朱秋萍

摘 要：隨著課程改革的不斷深入，教師在教學(xué)過程中越來越重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，全力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，重視提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 本文就“數(shù)系的擴(kuò)充”教學(xué)與點評進(jìn)行探究.

關(guān)鍵詞：數(shù)系的擴(kuò)充；自主學(xué)習(xí)；能力提升

在課題為“數(shù)系的擴(kuò)充”的公開課教學(xué)中，一位教師的課堂教學(xué)受到了聽課教師的一致好評，現(xiàn)將課堂教學(xué)過程敘述如下：

[?] 教學(xué)過程

教師：數(shù)系是在客觀實際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要中不斷擴(kuò)大的，今天我們一起來復(fù)習(xí)和研究數(shù)系的擴(kuò)充.

問題1：在自然數(shù)集中方程x+4=0有解嗎？如何使方程有解？

學(xué)生：在自然數(shù)集中方程無解，為使方程有解，科學(xué)家們引進(jìn)了負(fù)數(shù)，將數(shù)系由自然數(shù)擴(kuò)充為整數(shù).

教師：這就是數(shù)的第一次擴(kuò)充.

教師板書：自然數(shù)

負(fù)整數(shù)→整數(shù).

問題2：在整數(shù)集中方程3x-2=0有解嗎？如何使方程有解？

學(xué)生：在整數(shù)集中方程無解，為使方程有解，科學(xué)家們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)，這樣將數(shù)系由整數(shù)擴(kuò)充為有理數(shù).

教師：這就是數(shù)的第二次擴(kuò)充.

教師板書：整數(shù)

分?jǐn)?shù)→有理數(shù).

問題3：在有理數(shù)集中方程x2-2=0有解嗎？如何使方程有解？

學(xué)生：在有理數(shù)集中方程無解，為使方程有解，科學(xué)家們引進(jìn)了實數(shù)，這樣將數(shù)系由有理數(shù)擴(kuò)充為實數(shù).

教師：這就是數(shù)的第三次擴(kuò)充.

教師板書：有理數(shù)

無理數(shù)→實數(shù).

問題4：在實數(shù)集中方程x2+1=0有解嗎？為什么？

學(xué)生：在實數(shù)集中無解，因為任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù).

教師：如何使方程有解？請同學(xué)們討論解答.

學(xué)生：類比以往數(shù)系的擴(kuò)充，需引進(jìn)一個新數(shù).

教師：很好，引進(jìn)的數(shù)，必需滿足什么條件？

學(xué)生：必須使方程x2+1=0有解.

教師：很好. 科學(xué)家引進(jìn)一個數(shù)i，規(guī)定i2=-1（教師板書），這樣方程x2+1=0就有解了. 為什么用i呢？它是虛構(gòu)出來的，是imaginary的縮寫，我們稱它為虛數(shù)單位. 新引進(jìn)的數(shù)必需融入原有的數(shù)集，i可以與實數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.

問題5：寫出i與實數(shù)相加、相乘所得的一些不同數(shù).

學(xué)生板書了如下一些數(shù)：2+3i，4i，6+i，-i.

問題6：以上這類數(shù)我們可以統(tǒng)一用哪種代數(shù)式來表示？

學(xué)生：可以用a+bi（a∈R，b∈R，且b≠0）的形式來表示.

教師：由于b≠0，所以這些數(shù)都是實數(shù)之外的數(shù)，我們把它稱為什么數(shù)？（教師稍作停頓后）稱為虛數(shù)，這樣，實數(shù)就被擴(kuò)充了.

問題7：實數(shù)是否也能表示成a+bi的形式？請用實例給予說明.

學(xué)生：能，實例如下（學(xué)生上黑板板演），-5=-5+0i，0=0+0i，2=2+0i.

問題8：實數(shù)也能表示成a+bi的形式，這個時候a，b的取值范圍怎樣？

學(xué)生：a∈R，b=0.

教師：因為實數(shù)和虛數(shù)都可以表示成a+bi（a∈R，b∈R）的形式，我們把形如a+bi（a∈R，b∈R）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，記為z，這樣實數(shù)系就擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系.

教師板書：實數(shù)

虛數(shù)→復(fù)數(shù).

問題9：下面我們來對復(fù)數(shù)進(jìn)行研究.復(fù)數(shù)集包含哪兩個數(shù)集？

學(xué)生：實數(shù)集和虛數(shù)集.

問題10：一個復(fù)數(shù)a+bi（a∈R，b∈R）何時為實數(shù)？何時為虛數(shù)？

學(xué)生：當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)z為實數(shù)；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù).

教師：我們給a和b取個什么名字好呢？（讓學(xué)生思考片刻后）a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.

當(dāng)a=0，b≠0時，這樣的一個特殊的復(fù)數(shù)取個什么名字好呢？

學(xué)生們你一言我一語.

教師：因為 b≠0，所以應(yīng)是一個虛數(shù)，又因為a=0，所以稱z為純虛數(shù).

教師請同學(xué)們自己列舉出虛數(shù)和純虛數(shù)，并要求說出其實部和虛部.

學(xué)生舉例后，教師繼續(xù)提問.

問題11：你能用韋恩圖表示復(fù)數(shù)集合、實數(shù)集合、虛數(shù)集合和純虛數(shù)集合之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生思考后，板演如下

教師：請同學(xué)們完成以下各題.

例1 a=0是復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)的什么條件？

b≠0是復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)的什么條件？

例2 完成下列表格：

類別欄請?zhí)顚崝?shù)或虛數(shù)或純虛數(shù).

例3 實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是：

（1） 實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

教師讓學(xué)生獨(dú)立解答了以上例題.

例4 實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是6+2i？

學(xué)生獨(dú)立解答了此題.

問題12：兩個復(fù)數(shù)a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）的充要條件是什么？

學(xué)生：a=c，

b=d.

老師：用文字語言如何表述？

學(xué)生：兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件：它們的實部和虛部分別相等.

教師：由此可知：復(fù)數(shù)是由一對有序?qū)崝?shù)唯一確定的.

例5 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求實數(shù)x，y的值.

學(xué)生上黑板輕松地解答了此題.

問題13：由此題的解答你學(xué)到了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生：轉(zhuǎn)化思想，即復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化.

問題14：通過本課的學(xué)習(xí)，你有何收獲？你能形成有關(guān)知識、方法的結(jié)構(gòu)圖嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師讓學(xué)生合作討論，最后共同完成結(jié)構(gòu)圖：

知識：復(fù)數(shù)（a+bi，i2=-1）實數(shù)（b=0），

虛數(shù)（b≠0）純虛數(shù)（a=0，b=0），

非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）

方法：復(fù)數(shù)問題的解決[轉(zhuǎn)化] [ ]實數(shù)問題解決.

[?] 點評

新課程改革十分重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，而在新知的教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生能力？本節(jié)課堂教學(xué)進(jìn)行了有益的嘗試，教師通過引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)新知識，生成新知識，主動運(yùn)用新知識，從而讓學(xué)生成為知識的創(chuàng)造者、問題的解決者，學(xué)生的能力在活動中得到提升.

1. 引導(dǎo)學(xué)生主動提出新知識

新知識的產(chǎn)生源于生產(chǎn)生活實際，源于學(xué)科內(nèi)部矛盾的發(fā)生和發(fā)展，通過揭示新知識產(chǎn)生的原因，引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題，提出新知識，從而有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 本課例中，教師讓學(xué)生思考問題：在實數(shù)集中方程x2+1=0有解嗎？如何使方程有解？引導(dǎo)學(xué)生通過類比以往數(shù)系擴(kuò)展的經(jīng)驗，自己提出需要引進(jìn)新數(shù)，以便矛盾的解決. 這樣的教學(xué)，讓學(xué)生弄清了知識的來龍去脈，易于學(xué)生理解和接受新知識.

2. 引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)新知識

讓學(xué)生自己建構(gòu)知識，成為知識的發(fā)現(xiàn)者，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，增加學(xué)生創(chuàng)新的信心；讓學(xué)生自己建構(gòu)知識，還有利于學(xué)生牢固掌握知識，心理學(xué)研究表明，學(xué)生自己得出的知識印象深刻. 為了使學(xué)生自主建構(gòu)知識，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心設(shè)計好教學(xué)的鋪墊，可以設(shè)計由具體到抽象，由特殊到一般，由一般到特殊等的問題情境，讓學(xué)生自然而然地得出新知識. 本課例中，教師通過具體實數(shù)與i相乘，得到特殊形式的數(shù)，從而讓學(xué)生抽象出新數(shù)的形式a+bi；教師又讓學(xué)生通過實例歸納得出實數(shù)也能表示成a+bi的形式，從而得出復(fù)數(shù)的概念，自然地將實數(shù)集擴(kuò)展為復(fù)數(shù)集. 在對復(fù)數(shù)外延的研究中，教師通過將問題特殊化，讓學(xué)生自己將復(fù)數(shù)集分解成實數(shù)集、虛數(shù)集，虛數(shù)集又可分解成純虛數(shù)集和非純虛數(shù)集. 在對復(fù)數(shù)相等條件的研究中，教師通過讓學(xué)生解決特殊的具體問題，從而得出一般性的結(jié)論.

3. 引導(dǎo)學(xué)生主動運(yùn)用新知識

有關(guān)新知識運(yùn)用的例題是學(xué)生第一次接觸的問題，是聽教師講解，還是讓學(xué)生自主解答？一些教師的處理往往是以教師講解為主. 而有關(guān)新知識運(yùn)用的例題，往往是為理解新知識、鞏固新知識服務(wù)的，其難度往往不大，讓學(xué)生自主解答是可能的；讓學(xué)生自主解答比起教師講解來更能加深學(xué)生對知識的印象. 例題的編擬，可由教師完成，也可由學(xué)生完成. 而讓學(xué)生編擬例題有助于學(xué)生深刻理解知識，因為只有把握了知識的關(guān)鍵本質(zhì)，才能提出問題. 來自于學(xué)生的問題，其他學(xué)生更有解答的興趣，可調(diào)動學(xué)生解決問題的積極性. 本課例中，教師讓學(xué)生自己舉出虛數(shù)、純虛數(shù)的實例，并要求說出實部和虛部，有利于加深對新概念的理解，對例1～例5的解答，讓學(xué)生主動完成，提高了教學(xué)的效果.

4. 引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識網(wǎng)

課堂教學(xué)的小結(jié)要做到突出教學(xué)重點，以使學(xué)生掌握本課的知識要點和思想方法. 常見的課堂教學(xué)小結(jié)往往是這樣進(jìn)行的，教師提問：學(xué)了本節(jié)課你有哪些收獲？學(xué)習(xí)了哪些知識？收獲了哪些思想方法？然后讓學(xué)生回答，教師羅列要點.這樣的小結(jié)，知識往往顯得很零散，不利于學(xué)生記憶掌握.而在本課例中，教師讓學(xué)生構(gòu)建知識和方法的結(jié)構(gòu)圖，有利于學(xué)生理清知識間的聯(lián)系，提高運(yùn)用知識解決問題的能力.