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對(duì)圓錐曲線一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)的再思考

北京市陳經(jīng)綸中學(xué)(100020)王小平張留杰

文[1]中給出了圓錐曲線的一個(gè)漂亮的統(tǒng)一性質(zhì)：

性質(zhì)若圓錐曲線E上某點(diǎn)P的法線與對(duì)稱軸(拋物線指對(duì)稱軸，雙曲線指實(shí)軸，橢圓指長(zhǎng)軸)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作焦半徑的垂線l，垂足為L(zhǎng)，則PL的長(zhǎng)度為圓錐曲線的正焦弦長(zhǎng)的一半．

筆者發(fā)現(xiàn)，借助圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)可以對(duì)此性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)證，并且還可以將結(jié)論更加完善，現(xiàn)與大家分享．

性質(zhì)1如圖1，若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P的法線與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作焦半徑PF的垂線，垂足為L(zhǎng)．則PL=p．

圖1

證明：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作直線PQ∥x軸，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，連結(jié)DF．∵PG為法線，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)，得∠GPF=∠GPQ，又∠GPQ=∠FGP，∴∠GPF=∠PGF，∴FP=FG．由拋物線的定義得FP=PD，∴FG=PD，∴四邊形FGPD為平行四邊形，∴GP=FD，又∠GPL=∠PGF=∠DFH，∠GLP=∠DHF=90°，∴Rt△GPL≌Rt△DFH，∴PL=FH=p．

圖2

同理，在雙曲線中也可以得到：

圖3

(類比性質(zhì)2，結(jié)論不難證明，讀者可以自行完成．)

綜合性質(zhì)1,2,3可得：

圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

(1)若有心圓錐曲線E上一點(diǎn)P的法線與經(jīng)過焦點(diǎn)的對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，與另一條對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)G、M分別作焦半徑PFi(i=1,2)所在直線的垂線，垂足分別為L(zhǎng)、N，則線段PL等于圓錐曲線的正焦弦的一半，PN等于圓錐曲線的長(zhǎng)軸(雙曲線時(shí)為實(shí)軸)的一半．

(2)拋物線C上一點(diǎn)P的法線與其對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作焦半徑的垂線，垂足為L(zhǎng)，則PL等于拋物線的正焦弦的一半(或者拋物線的焦準(zhǔn)距)．

參考文獻(xiàn)

[1]劉立偉.圓錐曲線中一組漂亮的統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊，2012(9)(下半月)．

[2]圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(選修2-1)》A版，第75頁.人民教育出版社．2012.6.