梁紅

(中國人民解放軍91550部隊，大連116023)

基于CP-FODT實時數(shù)據(jù)處理技術穩(wěn)健性研究

梁紅

(中國人民解放軍91550部隊，大連116023)

為改善飛行器實時數(shù)據(jù)處理中端點附近數(shù)據(jù)解算精度差、狀態(tài)預估不準確的問題，提出并證明三次多項式一階導數(shù)定理(CP-FODT)，對基于該定理的一階導數(shù)解算方法的實時數(shù)據(jù)處理性能進行了研究.通過仿真計算研究了擬合區(qū)間長度、測量誤差限及采樣間隔對于計算結果的影響，對解算誤差進行了分析，給出參數(shù)選取的基本原則，并采用實測數(shù)據(jù)對解算效果進行了驗證.驗證表明該算法對于實時數(shù)據(jù)處理具有較高的穩(wěn)健性和可靠性，可提高端點附近數(shù)據(jù)的解算精度和預測的準確度，并可衍生為插值算法，能夠為實時數(shù)據(jù)處理提供高精度的數(shù)據(jù)源.

三次多項式;一階導數(shù);實時數(shù)據(jù)處理;穩(wěn)健性

0 引 言

穩(wěn)健性是實時跟蹤算法的重要性能指標，尤其是目標飛行當前位置，即跟蹤段落端點附近數(shù)據(jù)的解算結果是否穩(wěn)定，對于飛行軌跡的跟蹤鎖定和預測的準確度具有較大影響.因此，實時數(shù)據(jù)處理不僅要求算法快速、準確，而且還要具備良好的穩(wěn)健性，能夠適應飛行軌跡復雜多變的情況，以便實現(xiàn)對空間目標的有效監(jiān)測識別、導航控制、態(tài)勢估計等.

由于飛行軌跡的大機動特點以及對于數(shù)據(jù)的擬合模型有限的適應性，實時數(shù)據(jù)處理算法對于端點附近的數(shù)據(jù)處理一直是短板，主要問題是一階導數(shù)估計精度不高，穩(wěn)健性不能滿足要求，高精度估計算法由于計算復雜［1］，難以滿足實時處理需要.文獻［2］和文獻［3］對目前的實時數(shù)據(jù)處理算法進行了歸納和描述，主要是運動建模［4-6］和非線性濾波算法［1，7-10］.多源信息融合處理技術［11］充分應用目標的先驗運動信息和各種測量信息對數(shù)據(jù)進行綜合處理［12］.近年來，一些算法的融合和改進，使其性能不斷提高［13-14］.這些研究工作為建立處理精度高、穩(wěn)健性好、計算速度快的實時數(shù)據(jù)處理改進算法做出了重要貢獻.

利用位置測量數(shù)據(jù)對速度進行估計或利用速度測量數(shù)據(jù)對加速度進行估計導數(shù)解算是實時跟蹤測量方法的重疊內容.基于三次多項式的一階導數(shù)定理(CP-FODT)是在差值定理［15］的應用研究過程中推導出來的，在本質上符合差值定理的駐點條件，因此，在用于一階導數(shù)解算時，其準確度明顯優(yōu)于一般算法，尤其是對端點附近數(shù)據(jù)的解算，也擁有同樣好的精度，這在文獻［15］已有相關數(shù)據(jù)支持.

但該算法對于端點附近數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性研究目前尚未展開，解算結果受各參數(shù)的影響情況尚不明晰，算法對于測量誤差的敏感程度還沒有定量的描述，因此，基于CP-FODT的一階導數(shù)解算方法對于實時數(shù)據(jù)的處理性能還有待研究.為此，本文基于仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)，專門對該算法用于實時數(shù)據(jù)處理的穩(wěn)健性進行了分析和探討.

1 三次多項式一階導數(shù)定理

式中，f(ti+1)表示端點的測量值，f(ti－1)表示端點的內鄰點的前一點的測量值，A3表示對包括端點及其內鄰點的擬合區(qū)間進行最小二乘三次多項式擬合的三次項系數(shù)，h表示采樣間隔.

根據(jù)三次多項式一階導數(shù)定理，可計算濾波區(qū)間的端點的內鄰點的一階導數(shù).

2 仿真計算與討論

2.1 算法的正確性驗證

由表1的數(shù)據(jù)可看出，對于由三次多項式函數(shù)構造的仿真數(shù)據(jù)，按照三次多項式一階導數(shù)定理，能夠對其一階導數(shù)進行準確解算，誤差為0，表明該算法正確.

2.2 算法的基本性能

2.2.1 擬合區(qū)間長度對計算結果的影響

計算端點的內鄰點(t=49)的一階導數(shù)，結果列入表3.

由表3中的數(shù)據(jù)可看出，在采樣間隔不變的情況下，隨著擬合區(qū)間長度的縮短，t=49的點的一階導數(shù)的計算誤差越來越小，解算結果越來越接近真值.這是因為擬合區(qū)間長度越短，三次多項式擬合的準確度就越高，三次項的系數(shù)就越準確，一階導數(shù)的解算結果也就越準確.

由表3中的數(shù)據(jù)還可看出，當擬合區(qū)間的長度發(fā)生較大變化時，對擬合精度的影響并不是很大，這主要是由數(shù)據(jù)本身的特點所決定的.這表明，該算法對于端點附近數(shù)據(jù)的解算具有良好的穩(wěn)健性.

2.2.2 測量誤差限與采樣間隔對計算結果的影響

表1 采樣間隔為0.5的仿真數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data(h=0.5)

表2 采樣間隔為1的仿真數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation data(h=1)

表3 t=49時的一階導數(shù)解算結果Tab.3 Results of the first order derivative(t=49)

表4 t=45時的一階導數(shù)解算結果Tab.4 Results of the first order derivative(t=45)

表5 t=45時的一階導數(shù)解算結果Tab.5 Results of the first order derivative with differentSandh(t=45)

由表5可知，當A3一定時，一階導數(shù)的解算誤差不僅與采樣間隔有關，也與測量誤差限有關，而且在測量誤差限不同時，解算誤差對采樣間隔的敏感程度也不同，當測量誤差為0時，解算誤差對采樣間隔不敏感，且總體上較小.這說明測量數(shù)據(jù)越準確，一階導數(shù)的解算結果就越準確.根據(jù)一階導數(shù)的計算公式，一階導數(shù)與測量誤差限、采樣間隔和三次擬合多項式的三次項系數(shù)有關，所以，表5中的數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出的特點是由這3個因素共同決定的.

3 誤差分析及參數(shù)選取

3.1 誤差分析

式中，Δf(ti+1)表示f(ti+1)的測量誤差，Δf(ti－1)表示f(ti－1)的測量誤差，Δh表示采樣間隔誤差，ΔA3表示A3的擬合誤差.

從而使|Δf'(ti)|→0.

3.2 采樣間隔h的選取

由式(2)和式(3)可知，h→∞，由式(4)可知，h→0，這2個要求相互矛盾，為了在總體上獲得較小的解算誤差，折中取Δf(ti+1)、Δf(ti－1)、ΔA3的系數(shù)分別為1，使Δf(ti+1)、Δf(ti－1)、ΔA3既不擴大、也不縮小，在總體上保持穩(wěn)定，則

故取0.5≤h≤1.

從表5中的數(shù)據(jù)可看出，當0.5≤h≤1時，一階導數(shù)的解算誤差雖然不是最小，但總體上的確處于小且相對穩(wěn)定的狀態(tài)，表明了上述分析的正確.

3.3 三次項系數(shù)A3的選取

從式(2)～(4)可看出，為了使|Δf'(ti)|→0，除了控制h的取值外，盡量減小測量誤差和A3的擬合誤差也很重要，因此，在計算時，應合理選取擬合區(qū)間長度，使A3的值盡可能準確.

4 算法的應用

4.1 實測數(shù)據(jù)解算

圖1 飛行速度解算結果Fig.1 Results of flight velocity

圖2 飛行速度解算誤差Fig.2 Error of flight velocity

從圖2中的速度解算誤差來看，基于三次多項式一階導數(shù)定理的一階導數(shù)解算方法對于實測數(shù)據(jù)有比較好的應用效果，在整體上解算誤差較小，在端點附近仍然有比較高的解算精度.

4.2 算法的實時性分析

以5點擬合區(qū)間為例，若計算機每計算一步所花費的時間是1 μs，則計算三次項系數(shù)所花費的時間約為92 μs，計算1點的一階導數(shù)所花費的時間約為0.1 ms，遠低于采樣間隔，能夠及時地為后續(xù)狀態(tài)估計提供速度或加速度數(shù)據(jù)源，滿足實時數(shù)據(jù)處理要求.

5 結 論

(1)采用基于三次多項式一階導數(shù)定理的算法進行一階導數(shù)解算時，所采用的數(shù)據(jù)間隔h和三次項系數(shù)A3對解算精度有影響，且當h在0.5和1之間時，解算結果在總體上誤差較小.

(2)基于三次多項式一階導數(shù)定理的一階導數(shù)解算方法在實際應用時，首先選取適宜的擬合區(qū)間，對其進行最小二乘三次多項式擬合，獲得擬合多項式的三 次 項 系 數(shù)A3，再 根據(jù) 式計算擬合區(qū)間中不包括端點的所需解算點的一解導數(shù)，然后將擬合區(qū)間向后移動，用上述方法繼續(xù)計算.解算時，采樣間隔一般應控制在0.5～1之間.

6 展 望

基于三次多項式一階導數(shù)定理的解算方法是一種新的數(shù)據(jù)平滑、濾波和預測方法，其基本性能穩(wěn)健、可靠，受飛行軌跡、擬合區(qū)間長度等因素影響較小，是一種高精度的離散數(shù)據(jù)微分解算方法.將該算法用于實時數(shù)據(jù)處理時，主要可在3個方面發(fā)揮作用:一是可對位置測量數(shù)據(jù)進行解算，獲得擬合區(qū)間內不包括端點在內的任一點的速度;二是可對速度測量數(shù)據(jù)進行解算，獲得擬合區(qū)間內不包括端點在內的任一點的加速度;三是從計算公式可看出，計算某點的一階導數(shù)時，不需要該點的信息，利用這一特性，可對實時跟蹤的失鎖數(shù)據(jù)進行一階導數(shù)插值.利用該算法的一階導數(shù)解算結果，還可進一步利用其它算法進行后續(xù)的飛行器運動軌跡狀態(tài)估計和預測.

基于三次多項式的一階導數(shù)定理是在差值定理的應用研究過程中推導出來的，雖然在一階導數(shù)解算過程中只用到三次多項式，但卻能夠比普通算法更好地適應更高階次的數(shù)據(jù)［15］，如果在實時數(shù)據(jù)處理中成功應用，那么不僅能夠適應飛行軌跡的大機動變化，減少或消除目標跟丟情況，實現(xiàn)對飛行軌跡的預測和有效跟蹤，而且無須建立復雜的動力學模型和目標受力的先驗信息，實時處理算法可大大簡化.因此，在這方面還可做更多的研究，以便其早日進入應用階段.

［1］SANJEEV A M，SIMON M，NEIL G，et al.A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-gaussian bayesial tracking［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2002，50(2):174-188.

［2］劉也.彈道目標實時跟蹤的穩(wěn)健高精度融合濾波方法［D］.長沙:國防科學技術大學，2011.LIU Y.The robust and high accurate fusion filter for trajectory target realtime tracking［D］.Changsha:National University of Defense Technology，2011.

［3］李宏博.高頻雷達目標數(shù)據(jù)處理技術研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2009.LI H B.Study of target data processing for high frequency radar［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2009.

［4］LI X R，VESSELIN P J.A survey of maneuvering target tracking—PartⅡ:ballistic target models［C］//Proceedings of SPIE Conference on Signal and Data Processing of Small Targets.Washington D.C.:SPIE，2001:1-23.

［5］GREEN P J，SILVERMAN B W.Nonparametric regression and generalized linear models［M］.London:Chapman and Hall，1994:17-21.

［6］高羽，張建秋，尹建君.機動目標的多項式預測模型及其跟蹤算法［J］.航空學報，2009，30(8):1479-1489.GAO Y，ZHANG J Q，YIN J J.Polynomial prediction model and tracking algorithm of maneuver target［J］.Acta aeronautica ET Astronautica Sinica，2009，30(8): 1479-1489.

［7］潘泉，楊峰，葉亮，等.一類非線性濾波器——UKF綜述［J］.控制理論與決策，2005，20(5):481-489.PAN Q，YANG F，YE L，et al.Survey of a kind of nonlinear filters—UKF［J］.Controland Decision，2005，20(5):481-489.

［8］柴霖，袁建平，羅建軍，等.非線性估計理論的最新進展［J］.宇航學報，2005，26(3):380-384.CHAI L，YUAN J P，LUO J J，et al.New developments in nonlinear systems estimation［J］.Journal of Astronautics，2005，26(3):380-384.

［9］TOR S S.A finite-difference method for linearization in nonlinear estimation algorithms［J］.Automatica，1997，33(11):2053-2058.

［10］MAGNUS N，NIELS K P，OLE R.New developments in state estimation for nonlinear system［J］.Automatica，2000，36(11):1627-1638.

［11］陳科文，張祖平，龍軍.多源信息融合關鍵問題、研究進展與新動向［J］.計算機科學，2013，40(8):6-13.CHEN K W，ZHANG Z P，LONG J.Multisource information fusion:key issues，research progress and new trends［J］.Computer Science，2013，40(8):6-13.

［12］劉也，余安喜，朱炬波，等.彈道目標實時跟蹤中的濾波方法綜述［J］.宇航學報，2003，34(11):1417-1426.LIU Y，YU A X，ZHU J B，et al.Survey of filter algorithms for ballistic target real-time tracking［J］.Journal of Astronautics，2003，34(11):1417-1426.

［13］吳楠，孟凡坤，周致遠.基于樣條擬合和雙向濾波的助推段彈道估計［J］.飛行器測控學報，2014，33(5): 392-398.WU N，MENG F K，ZHOU Z Y.Trajactory estimation in boost phase based on spline fitting and bidirectional filtering［J］.Journal of Spacecraft TT＆C Technology，2014，33(5):392-398.

［14］王勛.無人機自主跟蹤地面運動目標方法與試驗研究［D］.長沙:國防科學技術大學，2012.WANG X.An unmanned aerial verial vehicle autonomously tracking ground moving targets:algorithm and experiments［D］.Changsha:National University of Defense Technology，2012.

［15］梁紅.利用差值定理降低飛行器速度和加速度擬合的截斷誤差［J］.飛行器測控學報，2005，24(3):51-54.LIANG H.Using Error Theorem to reduce the truncation error produced in calculating the velocity and acceleration of spacecraft［J］.Journal of Spacecraft TT＆ C Technology，2005，24(3):51-54.

Robustness of an CP-FODT-Based Algorithm for Real-Time Data Processing

LIANG Hong
(People’s Liberation Army Unit 91550，Dalian 116023，China)

To improve the precision in calculation and state prediction of real-time data near the endpoints of measurement sequence，the cubic-polynomial first-order-derivative-theorem(CP-FODT)is put forward and proved，and a new algorithm based on CP-FODT is researched for calculating the first order derivative of real-time data.How the sampling length，measure error bounds and sampling interval affect the results is shown by simulation calculation.The errors are analyzed，and some basic principles of parameter selection are given.Verification of the algorithm is made by measurement，and the results indicate that it is very robust and reliable.Not only can this algorithm improve the precision in calculation and state prediction of real-time data near the endpoints of measurement sequence，but also some interpolation algorithms can derive from it.So，it can provide high accurate data.

cubic polynomial;first-order derivative;real-time data processing;robustness

V557，O29

:A

:1674-1579(2016)02-0043-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.02.008

梁 紅(1971—)，女，高級工程師，研究方向為試驗數(shù)據(jù)處理.

2015-10-28