陳興林，陳震宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱　150001）

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基于分數(shù)階PID及內(nèi)模原理的長行程直線電機控制系統(tǒng)設(shè)計

陳興林，陳震宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001）

摘要：為了對長行程直線電機進行精確伺服控制，提出了一種結(jié)合分數(shù)階PID及內(nèi)?？刂圃淼目刂葡到y(tǒng).以內(nèi)?？刂破髯鳛殡娏鳝h(huán)控制器、分數(shù)階PID作為位置環(huán)控制器，在簡化了控制器設(shè)計、降低調(diào)試難度的同時，保證了跟蹤精度.最后，對長行程直線電機驅(qū)動的光刻機掩模臺宏動臺進行了仿真驗證，驗證了所提出的控制策略的有效性.

關(guān)鍵詞：分數(shù)階PID控制；內(nèi)?？刂?；控制系統(tǒng)設(shè)計；直線電機；光刻機

長行程直線電機由于其驅(qū)動能力強、工作行程大的特點而被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域當中，其控制策略的研究也成為了一個研究熱點[1-3].作為生產(chǎn)制造集成電路的最主要設(shè)備，光刻機是光、機、電一體化的尖端精密運動平臺的代表，其中光刻機掩模臺宏動部分在直線電機的驅(qū)動下實現(xiàn)承載硅片大行程運動，其精度要求需要達到微米級.為了達到要求精度，通常使用三環(huán)控制策略以在保證穩(wěn)定性的同時能夠提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度.但傳統(tǒng)三環(huán)PID控制方法的控制精度無法達到要求，并且當電流環(huán)引入PID控制器后會提高電流環(huán)閉環(huán)等效模型階次，從而造成速度環(huán)與位置環(huán)控制器參數(shù)設(shè)計困難的問題.

為了在降低控制系統(tǒng)設(shè)計難度的同時提高控制精度，本文提出了一種以內(nèi)模控制器作為電流環(huán)控制器、分數(shù)階PID控制器作為位置環(huán)控制器的控制策略，從而降低電流環(huán)閉環(huán)等效模型階次、簡化各環(huán)控制器設(shè)計；同時分數(shù)階PID控制器的引入能夠大幅度提高系統(tǒng)精度、提高控制系統(tǒng)性能.

1　控制方法

1.1分數(shù)階PID

分數(shù)階PID控制最早在1999年由Podlubny教授提出，他在著作《Fractional Differential Equations》中提出分數(shù)階PIλDμ控制的基本結(jié)構(gòu)[4].較普通PID控制而言，該控制器多了2個可調(diào)節(jié)參數(shù)，即積分階次以及微分階次滋.也因此，該系統(tǒng)可通過擴大參數(shù)整定范圍獲得更好的性能.另外，Podlubny教授還在著作中證明了其較傳統(tǒng)PID而言的強魯棒性[5-6].自此，分數(shù)階PIλDμ得到廣泛發(fā)展[7]，大量研究表明該理論比傳統(tǒng)PID控制更能實現(xiàn)理想控制效果.

分數(shù)階PIλDμ控制器傳遞函數(shù)為：

式中：KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數(shù)；姿>0、滋> 0分別為積分、微分階次.

由于積分微分存在分數(shù)階次，在仿真和實際運用中都不能直接使用固有模塊，因此需要對分數(shù)階因子進行近似公式推導(dǎo)計算，即用整數(shù)階算子近似代替分數(shù)階.本文選用最經(jīng)典的Oustaloup算法逼近分數(shù)階算子，在頻率段內(nèi)，可高精度實現(xiàn)分數(shù)階微積分[8].

設(shè)工作頻段為（ωb，ωh），在該頻段內(nèi)對分數(shù)階算子進行近似計算.則Oustaloup遞推濾波器傳函為：

設(shè)r為分數(shù)階算子的階次，其中r<0時為積分階次，r>0時為微分階次.由上式，2N+1為濾波器階次.則可表述成：

根據(jù)文獻[8]中提出的改進Oustaloup算法，分數(shù)階算子可以用式（5）近似：

b、d分別為大于零的常數(shù).將上式左側(cè)變形得到：

對上式右側(cè)第二項進行二項式展開得到：

省略上式中展開式的二次項及更高項，得到：

將s指數(shù)項化簡式代入上式，得到分數(shù)階算子逼近公式為：

對于上式中，s的指數(shù)項可以近似化簡為：

根據(jù)經(jīng)驗公式，取b=10，d=9，ω′k和ωk分別取如下值：

1.2內(nèi)?？刂?/p>

內(nèi)模控制[9]作為一種新的控制策略，它是基于過程數(shù)學(xué)模型進行設(shè)計的，其原理類似于Smith預(yù)估器[10].相比于傳統(tǒng)的控制器，如PID控制器，內(nèi)模控制具有設(shè)計簡單[11]、能夠抑制系統(tǒng)中擾動及不確定性[12-13]、設(shè)計后系統(tǒng)閉環(huán)模型階次較低等特點.在直線電機工作中，其所受到的外部擾動應(yīng)該在電流環(huán)中進行抑制，以避免其作用到外環(huán)當中；同時在直線電機系統(tǒng)建模過程中，通常將其簡化為一個二階系統(tǒng)以便于設(shè)計控制器，但這同時不可避免地引入了模型不確定性.基于上述原因，在直線電機驅(qū)動系統(tǒng)中，電流環(huán)控制器將采用內(nèi)模控制進行設(shè)計.

圖1為典型的內(nèi)?？刂葡碌南到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.圖1中：C（s）為內(nèi)?？刂破鳎籊（s）為實際被控對象；M（s）為被控對象的內(nèi)部模型；r、y、yf、u和d分別為系統(tǒng)的輸入信號、輸出信號、反饋信號、控制量和外部擾動信號.

圖1　內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)Fig.1 IMC structure

通過對圖1中的結(jié)構(gòu)進行化簡可以得到系統(tǒng)給的閉環(huán)響應(yīng)及反饋信號分別為：

式中：A（s）= 1 + C（s）[G（s）- M（s）].從式（15）中可以發(fā)現(xiàn)，在模型精確、外部無擾動的情況下，反饋信號yf為零，此時系統(tǒng)變?yōu)殚_環(huán)形式.而在實際情況下，模型不確定性及外部擾動是一定存在的，這樣反饋信號yf就對模型不確定性及外部擾動做出了反應(yīng)，從而使系統(tǒng)具有閉環(huán)控制結(jié)構(gòu).

內(nèi)?？刂圃韺嶋H上就是一種狀態(tài)觀測器的思想，根據(jù)這一思想，內(nèi)模控制系統(tǒng)的設(shè)計過程可以分為以下兩個部分[14].

步驟1：過程模型分解

式中：M+（s）為模型中包含純滯后和不穩(wěn)定零點的部分；M-（s）為模型中的最小相位部分.

步驟2：內(nèi)?？刂破髟O(shè)計

內(nèi)模控制器通過M-（s）的逆上增加濾波器，來實現(xiàn)系統(tǒng)給的穩(wěn)定性和魯棒性.給出內(nèi)?？刂破餍问綖椋?/p>

式（4）中：f（s）是一個低通濾波器，引入f（s）是為了使得控制器時有理的，其通常被設(shè)計為：

式中：r為濾波器階數(shù)，其應(yīng)選擇足夠大以保證C（s）是正則的、物理上可實現(xiàn)的；α為濾波器的時間常數(shù)，它是整個控制系統(tǒng)中唯一的設(shè)計參數(shù)，使得控制器設(shè)計變得非常簡單易于調(diào)試.

2　運動平臺建模

根據(jù)直線電機動態(tài)特性[15]，若u為電機輸入電壓，R為等效總電阻，L為回路總電感，i為回路電流，e為反電勢，m為負載質(zhì)量，Ke為反電動勢系數(shù)，Kt為推力系數(shù)，F(xiàn)為電機出力，則動態(tài)方程如下：

由于在實際過程中，電機采用專用驅(qū)動器，該驅(qū)動器采用SVPWM控制方式，即id≡0的控制策略，故對電機模型簡化處理后對上式進行拉普拉斯變換，得出其簡化模型傳遞函數(shù)為：

圖2　直線電機簡化模型Fig.2 Linear motor simplified model

3　控制系統(tǒng)設(shè)計

為了驗證所提出控制策略的有效性，本文以光刻機掩模臺宏動臺作為被控對象，對其控制系統(tǒng)進行設(shè)計.在設(shè)計之前首先給出掩模臺宏動臺所用直線電機的參數(shù)，如表1所示.

表1　直線電機參數(shù)Tab.1 Parameters of linear motor

同時，宏動系統(tǒng)的總質(zhì)量mz= 40 kg，由于宏動臺由4個電機共同驅(qū)動，故單電機負載質(zhì)量m = 10 kg.

3.1電流環(huán)設(shè)計

由于內(nèi)模控制具有結(jié)構(gòu)直觀、參數(shù)整定容易和在線調(diào)整方便等優(yōu)點，本文采用內(nèi)模原理對系統(tǒng)電流環(huán)控制器進行設(shè)計.結(jié)合第2節(jié)建立的直線電機模型與第1節(jié)介紹的內(nèi)模控制設(shè)計方法，可以得到系統(tǒng)電流環(huán)過程模型和控制器模型分別為：

進一步可得到系統(tǒng)電流環(huán)閉環(huán)等效模型為Gt=.作為一個慣性環(huán)節(jié)，電流環(huán)模型相比于傳統(tǒng)的PID控制器所構(gòu)成的電流環(huán)模型更加簡單，利于后面對速度環(huán)、位置環(huán)的設(shè)計.

為了保證電流環(huán)在快速性、抑擾性方面的性能，根據(jù)經(jīng)驗系統(tǒng)的電流環(huán)帶寬通常設(shè)計在1 000 Hz左右.由電流環(huán)閉環(huán)等效模型，可以得到其帶寬近似為1/（2απ），從而可以計算出控制器中時間常數(shù)近似為0.000 16.電流環(huán)閉環(huán)伯德圖如圖3所示.

圖3　電流環(huán)伯德圖Fig.3 Bode diagram of current-loop

3.2速度環(huán)設(shè)計

通過對電流環(huán)的設(shè)計，可以近似得到速度環(huán)的開環(huán)被控對象模型為：

這表明了系統(tǒng)速度環(huán)被控對象是一個I型系統(tǒng)模型.為了獲得高增益的同時避免帶寬過高，選擇PI控制器作為速度環(huán)控制器；并且由于電流環(huán)帶寬遠高于速度環(huán)，因此1/（αs + 1）部分的轉(zhuǎn)折頻率點遠大于速度環(huán)剪切頻率.因此，速度環(huán)開環(huán)系統(tǒng)將變?yōu)榈湫偷腎I型系統(tǒng)：

式中：PVC為速度環(huán)開環(huán)模型；Kp、Ki分別為PI控制器的比例增益系數(shù)及積分增益系數(shù).速度環(huán)開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性示意圖如圖4所示.

圖4　速度環(huán)幅頻特性示意圖Fig.4 Amplitude-frequency characteristic diagram of velocity-loop

圖4中：ω3為系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率；ω5為-40 dB斜率線與零分貝線相交頻率；ω4為系統(tǒng)剪切頻率，其關(guān)系如式（24）所示：

在II型系統(tǒng)設(shè)計中，為了綜合穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的等效噪聲帶寬，無量綱增益ω4/ω3常被設(shè)為2.根據(jù)式（24）、（25）可以得到要求：ω3≥573.57 rad/s.這里選定ω3= 600 rad/s，同時通過對（23）式、（24）式求解推導(dǎo)出式（26）：

為了跟蹤所給出的正弦信號0.002 sin（10仔t）并使其跟蹤誤差不超過3滋m，速度環(huán)輸入信號可以設(shè)計為0.02仔cos（10仔t），其跟蹤誤差不超過（30仔滋m/s）.并且由于速度環(huán)開環(huán)模型是一個II型系統(tǒng)，其跟蹤誤差可以近似為：

將各項參數(shù)代入（26）可以得到Kp= 129.1，Ki= 77 419.4.通過仿真可以得到速度環(huán)開環(huán)頻率特性，如圖5所示.

由圖5可見，系統(tǒng)剪切頻率約為206 Hz、相角裕度53.4°，滿足設(shè)計要求.

跟蹤信號0.02仔cos（10仔t）的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差如圖6所示.

通過仿真結(jié)果可以得到，所設(shè)計的控制器滿足設(shè)計要求，其響應(yīng)時間為4.2 ms，穩(wěn)態(tài)誤差不超過±86.2 滋m/s的誤差帶.

圖5　速度環(huán)開環(huán)頻率特性Fig.5 Open-loop frequency characteristic of velocity-loop

圖6　速度環(huán)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差Fig.6 Steady-state tracking error of velocity-loop

3.3位置環(huán)設(shè)計

為了提高系統(tǒng)控制精度、減小跟蹤誤差，在外環(huán)控制器上選擇分數(shù)階PID作為位置環(huán)控制器.分數(shù)階PID相比于傳統(tǒng)PID控制器，其增加了2個階次參數(shù)使得控制器性能得以進一步提升，同時提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度.

由上一節(jié)中所設(shè)計的速度環(huán)，可以得到位置環(huán)被控對象模型為：

通過之前的設(shè)計可得，分母上的三階環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率遠高于位置環(huán)工作頻率，所以這個環(huán)節(jié)可以忽略.這里采用分數(shù)階PI控制器對位置環(huán)進行控制，得到位置環(huán)的開環(huán)模型為：

式中：P為分數(shù)階PI控制器的比例參數(shù)；I為分數(shù)階PI控制器的積分參數(shù)；姿為分數(shù)階PI控制器的積分階次參數(shù).通過式（11）的近似以及對其中相應(yīng)控制參數(shù)的調(diào)試，得到一組較為合適的參數(shù)：r=-0.5，N=4，[ωl，ωh] = [0.000，110 000（Hz），b = 10，d = 9，P = 1 000，I = 15.通過Simulink仿真得到系統(tǒng)跟蹤信號0.002sin（10 πt）的位置跟蹤誤差曲線及穩(wěn)態(tài)誤差曲線分別如圖7和圖8所示.其中所提出的三環(huán)控制策略還與一組調(diào)試出來的效果較好的傳統(tǒng)三環(huán)PID控制策略進行了對比，結(jié)果如圖7所示.

圖7　位置環(huán)跟蹤誤差Fig.7 Positioning tracking error

圖8　分數(shù)階PID方法位置環(huán)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差Fig.8 Steady-state positioning tracking error by fractional order PID

由仿真結(jié)果可以得到，宏動系統(tǒng)位置跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差不超過±2.15滋m、調(diào)節(jié)時間為15 ms，而傳統(tǒng)三環(huán)PID控制策略跟蹤誤差在±20滋m左右，相比于傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制策略，本文中所提出的控制策略跟蹤精度顯著提高，能夠滿足對于光刻機掩模臺宏動系統(tǒng)的設(shè)計要求.

4　結(jié)語

本文針對長行程直線電機控制系統(tǒng)提出以內(nèi)?？刂谱鳛殡娏鳝h(huán)控制器、分數(shù)階PID作為位置環(huán)控制器的控制策略.在實際電機系統(tǒng)調(diào)試中，三環(huán)PID控制策略是工程人員最為常用的控制算法.但由于在光刻機等超精密系統(tǒng)上安裝了較多極易損壞且價格昂貴的精密光學(xué)設(shè)備，如：激光干涉儀鏡組等，故使其速度環(huán)及電流環(huán)參數(shù)調(diào)試受到諸多限制.而本文所提出

的以內(nèi)?？刂谱鳛殡娏鳝h(huán)控制器的方法，相比于傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制策略，有效地降低了控制對象的階次，使得控制器設(shè)計變得更加簡便，各環(huán)參數(shù)更易于在工程實踐中進行調(diào)節(jié).在長行程直線電機控制系統(tǒng)的最外環(huán)——位置環(huán)的設(shè)計中，本文采用分數(shù)階PID作為位置環(huán)控制算法，增加了2個可調(diào)的階次參數(shù)，彌補了電流環(huán)內(nèi)?？刂破骺烧{(diào)參數(shù)少、系統(tǒng)靈活性低的缺點，可以有效提高控制系統(tǒng)的定位精度.在本文的第4節(jié)中，以光刻機掩模臺宏動系統(tǒng)為例，應(yīng)用文中所提出的內(nèi)模控制作為電流環(huán)控制器、分數(shù)階PID為位置環(huán)控制器的控制策略進行了設(shè)計，并且對其進行仿真.通過仿真驗證可以發(fā)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制策略，本文所提出的控制策略其設(shè)計方法、調(diào)試過程更為簡單，并且跟蹤精度得到了顯著提升.

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Control system design of long-stroke linear motor based on fractional order PID and internal model control

CHEN Xing-lin，CHEN Zhen-yu
（Department of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract：In order to achieve the precision control of the long-stroke linear motor，a control strategy combining the fractional order PID control and internal model control is proposed. The internal model controller and the fractional order controller are used for current loop and position loop respectively. This strategy can make the control of the longstroke stage system accurately，simplify the design of controller and reduce difficulty of debugging，ensuring the tracking precision at the same time. Finally，a simulation on the long-stroke stage system of lithography machine is made and the proposed method is proved to be effective.

Key words：fractional order PID control；internal model control；control system design；linear motor；lithography machine

通信作者：陳興林（1963—），男，教授，主要研究方向為飛行器控制及仿真精密數(shù)字控制. E-mail：chenxl@hit.edu.cn

基金項目：國家科技重大專項基金資助項目（2009ZX02207）

收稿日期：2015-10-21

DOI：10.3969/j.issn.1671-024x.2016.01.012

中圖分類號：TP391

文獻標志碼：A

文章編號：1671－024X（2016）01－0059－06