摘要：本文借助史寧中教授的課程難度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T（注：N表示課程難度， G表示課程廣度，S表示課程深度，T表示課程實施時間），對我國2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱“《標(biāo)準(zhǔn)》”）與2000年《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》（以下簡稱“《大綱》”）中“相似三角形”的內(nèi)容難度進(jìn)行對比分析，以此考察初中幾何課程、教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展變化，希望對我國初中幾何基礎(chǔ)教育課程改革提供一些啟示。

關(guān)鍵詞：課程難度；課程深度；課程廣度；相似三角形；教學(xué)指導(dǎo)

文章編號：1674-120X（2016）05-0025-02收稿日期：2015-12-09

基金項目：2015年度廣東大學(xué)生科技創(chuàng)新培育專項資金項目“基于課程難度定量分析模型下的初中幾何課程難度研究”（201410578047）。

作者簡介：陳劍濤（1995—），男，廣東揭陽人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

一、背景

對于初中生尚未發(fā)展成熟的思維觀念來說，初中幾何是比較容易接受的教學(xué)體系，同時也能發(fā)展學(xué)生在思維和邏輯上的能力。其中，關(guān)于“相似三角形”這一內(nèi)容，從新課程改革前就一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不僅借用了前面學(xué)習(xí)的全等三角形的相關(guān)思路，也為接下來解答某一些特殊幾何圖形的線段、面積等之間的關(guān)系提供了思路和方法。

二、難度量化比較

1課程廣度

對比《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中相似三角形刪除了“相似比”的內(nèi)容。通過查閱得出《標(biāo)準(zhǔn)》和《大綱》的知識點數(shù)可得出相應(yīng)的廣度系數(shù)，取《標(biāo)準(zhǔn)》綜合的課程廣度系數(shù)G1=3，取《大綱》綜合的課程廣度系數(shù)為G2=4。

2課程深度

對比《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中相似三角形有所降低，具體如下：①對于相似三角形的概念，從理解降低為了解；②對于相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理，從靈活運用，理解均降低為了解。綜合深度賦值表，取《標(biāo)準(zhǔn)》的課程深度S1=3，《大綱》的課程深度S2=9。

3課程時間

分析《標(biāo)準(zhǔn)》《大綱》中相似三角形知識點的課程實施時間得知，兩者基本相同。查閱兩者中相似三角形的課程內(nèi)容完成的所需時間可知，取《標(biāo)準(zhǔn)》的課程實施時間T1=7，《大綱》的課程實施時間T2=9。

4難度比較

基于前面三個方面得出的數(shù)據(jù)，代入課程難度模型N=αG/T+（1-α）S/T，可以得到《標(biāo)準(zhǔn)》《大綱》的課程難度分別為N1=043，N2=067（取α=06），顯然，在這個模型下，“相似三角形”《標(biāo)準(zhǔn)》比《大綱》的課程難度降低了024。

三、教學(xué)啟發(fā)

通過分析上述數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》和《大綱》中相似三角形的課程廣度、課程實施時間基本一致，但總體的難度降低。顯然影響該知識點難度變化的主要因素是課程深度。下面將具體分析課程廣度、課程深度、課程實施時間、課程難度四方面對教師實際教學(xué)過程的啟發(fā)和指導(dǎo)。

1課程廣度變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

基于上述分析可知，相對比《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中對相似三角形的內(nèi)容減少了一個“相似比”的內(nèi)容?！稑?biāo)準(zhǔn)》中只要求學(xué)生知道“相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比”這一定義即可。當(dāng)今的時代在不斷發(fā)展，教學(xué)內(nèi)容也要不斷考慮學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的需求。因此教師在具體實踐教學(xué)中，要注意嚴(yán)格按照《標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)要求，不要順著《大綱》的老思路繼續(xù)講解已經(jīng)刪除的知識點，更不要講怪題、難題，從而影響學(xué)生對初中幾何的思維。應(yīng)當(dāng)把時間用在“相似三角形”所要求的知識點上。

如《大綱》中課本有一道例題：證明重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的23。

要證明重心定理，不僅要讓學(xué)生能夠找出在三角形內(nèi)部的三角形之間的相似關(guān)系，并靈活運用相似三角形的性質(zhì)定理，還要通過線段關(guān)系證出相似比。這與《標(biāo)準(zhǔn)》的廣度和深度要求均不一致，不應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行講解。

2課程深度變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

基于以上對“相似三角形”課程深度變化分析可知，《標(biāo)準(zhǔn)》中保留下來的“相似三角形的判定定理”和“相似三角形的性質(zhì)定理”的賦值比《大綱》深度降低，只要求學(xué)生理解即可?！稑?biāo)準(zhǔn)》中是結(jié)合以前所學(xué)習(xí)的“三線八角”中和全等三角形中的相關(guān)定理對判定定理進(jìn)行相關(guān)證明，學(xué)生在之前學(xué)習(xí)中就已經(jīng)有了深刻的認(rèn)識，因此對此“相似三角形”內(nèi)容都能快速掌握，不必再多加一些綜合題型進(jìn)行思考。所以教師在教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)針對之前所學(xué)習(xí)的相關(guān)知識和保留下來的知識點，在課堂上讓學(xué)生動手、動口、動腦，加深學(xué)生對知識點的理解并快速掌握，從而培養(yǎng)學(xué)生對三角形以及其他幾何圖形的敏感度和相關(guān)的幾何發(fā)散思維能力。

同時，教師應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)學(xué)生運用學(xué)過的知識，看到題目，會想到什么樣的知識點，應(yīng)該運用什么定理，從而培養(yǎng)學(xué)生對幾何圖形的慣性思維和空間發(fā)散思維，符合學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

3課程實施時間變化對教學(xué)實踐的指導(dǎo)

《標(biāo)準(zhǔn)》和《大綱》中相似三角形的課程實施時間只相差了兩個課時，但由于課程廣度與課程深度的減小，使得教師有足夠的時間去講解和分析所留下的知識點，不要浪費時間去講解已被刪除的知識點。相似三角形方面注重圖形的空間想象能力和實際生活中的問題，如測量河寬、樓層高度等實際問題。這些知識都是直接運用相似三角形的相關(guān)定理，難度中等偏下，學(xué)生理解起來不會特別困難。同時啟發(fā)教師要認(rèn)真分析教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，結(jié)合以前學(xué)過的相關(guān)幾何定理和類比全等三角形的相關(guān)定理，來思考整個教學(xué)的流程應(yīng)當(dāng)如何實施。

4課程難度變化對教師教學(xué)實踐的指導(dǎo)

基于以上的探究，課程廣度、課程深度、課程實施時間的變化，其實反映的是課程難度的變化。本文中，《標(biāo)準(zhǔn)》對比《大綱》，“相似三角形”課程難度降低。根據(jù)上述分析，刪除了一個對現(xiàn)在不實際的知識點，減少了課程廣度，也降低了對兩個知識點的理解程度，從而大大減少了課程深度，而課程實施時間基本不變，最終使得課程難度降低了。這對于新時代的教師來說，是一種新的體驗和新的起點，同時也面臨著一種挑戰(zhàn)。如在課程時間方面，要正確地理解新課標(biāo)的理念，貫穿新課標(biāo)的思想。在面對不同程度的學(xué)生時因材施教，并在規(guī)定時間里讓學(xué)生理解知識點，同時要能激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣，從而逐步培養(yǎng)現(xiàn)代社會學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考和邏輯思維。在課程廣度方面，新課程要求在教學(xué)過程中更加注重數(shù)學(xué)思維、思想、方法的結(jié)合，不再講一些《大綱》老思想的題目，要時刻結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的規(guī)定，并聯(lián)系以前學(xué)習(xí)過的知識點，使得課本知識的邏輯性、連貫性得以保障。在課程深度方面，教師要注意知識點對學(xué)生掌握的要求和不同程度的學(xué)生對知識點理解的不同，從而因材施教。如對相似三角形判定定理和性質(zhì)定理，都可聯(lián)系以前學(xué)習(xí)過的全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，并結(jié)合一開始所學(xué)習(xí)的有關(guān)基礎(chǔ)幾何的思想，將其運用到相似三角形中，從而使學(xué)生掌握知識點的來源，并理解知識點之間的關(guān)系，培養(yǎng)對幾何思維的敏感度。

初中幾何是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何思維能力的一個重要部分。隨著新課程的不斷推廣和深入，教師要不斷地關(guān)注知識點難度的變化，這也是課程難度的變化的意義——在知識點難度有所變化時，教師要適應(yīng)這種變化，讓學(xué)生能夠真正地掌握該知識點，從而完成課程所要求的內(nèi)容。