王 晶，楊功流，李湘云，周 瀟

（1. 北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191；2. 慣性技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；3. 東營(yíng)職業(yè)學(xué)院 電子信息與多媒體系，東營(yíng) 257091）

重力擾動(dòng)矢量對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)影響誤差項(xiàng)指標(biāo)分析

王 晶1,2，楊功流1,2，李湘云3，周 瀟1,2

（1. 北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191；2. 慣性技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；3. 東營(yíng)職業(yè)學(xué)院 電子信息與多媒體系，東營(yíng) 257091）

針對(duì)制約現(xiàn)有慣導(dǎo)系統(tǒng)精度提升的重力擾動(dòng)矢量誤差項(xiàng)問題，從慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型入手，著重分析了重力擾動(dòng)矢量水平分量（垂線偏差）在導(dǎo)航系統(tǒng)中的誤差傳播特性，利用簡(jiǎn)化的垂線偏差統(tǒng)計(jì)模型推導(dǎo)出導(dǎo)航系統(tǒng)位置誤差均方差表達(dá)式；通過現(xiàn)有全球重力場(chǎng)高階球諧模型（EGM2008），分析了垂線偏差全球均方差水平引起的慣導(dǎo)系統(tǒng)在典型載體運(yùn)行速度下位置誤差項(xiàng)大小，進(jìn)而給出了垂線偏差補(bǔ)償?shù)恼`差項(xiàng)指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，分析了EGM2008在慣導(dǎo)系統(tǒng)中的適用性，結(jié)果表明，當(dāng)EGM2008模型階數(shù)小于12階時(shí)才能滿足導(dǎo)航系統(tǒng)計(jì)算資源要求，模型補(bǔ)償精度為5.86″，適用于位置誤差要求小于0.8 nm/h的慣導(dǎo)系統(tǒng)。

重力擾動(dòng)矢量；慣導(dǎo)系統(tǒng)；位置誤差均方根；EGM2008

隨著慣性器件精度的提高，重力擾動(dòng)矢量成為了制約慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度提升的主要誤差源之一[1]。在全球范圍內(nèi)垂線偏差最大可達(dá)100″[2]（相當(dāng)于500 μg），這一誤差水平遠(yuǎn)高于現(xiàn)有加速度計(jì)零偏大小。因此，分析重力擾動(dòng)矢量在慣導(dǎo)系統(tǒng)中的誤差傳播機(jī)理，明確其對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)定位精度影響的誤差項(xiàng)指標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)航一項(xiàng)重要內(nèi)容，并為后續(xù)的誤差補(bǔ)償研究提供支撐。

由于慣導(dǎo)系統(tǒng)高度通道解算常通過外部信息輔助完成，因此重力擾動(dòng)矢量對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響主要表現(xiàn)在水平分量上[2-3]。國(guó)外關(guān)于重力擾動(dòng)矢量對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)精度影響的研究工作始于20世紀(jì)70~80年代，主要利用重力格網(wǎng)數(shù)據(jù)以及垂線偏差統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行地面慢速航行載體中慣導(dǎo)系統(tǒng)的位置誤差分析。進(jìn)入20世紀(jì)90年代后，主要針對(duì)機(jī)載INS/GPS組合的重力測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行重力擾動(dòng)矢量補(bǔ)償及統(tǒng)計(jì)建模時(shí)的研究工作展開[3-5]，分析 GPS短時(shí)失鎖時(shí)重力擾動(dòng)對(duì)于慣導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響[3]。國(guó)內(nèi)的關(guān)于重力擾動(dòng)對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響研究工作始于20世紀(jì)90年代初，但多針對(duì)特殊形式下的重力擾動(dòng)傳播規(guī)律進(jìn)行靜態(tài)仿真分析，結(jié)果對(duì)于實(shí)際的導(dǎo)航系統(tǒng)重力誤差補(bǔ)償與抑制并無(wú)指導(dǎo)性意義[6][7]。而對(duì)于重力補(bǔ)償方面的研究，主要集中于利用GPS等外部信息輔助的重力擾動(dòng)在線估計(jì)或已知重力區(qū)域數(shù)據(jù)的補(bǔ)償?shù)确椒▽用娴奶剿鱗8-9]。針對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的實(shí)際使用需求，文獻(xiàn)[10]首次分析了適用于不同運(yùn)動(dòng)速度載體的補(bǔ)償時(shí)間間隔。目前，尚未出現(xiàn)具體補(bǔ)償誤差項(xiàng)指標(biāo)的專項(xiàng)研究工作。

本文結(jié)合高階重力場(chǎng)球諧模型EGM2008，定量分析了重力擾動(dòng)水平分量引起的導(dǎo)航位置誤差均方根大小，明確典型載體運(yùn)行速度下重力擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)恼`差項(xiàng)指標(biāo)，并分析采用EGM2008模型進(jìn)行誤差補(bǔ)償手段的適用性，取得的結(jié)論具有工程參考價(jià)值。

1 重力擾動(dòng)矢量建模

1.1 重力擾動(dòng)矢量定義

重力擾動(dòng)（異常）矢量定義為大地準(zhǔn)面上一點(diǎn)在參考橢球表面上對(duì)應(yīng)位置的實(shí)際重力值（gp）與橢球上正常重力值（γQ）的差值[11]，如圖1所示。

圖1 重力擾動(dòng)矢量定義Fig.1 Definition of gravity disturbance vector

其大小定義為重力擾動(dòng)（δg）（或重力異常Δg），方向定義為垂線偏差（包括東西向和南北向兩個(gè)分量，η和ξ），同時(shí)，垂線偏差又可以描述這球面上一點(diǎn)的天文坐標(biāo)與大地坐標(biāo)下點(diǎn)的鉛垂線的差[12]，如圖2所示。

因此，重力擾動(dòng)矢量在慣導(dǎo)系統(tǒng)中可以表述為：

圖2 垂線偏差定義Fig.2 Definition of vertical deflection

其中，γ表示正常重力。

1.2 確定性模型

在位場(chǎng)理論中，重力加速度表示為重力勢(shì)能的梯度，而重力擾動(dòng)矢量則為擾動(dòng)位在大地坐標(biāo)系下的三個(gè)分量。通常以球諧級(jí)數(shù)模型表達(dá)擾動(dòng)位：

式中：f為引力常數(shù)；M表示地球質(zhì)量；a表示地球赤道半徑；ρ表示點(diǎn)的向徑；n為調(diào)和項(xiàng)階數(shù)；m為調(diào)和項(xiàng)次數(shù)；λ表示經(jīng)度；θ表示余緯，即θ=90°-φ，φ表示緯度；Pnm表示締合勒讓德函數(shù)；C'nm與Snm為調(diào)和系數(shù)，C'nm為橢球參數(shù)修正后的調(diào)和系數(shù)，采用精密的地球重力衛(wèi)星測(cè)量數(shù)據(jù)以及地面測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算得到。

對(duì)上述擾動(dòng)位對(duì)大地坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)，即得到重力擾動(dòng)矢量的三個(gè)分量：

為方便計(jì)算與表示，式(5)中以重力異常代替重力擾動(dòng)。

2 重力擾動(dòng)矢量引起的位置誤差

重力擾動(dòng)對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響主要體現(xiàn)在水平通道的影響上，即垂線偏差引起的水平通道誤差，如圖 3所示的靜基座東向通道誤差方塊圖。在系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)后，不可避免地存在平臺(tái)誤差傾角φ，由此將使水平回路中引入交叉耦合加速度誤差aR，這個(gè)誤差即為重力反作用力，而耦合的加速度誤差又引起了速度、位置以及附加的傾角誤差。垂線偏差就可以視為平臺(tái)傾角誤差來(lái)進(jìn)行導(dǎo)航誤差分析。

圖3 慣導(dǎo)系統(tǒng)水平通道誤差方塊圖Fig.3 Horizontal channel error in inertial navigation system

經(jīng)過誤差修正的慣導(dǎo)系統(tǒng)重力模型為：

忽略其它誤差，重力擾動(dòng)在水平方向引起的慣導(dǎo)系統(tǒng)位置誤差傳遞函數(shù)可以簡(jiǎn)化為：

式中，ωs=為舒勒頻率。據(jù)此得到以重力擾動(dòng)激勵(lì)的水平位置誤差時(shí)域表達(dá)式如下：

由于重力擾動(dòng)是一個(gè)時(shí)變函數(shù)，不妨假設(shè)為均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程，對(duì)式(8)取數(shù)學(xué)期望，就得到了位置誤差的均方誤差：

式中，Rδg(t-τ, t-τ')為水平重力擾動(dòng)分量的自相關(guān)函數(shù)。為了方便分析，假設(shè)具有如下一階馬爾可夫形式：

因此，得到考慮了重力擾動(dòng)的慣導(dǎo)系統(tǒng)位置誤差均方差：

根據(jù)式(11)，代入重力擾動(dòng)誤均方差、載體速度、相關(guān)距離就可以確定重力擾動(dòng)引起的位置誤差量級(jí)。

3 導(dǎo)航位置誤差項(xiàng)指標(biāo)分析

3.1 垂線偏差全球均方差

由式(11)可以看出，重力擾動(dòng)水平分量引起的位置誤差方差的大小與擾動(dòng)的方差成正比，因此，垂線偏差的方差大小直接決定位置誤差的量級(jí)。這里我們采用1.2節(jié)給出的確定性模型進(jìn)行定量分析，垂線偏差的全球均方差可以由下式計(jì)算：

由此，根據(jù)EGM2008重力場(chǎng)模型提供的調(diào)和項(xiàng)系數(shù)可以得到垂線偏差階方差對(duì)全球均方差的貢獻(xiàn)量如圖4所示。

式中：M{?}為求平均的代數(shù)運(yùn)算；Cn為重力異常階方差[13]，

圖4 垂線偏差階方差Fig.4 Degree variance of vertical deflection

根據(jù)EGM2008重力模型提供的2160階系數(shù)值可得，重力異常全球均方根誤差為±35.14 mGal，垂線偏差全球均方根為±6.9″（相當(dāng)于±32.7 mGal）。因此將這一垂線偏差水平代入式(11)中，即得到與載體速度和相關(guān)距離有關(guān)的位置誤差均方根曲線。圖5和圖6分別給出了垂線偏差引起的1 h導(dǎo)航位置誤差與載體速度和相關(guān)距離的關(guān)系。

圖5 D=20 nm時(shí)位置誤差與載體速度關(guān)系Fig.5 Relationship of velocity and position error (D = 20 nm)

圖6 v = 80 km/h時(shí)位置誤差與相關(guān)距離關(guān)系Fig.6 Relationship of correlation distance and position error (v = 80 nm/h)

從圖5~圖6中的結(jié)果可以看出：當(dāng)載體速度大于88 km/h后，隨著速度的提高，垂線偏差引起的位置誤差呈減小趨勢(shì)；另一方面，當(dāng)相關(guān)距離大于 18 nm時(shí)，位置誤差同樣隨相關(guān)距離的增大而減小，通常情況下，重力擾動(dòng)矢量相關(guān)距離為20 nm。

3.2 位置誤差項(xiàng)指標(biāo)

從圖7所示的結(jié)果可以看出，垂線偏差引起慣導(dǎo)系統(tǒng)位置誤差隨時(shí)間累積，且呈線性震蕩增長(zhǎng)。進(jìn)一步計(jì)算得到，v=40 km/h時(shí)，RMS=0.17 nm/h；v=80 km/h時(shí)，RMS=0.18 nm/h；v=400 km/h時(shí)，RMS=0.14nm/h；v=1000 km/h時(shí)，RMS=0.09 nm/h。因此，得到在特定運(yùn)行速度下垂線偏差對(duì)不同精度級(jí)別慣導(dǎo)系統(tǒng)的位置誤差貢獻(xiàn)率如表1所示。

從表1的結(jié)果可以看出，對(duì)于水面、陸地上的低速運(yùn)行載體，垂線偏差的影響較大。以20%的誤差貢獻(xiàn)率為指標(biāo)的情況下，我們認(rèn)為表中加粗的誤差項(xiàng)需要補(bǔ)償。進(jìn)而得出若使垂線偏差的誤差貢獻(xiàn)率滿足指標(biāo)要求，對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行重力擾動(dòng)矢量誤差補(bǔ)償所需要達(dá)到的精度指標(biāo)如表2所示。

圖7 垂線偏差引起的導(dǎo)航位置10 h誤差RMSFig.7 RMS of position error induced by vertical deflection in 10 h

表1 垂線偏差對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)位置誤差貢獻(xiàn)率Tab.1 Contribution rate of vertical deflection to position error of INS

表2 殘余垂線偏差容許值Tab.2 Threshold value of residual vertical deflection

從表2中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于0.2 nm/h位置精度級(jí)別的慣導(dǎo)系統(tǒng)來(lái)說，除超音速飛行器重力擾動(dòng)矢量誤差補(bǔ)償精度均應(yīng)達(dá)到2″以上。

4 EGM2008模型適用性分析

4.1 球諧級(jí)數(shù)模型譜分析

基于以上對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的要求，分析現(xiàn)有高階EGM2008對(duì)于精度的滿足性。已知重力異常階方差表達(dá)式(13)和如下重力異常誤差階方差：代入EGM2008模型系數(shù)值級(jí)系數(shù)誤差方差值，可得如圖8所示的階方差曲線。

圖8 重力異常信號(hào)階方差及誤差階方差Fig.8 Degree variances of signal and its error of gravity anomaly

從圖8可知，當(dāng)模型階數(shù)n為1833時(shí)，誤差階方差和信號(hào)階方差的比值接近為 1，認(rèn)為過此點(diǎn)的模型系數(shù)不可信。為了得到較高精度的計(jì)算結(jié)果，我們選取比值在0.1以下的模型作為研究對(duì)象，因此，將模型截?cái)嘀羘=900階，由此產(chǎn)生的截?cái)嗾`差為1.06″。再考慮約0.5″的位系數(shù)誤差累積影響，截?cái)嘀?00階時(shí)，按模型計(jì)算得到的垂線偏差均方根誤差將達(dá)到1.56″。對(duì)照表2的殘余誤差容許值可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于用于速度小于 400 km/h載體的 0.2 nm/h精度級(jí)別慣導(dǎo)系統(tǒng)來(lái)說，單純的模型誤差補(bǔ)償往往不能夠滿足要求。

4.2 球諧級(jí)數(shù)模型計(jì)算用時(shí)測(cè)試

從計(jì)算量角度分析，球諧級(jí)數(shù)模型的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)，計(jì)算用時(shí)隨著階數(shù)的增長(zhǎng)而呈平方遞增。圖9給出了球諧模型在典型 DSP（TMS320C6713，256K×16-bit flash）中的運(yùn)行結(jié)果。

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模型階數(shù)大于12階時(shí)，模型計(jì)算用時(shí)已經(jīng)達(dá)到1 ms，在導(dǎo)航系統(tǒng)中解算周期一般配置為2.5~10 ms之間，顯然，高階球諧模型不能滿足慣導(dǎo)系統(tǒng)的高速計(jì)算。

從存儲(chǔ)空間角度分析，以float型存儲(chǔ)為例，n階球諧模型需要存儲(chǔ)包括球諧系數(shù)、勒讓德函數(shù)參數(shù)等參數(shù)共計(jì)2(n+4)(n-1)個(gè)，不同階數(shù)模型占用存儲(chǔ)空間大小如表3所示。

圖9 各階次球諧模型計(jì)算用時(shí)Fig.9 Average execution time for spherical harmonic model of a given degree and order

表3 不同階數(shù)球諧模型空間復(fù)雜度Tab.3 Space complexity for spherical harmonic model of a given degree and order

當(dāng)把72階球諧模型用于DSP中參與導(dǎo)航解算時(shí)，將出現(xiàn)溢出存儲(chǔ)的錯(cuò)誤（這是因?yàn)镈SP還將為導(dǎo)航解算留出計(jì)算空間），因此，高階球諧模型并不適用于傳統(tǒng)導(dǎo)航系統(tǒng)的硬件配置環(huán)境。

綜上所述，在現(xiàn)有慣導(dǎo)系統(tǒng)硬件配置的基礎(chǔ)上，只有12階以下的EGM2008模型能夠適用導(dǎo)航系統(tǒng)解算。根據(jù)式(12)，12階球諧模型所產(chǎn)生垂線偏差截?cái)嗾`差約為 5.86″，對(duì)照表 2并考慮位系數(shù)誤差累積影響，12階球諧模型適用于位置精度為0.8 nm/h的低速運(yùn)行載體（如地面、水面或水下載體）以及部分位置精度在0.6 nm/h以上的航空載體。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)重力擾動(dòng)矢量對(duì)高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)位置誤差影響問題進(jìn)行深入分析，建立了水平重力擾動(dòng)分量激勵(lì)的導(dǎo)航位置誤差均方差表達(dá)式，明確了位置誤差均方差與載體速度、重力擾動(dòng)矢量相關(guān)距離的關(guān)系以及長(zhǎng)航時(shí)導(dǎo)航位置誤差震蕩增長(zhǎng)的特性。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)現(xiàn)有高階重力場(chǎng)球諧模型EGM2008的全球均方差大小，明確不同載體運(yùn)行速度下垂線偏差占導(dǎo)航系統(tǒng)誤差總量的比例關(guān)系，進(jìn)而得到以20%的誤差貢獻(xiàn)率為指標(biāo)的條件下慣導(dǎo)系統(tǒng)垂線偏差補(bǔ)償指標(biāo)，認(rèn)為當(dāng)載體運(yùn)行速度低于400 km/h時(shí)，全階次EGM2008模型只能滿足位置誤差大于0.2 nm/h，當(dāng)載體運(yùn)行速度大于1000 km/h時(shí)全階模型可以滿足導(dǎo)航位置精度至 0.1 nm/h。最后在現(xiàn)有慣導(dǎo)系統(tǒng)典型硬件配置環(huán)境下進(jìn)行EGM2008模型的適用性測(cè)試，證明了12階球諧模型可以滿足導(dǎo)航系統(tǒng)實(shí)時(shí)解算要求，誤差補(bǔ)償精度約為5.86″。

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Error indicator analysis for gravity disturbing vector’s influence on inertial navigation system

WANG Jing1,2, YANG Gong-liu1,2, LI Xiang-yun3, ZHOU Xiao1,2
(1. School of Instrumentation Science and Opto-electronics Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China; 2. Science and Technology on Inertial Laboratory, Beijing 100191, China; 3. School of Electronic Information and Media, Dongying Vocational College, Dongying 257091, China)

The characteristics of gravity disturbing vector errors and their influences on navigation algorithm are studied for suppressing the navigation errors. Based on the error model of the inertial navigation systems (INS), the position error excited by horizontal component of gravity disturbing vector is studied, and according to which, the position RMS is derived. The global average variance of vertical deflection is used to quantify the vertical-deflection-induced position RMS under different velocities of vehicle set. Then the indexes of vertical deflection influencing on INS are proposed. Experiments with digital signal processor show that the requirements of computing resources of the navigation system can only be satisfied when with＜12-order spherical harmonic gravity model EGM2008, and the compensation precision of the model is 5.86″. This gravity model can be applied to such INS as the position error is ＜0.8 nm/h.

gravity disturbing vector; inertial navigation system; position RMS; EGM2008

U666.1

：A

2016-03-30；

：2016-04-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61340044）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（YWF-10-01-B30）

王晶（1987—），女，博士研究生，從事重力場(chǎng)建模技術(shù)研究。E-mail: 050441jj@163.com

聯(lián) 系 人：楊功流（1967—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: bhu17-yang@139.com

1005-6734(2016)03-0285-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.03.002