宣其均

摘 要： 中學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)模型有方程模型、不等式模型、函數(shù)模型或幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等，我們把運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的方法統(tǒng)稱為應(yīng)用建模。強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力，不僅能使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和方法，而且能增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高分析問題、解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)新課標(biāo)教學(xué)大綱明確提出：“強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！彼哉f強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力，不僅能使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和方法，而且能增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高分析問題、解決實(shí)際問題的能力。

數(shù)學(xué)建模的具體步驟：第一，根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。第二，對所得到的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出所需的解答。第三，聯(lián)系實(shí)際問題，對所得到的解答進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)和解釋，返回到原來的實(shí)際問題中，得出實(shí)際問題的答案。

一、方程模型

現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在著數(shù)量之間的相等關(guān)系，“方程（組）”模型則是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更正確、更清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。

案例1：一元二次方程中的“平均變化率”問題。為了美化環(huán)境，某市加大了對綠化的投資，2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化投資28.8萬元，求這兩年綠化投資的平均增長率。

1.問題分析：假設(shè)這兩年綠化投資的平均增長率為x，那么2008年用于綠化的投資額為多少元？2009年用于綠化的投資額為多少元？

2.模型建立：2008年用于綠化的投資額為：20（1+x）；2009年用于綠化的投資額為：20（1+x）■；根據(jù)2009年用于綠化的投資28.8萬元，得到方程20（1+x）■=28.8；如果設(shè)起始數(shù)據(jù)為a，終止數(shù)據(jù)為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次增長或降低后得到方程形式為a（1+x）■=b或者a（1-x）■=b。

3.對數(shù)學(xué)模型求解并回歸實(shí)際問題：

解方程20（1+x）■=28.8得：x■=0.2=20%，x■=-2.2（不合題意，舍去）。

故這兩年綠化投資的平均增長率為20%。

二、建立“幾何”模型

幾何與人類生活和實(shí)際密切相關(guān)，諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設(shè)計(jì)等涉及一定圖形的性質(zhì)時(shí)，常需建立“幾何模型”，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決。

三、數(shù)形結(jié)合建模

要搞好數(shù)學(xué)建模教學(xué)，需要結(jié)合數(shù)學(xué)建模的過程，對能力培養(yǎng)進(jìn)行分解落實(shí)。

（一）培養(yǎng)閱讀和語言轉(zhuǎn)化能力，這里包括由普通語言抽象為數(shù)學(xué)文字語言，再抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)語言。因?yàn)橹挥谐霈F(xiàn)了符號(hào)語言的形式，才能聯(lián)想和應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；要培養(yǎng)抽象、概括能力，數(shù)學(xué)建模實(shí)質(zhì)上是一個(gè)去粗取精、去偽存真、抽象概括的過程。

（二）培養(yǎng)數(shù)學(xué)檢索能力，從已有的知識(shí)中認(rèn)定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的好壞有關(guān)，不僅需要基本的數(shù)學(xué)能力，而且?guī)в懈蟮木C合性和靈活性。

（三）培養(yǎng)聯(lián)系實(shí)際、全面考慮問題的能力。教學(xué)中，只有對上述能力具體落實(shí)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)才能取得較好的效果。

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的已知條件和結(jié)論之間所存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，不僅要分析數(shù)量上的關(guān)系，還要揭示相應(yīng)的幾何意義，從而將數(shù)量關(guān)系同幾何圖形進(jìn)行巧妙結(jié)合，進(jìn)而有效利用這種結(jié)合，探求解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的思路，找到解決問題的思考方法。

數(shù)形結(jié)合的思想內(nèi)容一般表現(xiàn)為以下方面：①建立比較恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（一般為方程、函數(shù)和不等式模型）；②建立相應(yīng)的幾何模型（或者是函數(shù)圖像），進(jìn)而有效解決有關(guān)函數(shù)和方程的問題；③與函數(shù)相關(guān)的幾何、代數(shù)的綜合性問題；④利用圖像形式呈現(xiàn)相應(yīng)信息的應(yīng)用問題。

四、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合建模的意義

在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生運(yùn)用這種思想分析數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在平常的生活中或多或少會(huì)積累一些圖形方面的知識(shí)，例如溫度計(jì)和它上面的溫度刻度，刻度尺和它上面相應(yīng)的刻度，每天走過的上學(xué)和放學(xué)的路線也可以當(dāng)做是一條直線，教室中的座位等。積極利用學(xué)生的這些認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，將學(xué)生生活中的數(shù)和形相結(jié)合的例子轉(zhuǎn)移到教學(xué)中，從而在課堂上滲透相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合思想，并充分挖掘教材所提供的一些機(jī)會(huì)，有效把握滲透數(shù)形結(jié)合思想的契機(jī)。

初中數(shù)學(xué)教師必須積極將生活中的實(shí)際問題和探索規(guī)律相結(jié)合，對學(xué)生進(jìn)行多次的數(shù)形結(jié)合思想滲透，不斷強(qiáng)化初中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)而使學(xué)生逐漸形成在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。教師教授學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的時(shí)候要特別注意一些原則，例如到底是知形確數(shù)還是知數(shù)確形，進(jìn)行規(guī)律探索的時(shí)候要從特殊到一般，進(jìn)而歸納并總結(jié)出一般性的結(jié)論。

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