盧定波

在求銳角三角函數(shù)值時，有的同學由于對銳角三角函數(shù)的定義理解不清，或特殊角的三角函數(shù)值混淆，或胡編亂湊，或在非直角三角形中直接求解，或想當然，或?qū)忣}錯誤等，易出現(xiàn)一些自己察覺不到的錯誤，走進了解題的誤區(qū).為了讓同學們不重蹈覆轍，現(xiàn)舉例加以剖析，幫同學們學好這一重要知識點.

一、 定義理解不清

【錯解】cosA==，選擇C.

【分析】學生誤認為cosA=而出錯.

【正解】∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，根據(jù)勾股定理AC==4，∴cosA==.故應(yīng)該選擇D.

二、 特殊角的三角函數(shù)值混淆

例2 計算cos30°的值是______.

【錯解】cos30°=×

=.

【分析】特殊角30°的正弦值與余弦值混淆不清. 熟記三角函數(shù)的特殊值是解題的關(guān)鍵.三角函數(shù)如下表：

【正解】cos30°=×=.

三、 胡編亂湊出錯

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=_______.

【錯解】因為sinA===，所以sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.實際上，∠A的一半的正弦值與∠A的正弦值的一半是不相等的.如sin90°=1，而sin45°=，而不等于1的一半.本題正確的解法是先求得的值，然后再求其正弦值.

【正解】因為sinA===，所以∠A=60°，所以=30°，所以sin=.

四、 在非直角三角形中直接求解出錯

例4 在如圖2所示的4×8網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C在格點上，則tan∠CAB=_______.

【錯解】由勾股定理得BC==5，AB=3，tan∠CAB==.

【分析】錯解忽略了求一個銳角的三角函數(shù)必須將這個角放在直角三角形中進行求解這一前提條件，而△ABC是非直角三角形.

【正解】過點C作CD⊥AB交AB的延長線于點D，如圖3所示.在Rt△ADC中，CD=4，AD=6，

所以tan∠CAB===.

五、 想當然出錯

例5 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別a、b、c，且a=13，b=12，c=5，求sin∠B.

【錯解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知sin∠B==.

【分析】從sin∠B=>1來看，計算是錯誤的，分析錯解的原因，主要是受思維定勢的影響，不能靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義.要求sin∠B的值，需要先確定△ABC是否直角三角形，如果是，應(yīng)先確定直角和∠B的對邊，然后再利用定義求解.

【正解】因為b2+c2=a2，所以△ABC為直角三角形且∠A=90°，所以sin∠B==.

六、 審題出錯

例6 如圖4，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cosA=，BE=4，則tan∠DBE的值是_______.

【錯解】在Rt△ADE中，cosA==，所以AE=3，AD=5，由勾股定理得DE=4.所以tan∠DBE==.

【分析】直角三角形三邊的比是3∶4∶5，不一定三邊的長分別就是3，4，5.而是設(shè)三邊的長分別為3x，4x，5x，再利用其他條件進行求解比較合適.在本題中，由cosA==而“牽強”地認為AE=3，AD=5，這是錯誤的. 本題的另一錯誤是誤認為tan∠DBE=，把求tan∠DBE當作求tan∠DAE.

【正解】∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，

∴可設(shè)AD=AB=5x，AE=3x，

則5x-3x=4，x=2，

即AD=10，AE=6，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

DE==8，

在Rt△BDE中，tan∠DBE===2.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區(qū)大中鎮(zhèn)新團初級中學）