王志文，徐以濤，黃鑫權，趙　勇，林　剛

(解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007)

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基于觀測矩陣優(yōu)化的自適應壓縮寬帶頻譜感知*

王志文，徐以濤，黃鑫權，趙勇，林剛

(解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007)

摘要：壓縮采樣(CS，又稱壓縮感知)技術的出現(xiàn)為頻譜感知在更寬的頻譜范圍探測稀疏信號帶來了革命性的契機。這里將觀測矩陣優(yōu)化與壓縮采樣自適應過程相結合，提出了一種優(yōu)化的自適應壓縮寬帶頻譜感知算法。此外，還引入交叉驗證理論，從而保證了信號采樣階段的自動終止，以防止浪費硬件資源。理論分析和實驗仿真表明，相比于傳統(tǒng)自適應壓縮感知方法，所提算法能夠在較低信號采樣率的情況下獲得滿意的信號恢復精度。

關鍵詞：認知無線電；寬帶頻譜感知；自適應壓縮采樣；觀測矩陣優(yōu)化

0引言

隨著無線通信需求的劇烈增長，頻譜資源的匱乏變得越來越嚴重。然而，眾多關于無線電頻譜占用的研究已經(jīng)表明，傳統(tǒng)的靜態(tài)頻譜分配策略是造成頻譜利用率低下的重要原因[1]。認知無線電的出現(xiàn)為探索頻譜空穴的機會利用進而提高頻譜利用率帶來了契機，而這種能力的實現(xiàn)得益于頻譜感知的技術支撐。因此，在寬頻帶范圍內(nèi)偵查頻譜占用情況的寬帶頻譜感知技術被認為是認知無線電中最為關鍵的技術，也是極具挑戰(zhàn)性的課題之一[2]。

造成上述挑戰(zhàn)的原因有很多，其中之一便是接收信號時需要較高的采樣率，這就要求接收機擁有復雜且昂貴的模擬數(shù)字轉換器(ADC)。然而，目前ADC的最高工藝水平僅有3.6 GHz，這并不能滿足寬帶信號采樣的需求[3]。對于寬帶認知網(wǎng)絡來說，傳統(tǒng)的頻譜感知方法有極大的局限性。

壓縮感知的出現(xiàn)為在數(shù)據(jù)采集階段顯著降低信號采樣率帶來了突破性的進展。Tian和Giannakis首次在壓縮感知理論的基礎上用亞奈奎斯特采樣率對寬帶信號進行了采樣獲取[4]。最近，諸如蒸餾感知(DS)[5]等自適應感知技術被證明是一種在噪聲環(huán)境下有效的信號采集方式。文獻[6]提出了序貫壓縮感知(SCS)方法，這是一種逐步獲得信號壓縮測量值的完全自適應的算法。文獻[7]通過一種2范數(shù)驗證的方法在頻譜恢復精度達到要求的時候立即使認知終端自動停止信號接收，從而增大了系統(tǒng)的吞吐量。Xing Wang等人還提出了一種基于不同采樣率下信道占用信息(CIO)相關性的自適應壓縮感知算法[8]。上述算法共同的缺點是在信號的自適應獲取過程中缺少觀測矩陣的優(yōu)化，僅靠自適應過程并不能達到最優(yōu)的采樣率。文獻[9]設計了一種基于最小Cramer-Rao界的矩陣優(yōu)化方法，該算法自適應地設計矩陣的行，最終得到最優(yōu)的觀測矩陣。此外，在認知無線網(wǎng)絡中動態(tài)采樣率調(diào)整也是一種自適應的壓縮頻譜感知方法[10]。

在本文中，我們針對寬帶頻譜感知問題提出了一種優(yōu)化的自適應壓縮采樣算法，以期在信號采樣階段選擇最優(yōu)的采樣率，避免浪費硬件資源。所提算法通過對觀測矩陣進行優(yōu)化進而提高壓縮信號的恢復精度，同時在自適應的過程中引入交叉驗證理論來判斷停止準則。并且文章已經(jīng)證明，通過監(jiān)測交叉驗證所產(chǎn)生的恢復誤差可以在當前采樣率滿足需求時及時停止信號獲取。

1預備知識

1.1壓縮感知理論

在過去，奈奎斯特采樣定律是通信和信號處理領域中唯一的采樣準則，其避免頻譜混疊所利用的先驗信息僅為模擬信號的帶寬。與此完全相反的是，對于某些稀疏信號壓縮感知可使認識用戶在低于奈奎斯特采樣率的情況下仍然能對模擬信號進行不失真采樣。并且實現(xiàn)這種從模擬直接到信息的轉換器(AIC)目前已經(jīng)廣泛地應用于壓縮頻譜感知當中[11]。

考慮一個以奈奎斯特采樣率fNyq從射頻前端采集下來的信號x∈N×1，其采樣時間為τ。此處，令N=τ*fNyq為自然數(shù)。通過N×N的基矩陣Θ=[θ1,θ2,…,θN]，我們將x分解成如下形式：

(1)

x=F-1X

(2)

y=Φx=ΦF-1X

(3)

式中，y=[y1,y2,…,yM]T∈M×1表示觀測向量，Φ中的元素互相獨立且均服從均值為0、方差為1/M的正態(tài)分布。因此，在觀測矩陣Φ選取合適的情況下，式(2)中的X可以通過解決如下1范數(shù)優(yōu)化問題進行高概率重構：

(4)

在實際的認知無線網(wǎng)絡中，不可避免地有噪聲的存在，在加性高斯白噪聲環(huán)境下，壓縮感知問題模型改為如下形式：

y=ΦF-1X+n

(5)

式中，n表示測量噪聲。此時的信號恢復模型變?yōu)椋?/p>

(6)

式中，ε>0是線性觀測存在噪聲的情況下信號恢復誤差的門限值。

目前，壓縮感知的重構算法大致分為兩類，一類是凸優(yōu)化方法，包括基追蹤(BP)、梯度投影法(GPSR)等，另一類是貪婪算法，包括正交匹配追蹤(OMP)[12]、子空間追蹤(SP)等等。本文綜合考慮算法速度和實現(xiàn)復雜度，在式(6)的處理上采用OMP算法。

1.2壓縮感知中的交叉驗證

交叉驗證(CV)作為一種統(tǒng)計學上的技術方法，常被用來檢驗某種模型與它的測量數(shù)據(jù)是否匹配。在本文中，將交叉驗證理論引入壓縮感知，用來確定貪婪算法的停止迭代準則。在此，將M×N的觀測矩陣Φ拆分為重構矩陣ΦR∈mR×N和校驗矩陣ΦCV∈mCV×N，其中M=mR+mCV。因此，交叉驗證觀測模型可以表述為：

yR=ΦRx+n=ΦRF-1X+n

(7)

yCV=ΦCVx+n=ΦCVF-1X+n

(8)

(9)

根據(jù)文獻[14]的推導，由εCV估計的信號恢復誤差可由如下定理確定，

(10)

式中，h(λ,±)是與λ有關的函數(shù)，其定義為：

(11)

erf(u)是正態(tài)分布的誤差函數(shù)，其定義為：

(12)

依據(jù)定理1，恢復誤差εX的邊界最終確定為以下區(qū)間，

(13)

2觀測矩陣優(yōu)化

由于M

(14)

則稱矩陣滿足K階RIP條件，其中Ψ=ΦF-1定義為感知矩陣。RIP使得Ψ的任何列之間幾乎是正交的，并且保證了Φ和F-1的不相關性。然而，RIP條件的驗證非常困難，Michel在文獻[15]中給出了一種比式(14)更簡潔的表達式：

(15)

式中，μ(Ψ)表示感知矩陣Ψ的相關程度。μ(Ψ)的定義為感知矩陣Ψ所有列之間絕對值最大的歸一化內(nèi)積，即：

式中，φi表示矩陣Ψ的第i列。文獻[16]給出了用某一重構算法解決式(6)問題時的均方根誤差上界，

(17)

式中，ξ=‖n‖2，δ≥ξ=‖y-ΨX‖2。

由前述可知，相關系數(shù)對信號的恢復精度有著顯著的影響，也就是說如果感知矩陣Ψ選擇合適的話，μ(Ψ)就會充分的小，那么RIP將保證信號高概率地準確恢復。因此，設法降低感知矩陣Ψ各列之間的相關性對提升重構算法性能至關重要。

定義復格拉姆矩陣G=ΨHΨ表示感知矩陣Ψ的相關程度，其中(·)H表示矩陣的共軛轉置，那么G中除去主對角元外最大的元素即式(16)中定義的互相關程度μ(Ψ)。格拉姆矩陣的表達式如下：

(18)

(19)

式中，‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)。將G=ΨHΨ=F-1HΦHΦF-1帶入式(19)，可得其等價形式：

(20)

文獻[17]給出了一種較上式更為簡潔的形式，即：

(21)

(22)

文獻[18]給出了式(22)的解，即：

Σ=UVH

(23)

式中，U和V可由式(24)進行奇異值分解得到，亦即：

(24)

需要說明的是，此處U是一個M×M的酉矩陣，S是一個M×M的對角矩陣，而V則是一個N×M的半酉矩陣。求得Σ之后，運用最小二乘估計即可得到最優(yōu)的感知矩陣Φ，其形式如下：

(25)

3優(yōu)化的自適應壓縮寬帶頻譜感知

為了找到最優(yōu)的采樣率，本節(jié)在前述分析的基礎上結合交叉驗證與觀測矩陣優(yōu)化提出了優(yōu)化的自適應壓縮寬帶頻譜感知算法。定義壓縮采樣比R表示系統(tǒng)采樣率和奈奎斯特采樣的比值，即：

(26)

式中，0

為了簡單起見，定義交叉驗證均方誤差：

(27)

在整個自適應的過程中，前后連續(xù)兩步mseCV的差值D將作為嚴格監(jiān)控的目標，其定義如下：

(28)

在算法運行過程沖，部分參數(shù)需要給予特別的關注。步進值Δ可以是0到1之間的任意值，Δ越大，找到最優(yōu)的壓縮采樣比R*所需的時間越短，與此同時，算法所找到的R*可能會偏大，造成硬件資源的浪費。改算法中的停止門限D*是另一個需要重視的參數(shù)。D*可以設置成非常接近0 的值。若D*太小，盡管算法找了精確的采樣率，但是這將消耗過多的采樣時間。實際的工程中有時并不需要如此高的精度，因此設置一個適當?shù)拈T限D*是極其必要的。

4仿真結果

考慮如下寬帶信號：

(29)

通過某一無線信道被噪聲惡化的寬帶信號s(t)其形式變?yōu)椋?/p>

x(t)=s(t)+n(t)

(30)

式中，n(t)是加性高斯白噪聲，并通過其方差影響信噪比(SNR)。一個被7 dB噪聲惡化的寬帶信號如圖1(b)所示，這也是仿真試驗中待檢測的目標頻譜。為簡單起見，在算法迭代的每一步中設定感知時間τ使得接收信號長度N為固定值，即N=fNyq×τ=1024，其中fNyq=4 GHz。而壓縮觀測值的數(shù)量M=R×fNyq×τ則在算法運行的整個過程中不斷地變化。

圖1　頻譜圖

首先驗證觀測矩陣優(yōu)化方法的有效性，仿真采用長度N=1 024的寬帶信號。此處，壓縮采樣比R=0.25暫時設置為固定值，噪聲變化范圍為0～15 dB。為了評估信號重構的效果，定義均方誤差(MSE)如下：

(31)

利用OMP算法對信號進行重構的均方誤差曲線如圖2所示，從中可以看到隨著信噪比的增大信號恢復的質量也隨之提升，并且采用了優(yōu)化觀測矩陣的重構算法(OMP-OP)性能優(yōu)于單純的OMP算法，尤其在低信噪比的情況下更為明顯。

圖2　OMP和OMP-OP在不同信噪比下的性能比較

圖3給出了在不同壓縮采樣比情況下的信號重構效果，此處設置R的變化范圍為0.05到0.9。需要注意的是，在信號采樣過程中過小的R將導致很高的重構誤差，此時恢復出的信號也是毫無意義的。同樣，過大的R則失去了壓縮感知的初衷，沒有達到節(jié)約硬件資源的目的。此處，信噪比設置為5 dB。從圖中可以看到，OMP-OP重構性能優(yōu)于單純的OMP算法，換言之，在達到同樣信號恢復精度的情況下，采用優(yōu)化觀測矩陣的策略將降低所需的采樣率。

圖3　在不同壓縮采樣比情況下OMP與

如圖4所示，該算法在第9步時檢測到D值小于門限0.1，隨即找到了最優(yōu)的壓縮采樣比R*，此時的精確的壓縮采樣比為0.45。并且，通過R*采樣的信號其頻譜重構效果已在圖1(c)中給出，從中可以明顯的識別出6個主用戶的位置。

圖4　寬帶頻譜感知中的算法性能

5結語

文章提出了一種旨在尋找最優(yōu)壓縮采樣率以節(jié)約硬件資源的寬帶頻譜感知算法。該算法利用觀測矩陣優(yōu)化的策略得到了在相同條件下比傳統(tǒng)壓縮感知更低的采樣率，同時，文章引入了交叉驗證理論使得算法在停止準則滿足時自動終止信號采樣過程。理論分析和仿真實驗均表明，所提算法能夠自適應地找到最優(yōu)壓縮采樣率，這保證了在有效重構信號的同時最大限度地節(jié)約寶貴的硬件資源。

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王志文(1991—)，男，碩士研究生，主要研究方向為認知無線電、寬帶頻譜感知；

徐以濤(1971—)，男，博士，教授，碩士生導師，主要研究方向為軟件無線電、認知無線電、無線通信、數(shù)字信號處理、通信對抗技術；

黃鑫權(1993—)，男，碩士研究生，主要研究方向為認知無線電、頻譜感知安全；

趙勇(1986—)，男，碩士研究生，主要研究方向為認知無線電，通信對抗，移動通信；

林剛(1990—)，男，碩士研究生，主要研究方向為無線通信、頻譜預測。

Adaptive Compressive Wideband Spectrum Sensing based on Measurement Matrix Optimization

WANG Zhi-wen, XU Yi-tao, HUANG Xin-quan, ZHAO Yong, LIN Gang

(College of Communication Engineering, PLA University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu 210007,China)

Abstract：The emergence of compressive sampling (CS, also known as compressive sensing) technology brings a revolutionary opportunity to spectrum sensing for its detecting the sparse signals in broader spectrum span.In combination of measurement matrix optimization and adaptive process of compressive sampling a modified adaptive compressive wideband spectrum sensing algorithm is proposed.In addition, a CV (Cross Validation) method is introduced, thus to guarantee the automatic termination of signal acquisition stage,and avoid the waste of hardware resources. Theoretical analysis and experimental simulations indicate that, compared with traditional CS recovery algorithm, the proposed algorithm could achieve satisfactory signal recovery precision in the situation of fairly low sampling rate.

Key words：cognitive radio, wideband spectrum sensing, adaptive compressive sampling, measurement matrix optimization

作者簡介：

中圖分類號：TN92

文獻標志碼：A

文章編號：1002-0802(2016)01-0062-06

基金項目：國家自然科學基金青年項目(No.61301160)Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.61301160)

*收稿日期：2015-08-20；修回日期：2015-11-29Received date:2015-08-20；Revised date：2015-11-29

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.01.013