☉江蘇省南京市東山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 郭俊

一花一葉一世界一思一悟一禪通
——對(duì)一道解析幾何題的探究與啟示

☉江蘇省南京市東山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 郭俊

一道好的例題往往意境深遠(yuǎn)、蘊(yùn)含著很多探究的素材，具有較大的再生能力與發(fā)展的空間.因此，我們?cè)谶x題評(píng)講時(shí)不能只看表面，要多角度地考慮問(wèn)題，使思維呈現(xiàn)輻射狀展開(kāi)，開(kāi)闊視野，拓展思維，多方位引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行剖析、探究，立足于問(wèn)題的本質(zhì)，最終提高學(xué)生的思維能力.下面本文從一道例題出發(fā)，層層深入探究，以求進(jìn)行全方位的審視與研究，旨在通過(guò)這道題的剖析收獲一片，達(dá)到“一花一葉一世界，一思一悟一禪通”的境界，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不斷走向高效，現(xiàn)整理如下，供讀者參考！

（Ⅰ）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)H（0，h）（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.

一、重視細(xì)節(jié)闖難關(guān)

分析：對(duì)于這道題目絕大多數(shù)學(xué)生在解答（1）時(shí)分析條件不仔細(xì)，運(yùn)算中推理不嚴(yán)謹(jǐn)，沒(méi)能發(fā)現(xiàn)曲線的限制條件，找出方程中變量的取值范圍，造成所求的軌跡不具備完整性，也就不能排出橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，也就引起第（2）問(wèn)解答錯(cuò)誤.對(duì)優(yōu)秀學(xué)生的訪談可知也是由于沒(méi)有正確地求得曲線的范圍，引起了第（2）問(wèn)的失誤.由此可見(jiàn)，在教學(xué)中只注重求軌跡方程的解題技巧，而不重視對(duì)本質(zhì)的揭示是一個(gè)普遍存在的嚴(yán)重問(wèn)題，必須引起我們的警示和反思.下面通過(guò)詳細(xì)的解題過(guò)程來(lái)分析：

圖1

直線A1P的方程是

直線A2Q的方程是

將l1:y=kx+h代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4khx+ 2h2-2=0.

若l1與橢圓相切，則Δ=16k2h2-4（1+2k2）（2h2-2）=0，即1+2k2=h2；

同理，若l2與橢圓相切，則

由l1、l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)包含以下四種情況：

（1）l1、l2都與橢圓相切，即1+2k2=h2，且1+2·=h2，消去h2得=k2，即k2=1，從而h2=1+2k2=3，即h=；

（2）l1過(guò)點(diǎn)A（1-，0），而l2與橢圓相切，則k·（-）+h=0，1+2·=h2，得

（3）l2過(guò)點(diǎn)，而l與橢圓相切，則-·

1+h=0，1+2k2=h2，得

（4）l1過(guò)點(diǎn)A（1-，0），而l2過(guò)點(diǎn)A（2，0），則k·

通過(guò)上面的解題過(guò)程分析，現(xiàn)在我們來(lái)分析解答中的一些細(xì)節(jié)問(wèn)題：（1）交軌問(wèn)題是否一定要解方程求交點(diǎn)？通過(guò)聯(lián)立①②的方程組，可以得到如何消去參數(shù)x1、y1？這有一定難度，部分考生會(huì)卡在此步.如果變形得到，再化簡(jiǎn)便得到軌跡E的方程，總的來(lái)說(shuō)，其實(shí)還是考查常規(guī)的相關(guān)點(diǎn)法（即代入法）.（2）解方程用到的是加減消元法，但如果我們采用乘法，由①×②可以不解方程，更快地得到結(jié)果.這種“設(shè)而不求”，體現(xiàn)了更高的數(shù)學(xué)思想與方法技巧，可見(jiàn)我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生分析時(shí)不能只注重解法，要探究其本質(zhì).解題分析時(shí)最好還補(bǔ)充這個(gè)例子：橢圓的長(zhǎng)軸為是AA，12P是橢圓上的任一點(diǎn)，求A1P與A2P的垂線的交點(diǎn)Q的軌跡.如法炮制，不解方程容易得到軌跡方程為，還是一個(gè)橢圓（如圖2）.

圖2

二、翩翩起舞相伴隨

通過(guò)對(duì)上面的“優(yōu)美解”，我們?cè)诜治鲞^(guò)程中還應(yīng)挖掘到：“點(diǎn)P（x1、y1），Q（x1、-y1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)”，“點(diǎn)H（0，h）在y軸上，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知l1和l2與y軸的夾角都是45°”，雖然“優(yōu)美”欺騙了學(xué)生，但是作為老師的我們“充分利用對(duì)稱(chēng)性”造成了不完美，但若把這兩個(gè)害群之馬“收編”回一個(gè)完整的橢圓中，卻又可以有更多發(fā)現(xiàn)，這也算是一種“補(bǔ)美”吧.從中可以發(fā)現(xiàn)挖掘：雙曲線-y2=1與橢圓+y2=1相映成趣，如圖3，這樣就考慮一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題：已知橢圓+y2=1的左右頂點(diǎn)分別是A1、A2，PQ為與A1A2垂直的弦.求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程.通過(guò)前面的方法可求得直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程是雙曲線-y2= 1，這樣就完全類(lèi)似上述方法可得一般性的結(jié)論：（1）如圖4，雙曲線=1的頂點(diǎn)分別是A1、A2，弦PQ⊥A1A2，則直線A1P與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡是橢圓=1（.2）如圖5，橢圓=1的左右頂點(diǎn)分別是A1、A2，弦PQ⊥A1A2，則直線A1P與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡是雙曲線=1；當(dāng)a＝b時(shí)，雙曲線為等軸雙曲線，橢圓變?yōu)閳A，結(jié)論仍成立.因此點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x1，-y1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此點(diǎn)P是主動(dòng)點(diǎn)，交點(diǎn)E是被動(dòng)點(diǎn).如果引入伴隨曲線的概念，可知橢圓的伴隨曲線是雙曲線，雙曲線的伴隨曲線是橢圓.

圖3

圖4

圖5

這時(shí)想起龐龍的《兩只蝴蝶》：“我和你纏纏綿綿翩翩飛，飛越這紅塵永相隨……”

雙曲線與橢圓就像翩翩起舞、形影不離的蝴蝶；更像肝膽相照、情同兩手的朋友.因此我們結(jié)合題目條件再深入探究發(fā)現(xiàn)：橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)分別是A1、A2，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線A1P與A2P分別與橢圓C1交于點(diǎn)E、T，則直線ET⊥x軸；E是橢圓C1上的動(dòng)點(diǎn)，A1E與A2E分別與雙曲線C2交于點(diǎn)P、Q，則直線PQ⊥x軸.從中可發(fā)現(xiàn)：這是美妙和諧的對(duì)偶，你中有我、我中有你，多么像息息相關(guān)、比翼雙飛的情侶！

三、以美導(dǎo)真啟新篇

數(shù)學(xué)家波利亞曾形象地指出：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們?cè)诔啥训厣L(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你就應(yīng)當(dāng)在周?chē)乙徽遥芸赡芨浇陀泻脦讉€(gè).”因此問(wèn)題解決后應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生從解決的問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用類(lèi)比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法，派生出一些常規(guī)問(wèn)題和開(kāi)放性的問(wèn)題，使問(wèn)題“成片開(kāi)發(fā)”.我們?cè)購(gòu)纳厦娴慕獯疬^(guò)程來(lái)分析，只需再深入就可以注意到：結(jié)果中出現(xiàn)了1，，這個(gè)特殊的數(shù)列，這僅是巧合嗎？通過(guò)探究可發(fā)現(xiàn)：（1，0）是橢圓的焦點(diǎn)，（，0）是橢圓的頂點(diǎn)，（，0）是雙曲線的焦點(diǎn)，其中是否隱藏了更深的奧秘？又怎能不令人浮想聯(lián)翩，產(chǎn)生窺探到底的欲望！通過(guò)探究并用幾何畫(huà)板演示可得.

探究1：過(guò)點(diǎn)H（0，h）的兩條直線l1和l2與橢圓mx2+ ny2＝1都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.

解析：點(diǎn)H（0，h）在y軸上，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知l1和l2與y軸的夾角都是45°，不妨設(shè)l1的方程是y＝x+h，代入橢圓方程mx2+ny2＝1，得mx2+n（x+h）2＝1，即（m+n）x2+2nhx+nh2-1＝0.

因?yàn)閘1與橢圓相切，所以Δ=4n2h2-4（m+n）（nh2-1）= 0，化簡(jiǎn)得，于是在橢圓=中，h2a2+b2，四個(gè)點(diǎn)連成的正方形剛好與橢圓外切，四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心為半徑的圓上.這就再次展現(xiàn)了一種對(duì)稱(chēng)美，通過(guò)這個(gè)特殊化的細(xì)節(jié)與部分無(wú)意間昭示了整體的更多隱秘.我們可探究到：橢圓的兩條切線剛好是正方形所在直線，這是特殊的，能不能去掉這種特殊要求？

首先回到最對(duì)稱(chēng)的曲線——圓中，易知圓x2+y2＝r2的相互垂直的兩條切線的交點(diǎn)E的軌跡還是圓，方程是x2+ y2＝2r2.對(duì)于橢圓呢？

探究2：求證：橢圓C1的相互垂直的兩條切線的交點(diǎn)T的軌跡是以點(diǎn)O為圓心為半徑的圓.

證明：如圖6，設(shè)交點(diǎn)T（x0，y0），當(dāng)過(guò)點(diǎn)E的切線l1不垂直于x軸時(shí)，其方程為y-y0＝k（x-x0），k為斜率，代入橢圓方程，得（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2［（y0-kx0）2-b2］＝0.

圖6

因?yàn)閘1與橢圓相切，所以Δ＝a4k2（y0-kx0）2-（a2k2+b2）a2·［（y0-kx0）2-b2］＝0，化成關(guān)于k的二次方程（a2-）k2+ 2x0y0k+b2-＝0.

因?yàn)辄c(diǎn)T在橢圓外，且過(guò)點(diǎn)T的切線不垂直于x軸，

所以方程恒有兩個(gè)根，就是兩條切線的斜率k1、k2.

因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以k1k2＝-1，所以b2-＝ -（a2-x2

0）.

以x、y代替x0，y0，得到x2+y2＝a2+b2.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)T的一條切線垂直于x軸時(shí)，和它垂直的另一條切線必垂直于y軸，它們的交點(diǎn)為（a，b），（-a，b），（a，-b），（-a，-b），仍滿足x2+y2＝a2+b2.

反之，若點(diǎn)T（x1，y1）是圓x2+y2＝a2+b2上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T可作橢圓C1的兩條切線l1和l2.

當(dāng)l1、l2中有一條無(wú)斜率時(shí)，易證l1⊥l2；

當(dāng)l1、l2都有斜率時(shí)，由Δ＝0整理得（a2-）k2+2x1y1k+ b2-＝0，該方程的兩個(gè)根就是兩條切線的斜率k1、k2，而+＝a2+b2，故k1k2＝-1，所以l1⊥l2.

現(xiàn)在來(lái)看一個(gè)有趣的問(wèn)題：已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓在直角坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)移動(dòng)，使它始終與兩坐標(biāo)軸相切.試求橢圓中心P的軌跡.

此問(wèn)題若靜止地從固定坐標(biāo)軸的角度分析是有困難的.但將兩坐標(biāo)軸看成橢圓的動(dòng)切線移動(dòng)，問(wèn)題就變?yōu)椤扒髾E圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡”問(wèn)題.利用探究2的結(jié)果：不論切線如何移動(dòng)，其交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離始終等于■a2+b2，由此可見(jiàn)原問(wèn)題的橢圓中心P的軌跡為圓弧.通過(guò)進(jìn)一步探究繼續(xù)可得：

探究3：設(shè)橢圓+=1的兩條切線的夾角為定值α，當(dāng)α≠90°時(shí)，求兩條切線的交點(diǎn)T的軌跡.（所求軌跡方程是（x2+y2-a2-b2）2tan2α=4b2x2+4a2y2-4a2b2）

探究5：拋物線y2＝4ax的兩條切線PA、PB的夾角為定值α?xí)r，求交點(diǎn)P的軌跡.

四、鑒古知今備高考

俗話說(shuō)：經(jīng)驗(yàn)豐富的人讀書(shū)用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙的背面.作為高考前線的數(shù)學(xué)教師，同樣也要一只眼睛看到好題，另一只眼睛看到背面，才能真正做到鑒古知今，繼往開(kāi)來(lái).如下+=1題：給定橢圓C：（a＞b＞0），稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，半徑為r=的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為（.Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（Ⅱ）P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l1、l2，使得l1、l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1、l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M、N.（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l1、l2的方程；（2）求證：|MN|為定值.

其實(shí)上，探究2與探究4得到的結(jié)果是前輩數(shù)學(xué)家早已得到的，它們的軌跡分別稱(chēng)為橢圓、雙曲線的準(zhǔn)圓，也稱(chēng)蒙日?qǐng)A（蒙日，Monge，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他提出一個(gè)難題：畫(huà)一個(gè)圓，使其與三個(gè)已知圓正交.這是歷史上最有名的100個(gè)初等數(shù)學(xué)難題之一）.

從中也可以看出高考（或模擬）試題總有意無(wú)意地從經(jīng)典的解析幾何問(wèn)題中尋找命題靈感，

五、對(duì)今后教學(xué)的啟示

歷年來(lái)解析幾何問(wèn)題一直是高考“重頭戲”，一般情況下它的解答方法靈活多變且運(yùn)算能力要求高，特別是在利用代數(shù)方法求解的過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)“過(guò)程冗長(zhǎng)、運(yùn)算煩瑣”，而令我們“望而生畏、不戰(zhàn)而退”.因此，我們?cè)谄綍r(shí)解決解析幾何問(wèn)題時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“找路”、學(xué)會(huì)探究.正所謂“水本無(wú)華，相蕩而成漣漪，石本無(wú)火，相擊而發(fā)靈火.”因此在進(jìn)行解析幾何解題教學(xué)的過(guò)程中不要讓自己的精彩講解扼殺了屬于學(xué)生的一切.要以探究為徑，不斷啟發(fā)點(diǎn)燃學(xué)生的思維火發(fā)，暴露學(xué)生的思維過(guò)程，展示學(xué)生的思維成果，放手大膽地讓學(xué)生去進(jìn)行探究，把原本屬于學(xué)生的時(shí)間還給學(xué)生，讓他們來(lái)探究、來(lái)領(lǐng)悟.［1］比如本文從一道例題出發(fā)，通過(guò)猜想、驗(yàn)證和代數(shù)證明，將結(jié)論進(jìn)行層層推進(jìn)，形成了一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論，這樣對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)是高效的，因此教師在平時(shí)的教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)：（1）教師要善于捕捉探究資源，教師在教學(xué)中要用“研究者的眼光”去思考問(wèn)題，將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“再創(chuàng)造”，要有敏銳的觀察力，使探究性教學(xué)成為常態(tài)教學(xué)；（2）教師要學(xué)會(huì)綜合歸納.對(duì)于相互聯(lián)系的問(wèn)題，教師不僅要學(xué)會(huì)從不同側(cè)面分析，更要在不同側(cè)面分析的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)綜合，從整體上得到共性，否則，遇題做題，不經(jīng)過(guò)創(chuàng)造，難以達(dá)到一般的認(rèn)識(shí)，對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)只能是停留在表面程度上；（3）做數(shù)學(xué)研究不要輕易放棄自己的每個(gè)小小發(fā)現(xiàn)，通過(guò)類(lèi)似研究的方式進(jìn)行深度探究，或許它會(huì)給辛勤的數(shù)學(xué)研究者一個(gè)意想不到的驚喜.

總之，解析幾何的教學(xué)如山如水，“一山一水一世界，一思一悟一禪通”.在這個(gè)過(guò)程中如果始終能以學(xué)生的思考、領(lǐng)悟?yàn)橹骶€，不斷以禪意踐行“解題教學(xué)”之旅，引導(dǎo)學(xué)生守住“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的耐性，不斷引領(lǐng)學(xué)生在解題中向悟法、得法、觸類(lèi)旁通、完善認(rèn)知等方面靠攏，才可以讓學(xué)生抵達(dá)“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的最高境界.這樣的教學(xué)讓學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)，更重要的是擁有智慧！

1.林生.從一到高考題的開(kāi)發(fā)與利用管窺解題教學(xué)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2013（12）.F