張家樂(lè) 王化銀
(淮北市第一中學(xué) 安徽 淮北 235000)
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單球面折射成像公式及其應(yīng)用
張家樂(lè)王化銀
(淮北市第一中學(xué)安徽 淮北235000)
摘 要:物理競(jìng)賽幾何光學(xué)球面折射問(wèn)題的求解,直接利用單球面折射成像公式,往往能使得求解過(guò)程快速而簡(jiǎn)潔.
關(guān)鍵詞:幾何光學(xué)球面折射物理競(jìng)賽
單球面折射問(wèn)題在競(jìng)賽試題中時(shí)常出現(xiàn),參考解法中用到的式子較多,且進(jìn)行了較多的近似處理,學(xué)生不易理解.若直接利用球面介質(zhì)對(duì)光線折射的普通規(guī)律——單球面折射成像公式,則能使得求解過(guò)程快速而簡(jiǎn)潔.
1公式推導(dǎo)
如圖1,設(shè)其中折射球面的球心為C,球面兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n1和n2,且n1 圖1 由于i1和i2都很小,故由近似關(guān)系應(yīng)有sini1=i1,sini2=i2,則上式變?yōu)?/p> n1i1=n2i2 又由圖中的幾何關(guān)系可以看到i1=α+θ和i2=α-β,代入上式便為 以h表示圖中B點(diǎn)到主光軸的距離,R表示球面半徑,則由小角的近似關(guān)系可以得到 代入上式并整理可得 上式即為單球面折射時(shí)的物像距公式,式中各物理量的正、負(fù)取值有一定的規(guī)則,這一規(guī)則是:入射光線從左方射來(lái)時(shí),球心在界面的右側(cè),則R取正值,球心在界面左側(cè),則R取負(fù)值;實(shí)物和實(shí)像的物距和像距都取正值;虛物和虛像的物距和像距都取負(fù)值. 2競(jìng)賽試題解答 2.1題目1 【例1】(第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第16題)如圖2所示,一垂直放置的高為15.0 cm的圓柱形中空玻璃容器,其底部玻璃較厚,底部頂點(diǎn)A點(diǎn)到容器底平面中心B點(diǎn)的距離為8.0 cm,底部上沿為一凸起的球冠,球心C點(diǎn)在A點(diǎn)正下方,球的半徑為1.75 cm.已知空氣和容器玻璃的折射率分別是n0=1.0和n1=1.56.只考慮近軸光線成像.已知:當(dāng)λ?1時(shí),sinλ≈λ. (1)當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí),求從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)平凸玻璃柱,在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像的位置,并判斷像的虛實(shí); (2)當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí),求從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)平凸玻璃柱的上表面折射后所成像點(diǎn)的位置,并判斷這個(gè)像的虛實(shí). 圖2 2.1.1原解答 (1)容器底部凸面兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別是n1=1.56和n0=1.0.如圖3,由B點(diǎn)發(fā)出的經(jīng)過(guò)球心C的光線BA經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A后,方向不變,進(jìn)入空氣中;由B點(diǎn)發(fā)出的與BA成α角的另一條光線BD在D點(diǎn)折射,設(shè)折射角為φ,并與前一條出射光線交于E點(diǎn),E點(diǎn)即B點(diǎn)的像點(diǎn)的位置. 圖3 由折射定律和幾何關(guān)系得 n1sinθ=n0sinφ (1) γ=α+θ (2) φ=γ+β (3) 在三角形BCD和三角形CDE中 ,由正弦定理可得 (4) (5) 由于只考慮近軸光線成像,所以α,β,θ,φ都是小角度,式(1)、(4)、(5)可寫為 n1θ=n0φ (6) (7) (8) 由式(6)、(7)可得 所考慮的光線是會(huì)聚的,故所成的像為實(shí)像.由式(2)、(3)、(6)、(7)、(8)可得 將題給數(shù)據(jù)代入上式得 1.75 cm=9.75 cm (9) 由式(9)和題給數(shù)據(jù)得 (8.0-1.75+9.75) cm=16.0 cm (10) B點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)平凸玻璃柱,在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正上方9.75 cm處或在B點(diǎn)正上方16.0 cm處. (2)容器底部凸面兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別是 n1=1.56和n2=1.30.如圖4,由B點(diǎn)發(fā)出的經(jīng)過(guò)球心C的光線BA經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A后,方向不變,進(jìn)入液體中;由B點(diǎn)發(fā)出的與BA成α角的另一條光線BD在D點(diǎn)折射,設(shè)折射角為φ,并與前一條出射光線交E點(diǎn),E點(diǎn)即B點(diǎn)發(fā)出的光線第一次折射后所成像點(diǎn)的位置. 圖4 由折射定律和幾何關(guān)系可得 n1sinθ=n2sinφ (11) γ=α+θ (12) γ=φ+β (13) 在三角形BCD和三角形CDE中 ,由正弦定理可得 (14) (15) 由于只考慮近軸光線成像,所以α,β,θ,φ都是小角度, 式(11)、(14)、(15)可寫為 n1θ=n2φ (16) (17) (18) 由式(16)、(17)可得 所考慮的光線是發(fā)散的,故所成的像為虛像.由式(12)、(13)、(16)、(17)、(18)得 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式可得 1.75 cm=26.25 cm (19) 由式(19)和題給數(shù)據(jù)得 (1.75+26.25-8.0) cm=20.0 cm (20) B點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)平凸玻璃柱,第一次折射后所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正下方26.25 cm處或在B點(diǎn)正下方20.0 cm處. 2.1.2利用單球折射成像公式解答 (1)當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí),根據(jù)單球面折射成像公式得 即 解得 v=8.0 cm 所成的像點(diǎn)的位置在A點(diǎn)正上方8.0 cm處,即B點(diǎn)正上方16.0 cm處. (2)當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí),根據(jù)單球面折射成像公式得 即 解得 v=-28.0 cm 所成的像點(diǎn)的位置在A點(diǎn)正下方28.0 cm處,即B點(diǎn)正下方20.0 cm處. 2.2題目2 【例2】(第25屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第19題) 如圖5所示,一細(xì)長(zhǎng)的圓柱形均勻玻璃棒,其一個(gè)端面是平面(垂直于軸線),另一個(gè)端面是球面,球心位于軸線上.現(xiàn)有一根很細(xì)的光束沿平行于軸線方向且很靠近軸線入射.當(dāng)光從平端面射入棒內(nèi)時(shí),光線從另一端面射出后與軸線的交點(diǎn)到球面的距離為a;當(dāng)光線從球形端面射入棒內(nèi)時(shí),光線在棒內(nèi)與軸線的交點(diǎn)到球面的距離為b.試近似地求出玻璃的折射率n. 圖5 2.2.1原解答 入射的兩條光線如圖6所示.α1和β1是從平端面入射的光線通過(guò)球形端面時(shí)的入射角和折射角;α2和β2是從球形端面入射的光線通過(guò)球面時(shí)的入射角和折射角.根據(jù)折射定律有 nsinα1=sinβ1 (21) sinα2=nsinβ2 (22) 圖6 由幾何關(guān)系有 β1=α1+δ1 (23) β2=α2+δ2 (24) 設(shè)球面的半徑為R,注意到α1,α2,δ1,δ2都是小角度,故有 Rα1=aδ1 (25) Rα2=aδ2 (26) 根據(jù)題給的條件,式(1)、(2)可近似表示成 nα1=β1 (27) α2=nβ2 (28) 由式(3)~(8)得 (29) 2.2.2利用單球折射成像公式解答 根據(jù)單球面折射成像公式得 當(dāng)光從平端面射入棒內(nèi)時(shí) 當(dāng)光線從球形端面射入棒內(nèi)時(shí) 解以上兩式得 競(jìng)賽試題的原解答,相當(dāng)于將單球面折射成像公式從頭至尾又推導(dǎo)了一遍,其中涉及到折射定律、幾何關(guān)系及近軸光線情況下近似處理,過(guò)程呈現(xiàn)中用到的式子也必然較多.但這種解法輔助以光路圖,成像位置、虛實(shí),一目了然,較為直觀.直接利用單球面折射成像公式求解此類問(wèn)題,省去了中間推導(dǎo)的繁雜過(guò)程,簡(jiǎn)潔、明了,像的虛實(shí)也可以根據(jù)像距v的正負(fù)進(jìn)行判斷.對(duì)于高強(qiáng)度的物理競(jìng)賽拔尖選優(yōu)考試,后一種方法更為高效、省時(shí),同時(shí)也能反映出學(xué)生對(duì)物理鉆研的深度與廣度. 參 考 文 獻(xiàn) 1程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理講座.合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2000 (收稿日期:2015-10-17)