蔣陽(yáng)升 吳君子 朱娟秀 胡 路

(1.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院,610031,成都; 2.綜合運(yùn)輸四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,610031,成都;3.綜合交通運(yùn)輸智能化國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室,610031,成都∥第一作者，教授)

地鐵候車(chē)系統(tǒng)的PH/PH[0，C1]/1/C 批量服務(wù)排隊(duì)模型*

蔣陽(yáng)升1,2,3吳君子1,2,3朱娟秀1,2,3胡 路1,2,3

(1.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院,610031,成都; 2.綜合運(yùn)輸四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,610031,成都;3.綜合交通運(yùn)輸智能化國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室,610031,成都∥第一作者，教授)

在考慮客流到達(dá)和服務(wù)隨機(jī)性的基礎(chǔ)上,首先驗(yàn)證了理論上可以逼近任意分布的PH分布能很好地?cái)M合客流到達(dá)和服務(wù)規(guī)律,然后建立了描述地鐵候車(chē)排隊(duì)現(xiàn)象的PH/PH[0,C1]/1/C批量服務(wù)排隊(duì)模型,并采用AnyLogic軟件仿真驗(yàn)證了模型的通用性和準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，針對(duì)9組不同到達(dá)率和變異系數(shù)的客流數(shù)據(jù),仿真模擬和排隊(duì)模型計(jì)算的各項(xiàng)指標(biāo)的最大絕對(duì)誤差在0.01～6.06之間,最大相對(duì)誤差在0.91%～7.69%之間,并且模型結(jié)果均在仿真結(jié)果的95%置信區(qū)間內(nèi)，故該模型可較好地描述地鐵候車(chē)排隊(duì)現(xiàn)象。

地鐵候車(chē)系統(tǒng); PH/PH[0,C1]/1/C排隊(duì)模型; 仿真驗(yàn)證

First-author′s address School of Transportation and Logistics, Southwest Jiaotong University,610031,Chengdu,China

車(chē)站是地鐵的錨固點(diǎn),承擔(dān)乘客的集散和中轉(zhuǎn)功能。候車(chē)系統(tǒng)連接著地鐵車(chē)站和列車(chē),是重要的集散設(shè)施,其規(guī)劃設(shè)計(jì)直接影響到車(chē)站的服務(wù)水平和集散效率,進(jìn)而影響乘客的出行選擇?，F(xiàn)有地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范[1-2]采用遠(yuǎn)期高峰15 min內(nèi)每列車(chē)的上車(chē)客流量乘以設(shè)計(jì)人均面積再除以站臺(tái)有效長(zhǎng)度的方法計(jì)算候車(chē)系統(tǒng)排隊(duì)區(qū)域的有效寬度,盡管方便應(yīng)用,但由此配置的候車(chē)系統(tǒng)常不能滿足運(yùn)營(yíng)需求,甚至在未達(dá)到遠(yuǎn)期高峰客流的非高峰時(shí)期,也經(jīng)常出現(xiàn)過(guò)度擁擠和乘客候車(chē)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的現(xiàn)象,極大地降低了車(chē)站服務(wù)水平和集散效率,在某些情況下還會(huì)成為車(chē)站的安全隱患。究其原因,筆者發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有設(shè)計(jì)規(guī)范[1-2]本質(zhì)上相當(dāng)于采用客流到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間均服從定長(zhǎng)分布D的D/D[0,C1]/1/C排隊(duì)模型描述候車(chē)系統(tǒng),忽略了客流到達(dá)的隨機(jī)性(即需求的波動(dòng)性)和服務(wù)的隨機(jī)性(即服務(wù)的波動(dòng)性),導(dǎo)致其無(wú)法準(zhǔn)確地描述候車(chē)系統(tǒng)的排隊(duì)現(xiàn)象,從而樂(lè)觀估計(jì)了系統(tǒng)的排隊(duì)性能。文獻(xiàn)[3-4]對(duì)現(xiàn)有地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范進(jìn)行了修正,但本質(zhì)上仍為采用D/D[0,C1]/1/C排隊(duì)模型描述候車(chē)系統(tǒng)。而事實(shí)上,候車(chē)系統(tǒng)是一個(gè)客流到達(dá)間隔隨機(jī)和服務(wù)時(shí)間隨機(jī)的排隊(duì)系統(tǒng)[5]。因此,上述排隊(duì)模型對(duì)候車(chē)系統(tǒng)的描述并不準(zhǔn)確,由此設(shè)計(jì)的候車(chē)系統(tǒng)不能滿足需求和服務(wù)的波動(dòng)性。

PH分布(phase-type)因理論上可無(wú)限逼近任意非負(fù)隨機(jī)變量,且保留了指數(shù)分布易于處理的特性,從而具有良好的通用性、解析性和可計(jì)算性。其已經(jīng)取代了指數(shù)分布在隨機(jī)模型解析處理中的地位(指數(shù)分布可視為特殊的PH分布),成為排隊(duì)系統(tǒng)分析、可靠性建模、通信系統(tǒng)效能分析與優(yōu)化等領(lǐng)域的重要的隨機(jī)分析工具[6]。因此,大量基于PH分布的排隊(duì)模型開(kāi)始涌現(xiàn),如PH/PH/1[7]、PH/PH/1/C[8]及其網(wǎng)絡(luò)模型、PH/PH/C[9]和PH/PH/C1/C[10]等,它們可準(zhǔn)確地描述大部分排隊(duì)現(xiàn)象,從而為從排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)角度準(zhǔn)確描述地鐵車(chē)站交通服務(wù)設(shè)施系統(tǒng)提供了可能。

本文根據(jù)地鐵車(chē)站候車(chē)系統(tǒng)的客流到達(dá)和服務(wù)特性,建立相應(yīng)的PH排隊(duì)模型來(lái)準(zhǔn)確描述地鐵候車(chē)系統(tǒng)的排隊(duì)現(xiàn)象,從而為該系統(tǒng)乃至整個(gè)車(chē)站交通服務(wù)設(shè)施系統(tǒng)的合理規(guī)劃設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

1 建模前準(zhǔn)備

1.1 PH分布簡(jiǎn)介

盡管PH分布理論上可無(wú)限逼近任意非負(fù)隨機(jī)變量(例如排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間),但卻需要確定多達(dá)m2+m個(gè)參數(shù)(m一般不小于2),而在車(chē)站的規(guī)劃設(shè)計(jì)階段,給出的客流到達(dá)和服務(wù)的數(shù)據(jù)資料有限,無(wú)法標(biāo)定所有參數(shù),從而不便于實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)[11-12]采用基于數(shù)據(jù)的到達(dá)時(shí)間均值(XE)和變異系數(shù)c2即可完全確定的簡(jiǎn)化PH分布擬合一般的非負(fù)隨機(jī)變量取得了很好的效果,為采用PH排隊(duì)模型進(jìn)行車(chē)站交通服務(wù)設(shè)施的配置提供了可能。

1.2 系統(tǒng)描述

根據(jù)我國(guó)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]和美國(guó)TCRP 100[13]“站臺(tái)設(shè)計(jì)需保證侯車(chē)時(shí)候上車(chē)乘客盡量不超出乘降區(qū),以避免干擾下車(chē)乘客的流通”的規(guī)定,以及列車(chē)成批搭載乘客的事實(shí),擬將候車(chē)系統(tǒng)抽象為有容量限制的A/B[0,C1]/1/C隨機(jī)批量服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)。其中，A為乘客到達(dá)時(shí)間間隔分布；B為服務(wù)時(shí)間分布；C1為列車(chē)一次性批量服務(wù)的最大人數(shù)；C為系統(tǒng)容量,等于乘降區(qū)候車(chē)區(qū)域的容量C2與C1之和。事實(shí)上,我國(guó)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]和美國(guó)《公共交通通行能力和服務(wù)質(zhì)量手冊(cè)》[2]計(jì)算乘降區(qū)寬度時(shí),已將候車(chē)系統(tǒng)默認(rèn)為A/B[0,C1]/1/C排隊(duì)系統(tǒng),只不過(guò)A和B采用的分布形式為定長(zhǎng)分布D,具有簡(jiǎn)單的解析解。

乘客等候列車(chē)時(shí)一般在站臺(tái)的乘降區(qū)發(fā)生排隊(duì)現(xiàn)象,且當(dāng)?shù)秸境丝屯瓿上萝?chē)時(shí),候車(chē)乘客排隊(duì)最長(zhǎng),呈扇形分布在車(chē)門(mén)兩側(cè)的區(qū)域 (稱(chēng)為排隊(duì)區(qū)域,即乘降區(qū)扣除下車(chē)通道),因此研究此時(shí)的排隊(duì)狀況更有利于站臺(tái)的規(guī)劃設(shè)計(jì)。

對(duì)于圖1所示的站臺(tái)乘降區(qū),乘客以時(shí)間間隔分布A到達(dá)進(jìn)行候車(chē);列車(chē)以發(fā)車(chē)時(shí)間間隔分布B1到達(dá)車(chē)站且又以時(shí)間分布B2完成了開(kāi)門(mén)和下車(chē);此時(shí),候車(chē)乘客開(kāi)始上車(chē)(假設(shè)乘客先下后上,符合高峰期的運(yùn)行情況),直到當(dāng)前乘客全部上完或達(dá)到最大上車(chē)乘客數(shù)C1時(shí),列車(chē)門(mén)關(guān)閉,駛離站臺(tái)。

圖1 地鐵候車(chē)系統(tǒng)

如果把相鄰兩趟列車(chē)出現(xiàn)最長(zhǎng)排隊(duì)(為符合站臺(tái)規(guī)劃設(shè)計(jì)的要求,假設(shè)不超過(guò)排隊(duì)區(qū)域的容量C2)時(shí)間點(diǎn)(即下車(chē)完成或上車(chē)開(kāi)始的瞬間)的間隔時(shí)間作為服務(wù)時(shí)間,相應(yīng)的分布記為B(由B1和B2決定,當(dāng)B2為定長(zhǎng)分布時(shí),B即為B1),則所有的候車(chē)乘客都需要等待上一服務(wù)完成(到站乘客完成下車(chē))才能開(kāi)始自己的服務(wù)(當(dāng)前乘客開(kāi)始上車(chē)),且列車(chē)一次性服務(wù)的候車(chē)乘客數(shù)是批量的,為當(dāng)前乘客數(shù)與最大上車(chē)乘客數(shù)的較小者(取值區(qū)間為[0,C1]，當(dāng)取值為0時(shí),可認(rèn)為列車(chē)進(jìn)入一個(gè)與B同分布的休假步長(zhǎng)V,也可認(rèn)為列車(chē)在為一虛擬的乘客服務(wù))。上述過(guò)程既符合實(shí)際運(yùn)行情況,也符合了批量服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)的規(guī)則。因此,候車(chē)系統(tǒng)的客流與列車(chē)可抽象為乘客到達(dá)時(shí)間間隔分布為A、服務(wù)時(shí)間分布為B、系統(tǒng)容量C為C1+C2、一次性最大批量服務(wù)的乘客數(shù)為C1的排隊(duì)系統(tǒng),簡(jiǎn)記為A/B[0,C1]/1/C,C=C1+C2批量服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)。

1.3 候車(chē)排隊(duì)系統(tǒng)到達(dá)間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布數(shù)據(jù)擬合

1.3.1 到達(dá)間隔數(shù)據(jù)擬合

對(duì)于候車(chē)系統(tǒng)的客流到達(dá)間隔分布,文獻(xiàn)[14]已驗(yàn)證了簡(jiǎn)化的PH分布比其它分布(均勻分布、正態(tài)分布、定長(zhǎng)分布、指數(shù)分布、伽馬分布、威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布)可以更好地對(duì)其進(jìn)行擬合。因此本文在此不做贅述。

1.3.2 服務(wù)時(shí)間數(shù)據(jù)擬合

候車(chē)排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)時(shí)間定義為:相繼到達(dá)的列車(chē)的第一個(gè)上車(chē)乘客的上車(chē)時(shí)間差。選取深圳市羅球、羅湖和華強(qiáng)等地鐵站進(jìn)行調(diào)查,獲得有明顯服務(wù)臺(tái)設(shè)施排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間數(shù)據(jù),然后進(jìn)行數(shù)據(jù)的隨機(jī)性檢驗(yàn),最后采用PH分布、均勻分布、正態(tài)分布、定長(zhǎng)分布、指數(shù)分布、伽馬分布、威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)其進(jìn)行擬合。擬合效果如圖2所示。

圖2 候車(chē)排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間分布擬合

從圖2中可以看出,簡(jiǎn)化的PH分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布、威布爾分布和正態(tài)分布均可以很好地?cái)M合候車(chē)系統(tǒng)的服務(wù)規(guī)律(各分布的累計(jì)概率函數(shù)的平均可決系數(shù)分別為96.74%、96.12%、96.16%、95.03%和94.59%),而定長(zhǎng)分布的平均可決系數(shù)為72.93%。

1.4 候車(chē)排隊(duì)系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定

1.4.1 到達(dá)間隔分布參數(shù)標(biāo)定

在候車(chē)系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí),可參考文獻(xiàn)[14]對(duì)客流到達(dá)間隔PH分布的參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

1.4.2 服務(wù)時(shí)間分布參數(shù)標(biāo)定

(1)

(2)

1.4.3 其它參數(shù)標(biāo)定

候車(chē)排隊(duì)系統(tǒng)的系統(tǒng)容量C為C1+C2,其中C1為列車(chē)一次性批量服務(wù)的最大人數(shù)，是規(guī)劃設(shè)計(jì)階段的給定數(shù)據(jù),C2為乘降區(qū)候車(chē)區(qū)域(不包括集散區(qū)域和下車(chē)流通區(qū)域)的容量,與排隊(duì)區(qū)域的面積有關(guān)。假設(shè)排隊(duì)區(qū)域的長(zhǎng)度(沿軌道方向)為L(zhǎng)(規(guī)劃設(shè)計(jì)階段一般給定),寬度為W(在車(chē)站規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)是需要優(yōu)化的變量),每平方米最大行人數(shù)為d(一般取為5人/m2),則C2=[d·L·W]。

2 建立排隊(duì)模型

2.1 模型建立

研究候車(chē)乘客即將上車(chē)時(shí)的排隊(duì)狀況更有利于站臺(tái)的規(guī)劃設(shè)計(jì)。記此時(shí)的候車(chē)乘客數(shù)為n(n的上限等于C2)。對(duì)于該P(yáng)H/PH[0,C1]/1/C批量服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài),不再只用n表征,而增加到達(dá)過(guò)程的相位j(1≤j≤mn)、服務(wù)過(guò)程的相位k(當(dāng)系統(tǒng)有乘客時(shí),1≤k≤l;無(wú)乘客時(shí),則取消這一項(xiàng))共同定義。因而狀態(tài)空間U可寫(xiě)為:U={(n,j)| n=0,1≤j≤m1}U{(n,j, k)| 1≤n≤C1,1≤j≤mC1,1≤k≤l}U{(n,j, k)| C1

(3)

其中,Tn0=-Tn·e,n=1,2,…,C1;En,n=diag(1,1,…,1)mn×mn,n=1,C1;En,n-1=diag(1,1,…,1)mn×mn-1,n=2,3,…,C1;El=diag(1,1,…,1)l×l; S0=-S·e;T?S和T⊕S分別為矩陣T和S的Kronecker乘積與Kronecker和。

該準(zhǔn)生滅過(guò)程的穩(wěn)態(tài)概率向量π能通過(guò)求解下面的全局平衡等式獲得：

(14)

其中，向量p0=(0,0,…,0),其元素個(gè)數(shù)等于向量π的長(zhǎng)度;向量π=(π0,π1,…,πC2),π0=(π01,π02,…,π0m1)為水平q0的穩(wěn)態(tài)概率向量, πn=(πn,1,πn,2,…,πn,mn·l),1≤n≤C1和πn=(πn,1,πn,2,…,πn,mC1·l),C1

為避免巨大的存儲(chǔ)需求,在SOR(超松馳算法)迭代求解技術(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),以適應(yīng)Q的特殊結(jié)構(gòu)。即只存儲(chǔ)非零的對(duì)角塊的矩陣,從而顯著降低算法的復(fù)雜度。采用MATLAB軟件編寫(xiě)程序獲得穩(wěn)態(tài)概率向量π,同時(shí)采用下列公式計(jì)算所需數(shù)量指標(biāo),即候車(chē)排隊(duì)系統(tǒng)的平均候車(chē)乘客數(shù)NE、堵塞概率PC和平均候車(chē)時(shí)間TE。

(15)

(16)

(17)

其中,λ-πC·(T0?El)·e為乘客的輸出率或有效到達(dá)率。

(18)

(19)

2.2 模型準(zhǔn)確性的仿真模擬驗(yàn)證

表1 仿真模擬和排隊(duì)模型計(jì)算的指標(biāo)比較

3 結(jié)語(yǔ)

本文采用PH分布擬合候車(chē)系統(tǒng)的客流到達(dá)和服務(wù)規(guī)律,從而建立具有解析性和通用性的PH/PH[0,C1]/1/C批量服務(wù)排隊(duì)模型,并通過(guò)AnyLogic仿真驗(yàn)證了模型的有效性和準(zhǔn)確性。該模型比現(xiàn)有主要模型D/D[0,C1]/1/C更加準(zhǔn)確地描述了地鐵站臺(tái)排隊(duì)現(xiàn)象。理論上本模型不僅可用于描述地鐵候車(chē)系統(tǒng)的排隊(duì)現(xiàn)象,還可用于描述公交站臺(tái)和垂直電梯系統(tǒng)的排隊(duì)現(xiàn)象。另外,由于PH排隊(duì)模型的離去間隔分布也為PH分布[16],因此,本文PH/PH[0,C1]/1/C批量服務(wù)排隊(duì)模型還可用于搭建車(chē)站交通服務(wù)設(shè)施系統(tǒng)的PH排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型。需要說(shuō)明的是,本文將候車(chē)系統(tǒng)的服務(wù)臺(tái)定義為1個(gè),且假設(shè)了乘客先到先服務(wù),與實(shí)際情況(即服務(wù)臺(tái)數(shù)量為多個(gè),且乘客可互相超越彼此)存在一定差距。后續(xù)研究可對(duì)本模型進(jìn)一步改進(jìn)。

[1] 中華人民共和國(guó)住房與城鄉(xiāng)建設(shè)部.地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范：GB 50157—2003[S].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2004.

[2] NFPA.NFPA130 Standard for fixed guideway transit and passenger rail systems 2007[S].Quincy:National Fire Protection Association,2006.

[3] 王麗華.地鐵車(chē)站站臺(tái)設(shè)計(jì)[J].北方交通,2008(4):220.

[4] 王甲子.地鐵車(chē)站站臺(tái)寬度計(jì)算方法改進(jìn)及仿真評(píng)價(jià)[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息,2012,10(12):168.

[5] JIANG Y S,HU L,ZHU J X,et al.PH fitting of the arrival interval distribution of the passenger flow on urban rail transit stations[J].Applied Mathematics and Computation,2013,225:158.

[6] 田乃碩,李泉林.PH分布及其在隨機(jī)模型中的應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1995,9(1):1.

[7] LATOUCHE G,RAMASWAMI V.The PH/PH/1 queue at epochs of queue size change[J].Queueing Systems,1997,25(14):97.

[8] ALFA A S,ZHAO Y Q.Overload analysis of the PH/PH/1/K queue and the queue of the M/G/1/K type with very large K[J].Asia Pacific Journal of Operational Research,2000,17(2):123.

[9] MIYAZAWA M,SAKUMA Y,YAMAGUCHI S.Asymptotic behaviors of the loss probability for a finite buffer queue with QBD structure[J].Stochastic Models,2007,23(1):79.

[10] KRISHNAMURTHY A,SURI R,VERNON M.Analysis of a fork/join synchronization station with inputs from Coxian servers in a closed queuing network[J].Annals of Operations Research,2004,125(1):69.

[11] SADRE R,HAVERKORT B,OST A.An efficient and accurate decomposition method for open finite-and infinite-buffer queueing networks[C]∥3rd Int.Workshop on Numerical Solution of Markov Chains.UK,1999.

[12] WEERSTRA A J.Using matrix-geometric methods to enhance the QNA method for solving large queueing networks[D].Netherlands:Master′s thesis, University of Twente,1994.

[13] Transportation Research Board.Transit capacity and quality of service manual[M].2nd ed.Beijing:China Building Industry Press,2010.

[14] 孫繼東.城市軌道交通車(chē)站乘客服務(wù)設(shè)施客流到達(dá)分布規(guī)律研究[D].成都:西南交通大學(xué),2014.

[15] 胡路.考慮穩(wěn)定性的城市軌道交通車(chē)站交通服務(wù)設(shè)施系統(tǒng)優(yōu)化配置理論與方法[D].成都:西南交通大學(xué),2014.

[16] HU L,JIANG Y S,ZHU J X,et al.Hybrid of the scatter search, improved adaptive genetic, and expectation maximization algorithms for phase-type distribution fitting[J].Applied Mathematics and Computation,2013,219(10):5495.

PH/PH[0,C1]/1/CBatch Service Queuing Model in Metro Waiting System

JIANG Yangsheng, WU Junzi, ZHU Juanxiu, HU Lu

With a full consideration of the potential passenger arrival and the randomness of service, the PH (hydrogenion concentration) distributions that can fit well with the law of potential passengers and services are demonstrated in theory. Then, the related model that describes metro waiting queues of PH/PH[0,C1]/1/Cis established. In which, AnyLogic software simulation is used to analyze and verify the versatility and accuracy of the model. The results indicate that the maximum absolute error of the calculated simulation and queuing model indicators is between 0.01～6.06, based on 9 different set arrival rates and variation coefficient of the passenger flow data, and the relative maximum error is between 0.91%～7.69%. Thus, the model results are in 95% confidence interval in the simulation results, thus verify the reliability of this model.

metro waiting system; PH/PH[0,C1]/1/Cqueuing model; simulation and verification

*國(guó)家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(51108391); 西南交通大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文培育項(xiàng)目

F 224.34∶U 231.4

10.16037/j.1007-869x.2016.07.003

2014-05-04)