jié)果1：若有一對(duì)載流線圈關(guān)于某面鏡像對(duì)稱，則這兩線圈在該面所產(chǎn)生的合磁場(chǎng)的方向一定垂直該面；

結(jié)果2：若有一對(duì)載流直導(dǎo)線關(guān)于某面鏡像對(duì)稱，則這對(duì)直導(dǎo)線在該面上產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一定垂直該面.

2 典型載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)方向

2.1 環(huán)形密繞螺線管的內(nèi)部磁場(chǎng)方向

如圖2(a)所示，先以螺繞環(huán)的某一線圈所在平面作為中間平面α，我們來(lái)分析該線圈內(nèi)某點(diǎn)P的磁場(chǎng)方向，平面α的左側(cè)任取一線圈(記作線圈A)，則一定可以在面α右側(cè)的對(duì)稱位置上找到一線圈(記作線圈B)，按照結(jié)果1可知：這對(duì)線圈在P點(diǎn)的磁場(chǎng)一定垂直面α，因此環(huán)形螺線管的所有線圈在點(diǎn)P所產(chǎn)生的總磁場(chǎng)也一定與面α垂直.這就是為什么在應(yīng)用安培環(huán)路定理求其磁場(chǎng)時(shí)要選擇同心的半徑為r的圓作為閉合回路.需要對(duì)學(xué)生指明一點(diǎn)的是：圖中中間面的取法不是唯一的，所作的平面只需通過(guò)環(huán)形螺線管的環(huán)心.

同理可以分析：如圖2(b)所示的直螺線管在中間面上磁場(chǎng)方向也必定垂直該面，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直螺線管而言任意選取一線圈所在平面都可視作中間面，因此無(wú)限長(zhǎng)的載流直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)方向都平行于其軸線.

2.2 無(wú)限長(zhǎng)半柱面載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)方向

圖2 螺線管

圖3 半柱面形和柱體載流長(zhǎng)直導(dǎo)線

文獻(xiàn)[8]中穩(wěn)恒磁場(chǎng)這一章的課后有一道習(xí)題：求無(wú)限長(zhǎng)半柱面形載流導(dǎo)線在軸線OO′上的磁感強(qiáng)度，其形狀如圖3(a)所示.半柱面形導(dǎo)線可視作有許許多多的長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線所組成，倘若在面α的后側(cè)取一直導(dǎo)線(記作直導(dǎo)線A)，那么在前側(cè)對(duì)稱的位置總可以找到一直導(dǎo)線(記作直導(dǎo)線B)與直導(dǎo)線A鏡像對(duì)稱，根據(jù)結(jié)果2可知，所取的這對(duì)直導(dǎo)線在含軸的面α上的合磁場(chǎng)方向垂直于面α，由此可知整個(gè)半柱面直導(dǎo)線在面α上所產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一定垂直于面α.因此求其在軸線OO′上磁感強(qiáng)度只需求出這些長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線在軸線產(chǎn)生的磁場(chǎng)在垂直于面α的分量即可.

對(duì)于圖3(b)所示的柱體載流長(zhǎng)直導(dǎo)線而言，可按照相同的方法來(lái)分析：這種對(duì)稱電流分布在含軸的面α上的磁場(chǎng)方向必定垂直于面α.

3 結(jié)語(yǔ)

大學(xué)物理教材中應(yīng)用安培環(huán)路定理求解載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)問(wèn)題，這些載流導(dǎo)線都是具有較強(qiáng)的對(duì)稱性，“鏡像對(duì)稱分布的載流導(dǎo)線在中間平面上任意處的磁場(chǎng)方向必定垂直于該中間平面” 這結(jié)論很容易用以判斷具有鏡像對(duì)稱的典型的載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)方向問(wèn)題.

[1] 陳熙謀,趙凱華.電磁學(xué)教學(xué)中對(duì)稱性分析的積極意義[J].大學(xué)物理,2005,24(4):3-5,10.

[2] 黃亦斌,聶義友.鏡象對(duì)稱性在電磁學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)物理,2007,26(10):24-26,30.

[3] 張淑芳,趙雙義.對(duì)稱性分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用[J].徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008,23(4):72-76.

[4] 劉國(guó)鈺.淺析對(duì)稱性分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用[J].職業(yè)技術(shù)教育,2013,34(2):48-50.

[5] 梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學(xué)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004:185-191.

[6] 馬文蔚,周雨青,解希順.物理學(xué)教程(下冊(cè))[M].2版.北京:高等教育出版社,2006:89-93.

[7] 余仕成,周金華.載流長(zhǎng)直螺線管和螺繞環(huán)的磁場(chǎng)對(duì)稱性分析[J].武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào),2010,32(5):106-107.

[8] 趙近芳,王登龍.大學(xué)物理學(xué)(下)[M].4版.北京:北京郵電大學(xué)出版社,2014:54-58,85.

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ANALYSIS OF MAGNETIC FIELD DIRECTION OF CURRENT-CARRYING WIRES WITH MIRROR SYMMETRY

Liang Xiong Lai Guozhong

(Longyan University, Longyan, Fujian 364012)

The symmetry analysis of electromagnetic field plays an important role in the college physics teaching. But the current textbooks of university physics lack the analysis process of magnetic field direction, during solving a high symmetric static magnetic field by Ampere circulation theorem. Combining with vector decomposition, this paper presents the analysis of the magnetic field direction of current-carrying wires with mirror symmetry by the Biot-Savart law, and draws a conclusion that their magnetic field on a middle plane must be perpendicular to the plane. As applications of our conclusion, it is easy to judge the direction of magnetic field on the middle plane in this kind of mirror symmetry systems, such as the tightly wound solenoid, the straight solenoid, the cylindrical wire, and so on.

Biot-Savart law; vector decomposition; mirror symmetry; magnetic field direction

2015-11-02；

2016-01-31

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014J01016).

梁雄，男，講師，主要從事大學(xué)物理教學(xué)研究，研究方向?yàn)楣鈱W(xué)薄膜技術(shù).122746587@qq.com

梁雄，賴國(guó)忠. 鏡像對(duì)稱的載流導(dǎo)線磁場(chǎng)方向的分析[J]. 物理與工程，2016，26(5)：82-84.