胡曦茜+++周超

摘 要： 無(wú)論是國(guó)內(nèi)的青浦實(shí)驗(yàn)還是國(guó)外的許多研究，都體現(xiàn)了我國(guó)中學(xué)生對(duì)高層次數(shù)學(xué)認(rèn)知的缺失，因此，作者通過(guò)對(duì)九年級(jí)《反證法》的一節(jié)課的具體研究，分析目前課堂教學(xué)中各層次數(shù)學(xué)任務(wù)的所占比例及落實(shí)情況，對(duì)如何在課堂教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平提出具體建議。

關(guān)鍵詞： 高層次 數(shù)學(xué)認(rèn)知 課堂教學(xué)

在目前的數(shù)學(xué)教育中，人們普遍認(rèn)為中國(guó)學(xué)生善于解決常規(guī)問(wèn)題，而不善于解決非常規(guī)、開(kāi)放性問(wèn)題，這一觀點(diǎn)在國(guó)內(nèi)外多項(xiàng)研究中都得到了驗(yàn)證。顧泠沅教授組織的青浦實(shí)驗(yàn)在1990年和2007年分別對(duì)八年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平進(jìn)行了大樣本的測(cè)試。這兩次測(cè)試的結(jié)果表明，學(xué)生在“計(jì)算”、“概念”、“領(lǐng)會(huì)”水平上已經(jīng)取得了較大的突破，但是在“分析”水平上，不但幾乎沒(méi)有任何進(jìn)步，反而還有倒退的跡象。解決非常規(guī)、開(kāi)放性問(wèn)題和顧泠沅教授所劃分的“分析”水平，均屬于高層次數(shù)學(xué)認(rèn)知。因此，什么是高認(rèn)知層次數(shù)學(xué)任務(wù)，以及如何在課堂教學(xué)提高學(xué)生高水平數(shù)學(xué)認(rèn)知亟待解決。

對(duì)此，鮑建生等人根據(jù)青浦實(shí)驗(yàn)小組的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，認(rèn)為“分析”水平應(yīng)包括以下五點(diǎn)高認(rèn)知層次數(shù)學(xué)任務(wù)：

（1）發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題：從各種情境中發(fā)現(xiàn)所包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系或結(jié)構(gòu)，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題；

（2）解決非常規(guī)的和開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題；

（3）提出猜想與構(gòu)造模型：分析條件和結(jié)論間主要關(guān)系或重點(diǎn)步驟，形成假設(shè)或初步的數(shù)學(xué)模型；

（4）特殊化與一般化：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化；

（5）數(shù)學(xué)推理與證明：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言形成結(jié)論并給出嚴(yán)格的證明。

本文將以此為框架，對(duì)一節(jié)具體的九年級(jí)數(shù)學(xué)課進(jìn)行課堂實(shí)錄研究。

1.《反證法》內(nèi)容及教材分析

本節(jié)課是華東師范大學(xué)版初中九年級(jí)教材下冊(cè)29.2節(jié)《反證法》，在教學(xué)中，學(xué)生需要體會(huì)反證法的含義，掌握反證法的步驟與綜合法的根本區(qū)別，并且能用反證法證明一些較簡(jiǎn)單的命題。反證法是一種常用的數(shù)學(xué)證明方法，但是，對(duì)九年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，反證法需要較高的數(shù)學(xué)思維水平，且反證法是他們從來(lái)沒(méi)有接觸過(guò)的證明方法，因此讓學(xué)生理解反證法的含義和掌握證明步驟成為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。同時(shí)，尋找問(wèn)題的反面是本節(jié)課的難點(diǎn)。

2.教學(xué)過(guò)程分析

表1 各數(shù)學(xué)任務(wù)用時(shí)分布情況表

本節(jié)課包括：情境引入、方法形成、反證法證明過(guò)程的分解練習(xí)、例題、練習(xí)、擴(kuò)展練習(xí)、總結(jié)7個(gè)部分，將每個(gè)部分細(xì)化，與上述框架對(duì)應(yīng)，筆者發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課教師對(duì)其中四點(diǎn)落實(shí)較好，但較少涉及解決非常規(guī)和開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體過(guò)程如上表：

2.1形成并發(fā)現(xiàn)合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

這節(jié)課在情境引入和方法形成的第一步中，教師幫助學(xué)生形成并發(fā)現(xiàn)合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

首先，引入課題的是兩個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的情境，這兩個(gè)問(wèn)題用反證法更容易解釋得清楚，但教師直接讓學(xué)生解釋，在學(xué)生解釋不清的時(shí)候，再提示學(xué)生從結(jié)論的反面入手。這樣的做法給了學(xué)生充足的思考時(shí)間，這就幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即，什么樣的問(wèn)題需要用反證法證明？反證法的好處是什么？怎么用反證法證明？在方法形成的第一步中，教師同樣做到了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和形成數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)看第一步的教學(xué)實(shí)錄：

師：我們看一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在一個(gè)△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.這個(gè)命題是真命題嗎？

生：是。

師：這是什么？

生：勾股定理。

師：這就是我們熟悉的勾股定理。接下來(lái)教師把他改一改我把剛才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，這是真命題嗎？

生：是。（回答人數(shù)不多，學(xué)生有些猶豫。）

師：是。為什么呢？

師：思考一下，這個(gè)問(wèn)題很難直接回答，那我們是不是也可以從它的反面來(lái)講一講。想想看我們這個(gè)命題是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

師：那么我假設(shè)a■+b■=c■，你會(huì)得到一個(gè)什么結(jié)果？

生：∠C=90°.

師：為什么會(huì)得到∠C=90°呢？

生：因?yàn)楣垂啥ɡ淼哪娑ɡ怼?/p>

師：也就是說(shuō)因?yàn)楣垂啥ɡ淼哪娑ɡ碇肋@是一個(gè)直角三角形，因?yàn)镃是斜邊，所以∠C=90°。這與已知條件中∠C≠90°矛盾。一旦出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)還成立嗎？

生：不成立。

師：那么就是導(dǎo)致了a■+b■=c■這個(gè)命題不成立，也就是a■+b■≠c■，這個(gè)命題是一個(gè)真命題。

這個(gè)過(guò)程中，教師一直在引導(dǎo)學(xué)生，給出提示，讓學(xué)生自己說(shuō)出結(jié)果。雖然處理方法與情境引入相似，但情境引入是兩個(gè)生活實(shí)例，而這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果在情境引入中教師能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并形成數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么在這個(gè)問(wèn)題中，教師希望學(xué)生自己能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題與情境引入中問(wèn)題的相似，從而自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系和結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.2解決非常規(guī)和開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

在本節(jié)課的最后，進(jìn)行完例題與習(xí)題的講解，教師給出了一個(gè)有趣的問(wèn)題，如下：

討論問(wèn)題：有A，B，C三個(gè)人，A說(shuō)B撒謊，B說(shuō)C撒謊，C說(shuō)A，B都撒謊，則C必定是在撒謊，為什么？

這是一個(gè)非常規(guī)和開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在之前的授課中，學(xué)生練習(xí)的均為常規(guī)的程序性數(shù)學(xué)問(wèn)題，這道非常規(guī)開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題有利于拓寬學(xué)生思路，同時(shí)加深對(duì)反證法的理解，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。但是可惜由于時(shí)間關(guān)系，教師僅僅用自己提問(wèn)然后自己回答的方式，證明了一下C必定撒謊這一結(jié)論，整個(gè)過(guò)程用時(shí)很短，從課堂反應(yīng)上看，學(xué)生似乎對(duì)此問(wèn)題的理解不夠。

2.3提出猜想與構(gòu)造模型。

在方法形成的第二步，教師引導(dǎo)學(xué)生提出了勾股定理的否命題，便在黑板上板書(shū)了反證法的詳細(xì)證明步驟。值得一提的是，教師并沒(méi)有自己歸納，而是請(qǐng)一名同學(xué)回憶上述問(wèn)題的證明過(guò)程，自己歸納。這便做到了提出猜想與構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。對(duì)具體問(wèn)題的證明和抽象出一般的證明方法之間有著較大跨度，讓學(xué)生自己歸納有利于培養(yǎng)學(xué)生分析條件和結(jié)論之間主要關(guān)系或重點(diǎn)步驟，形成初步數(shù)學(xué)模型的能力。

2.4特殊化與一般化。

在形成一般化的證明方法以后，教師適時(shí)地按照證明步驟回顧了情境引入和勾股定理否命題這兩個(gè)問(wèn)題的證明。這樣的做法正好符合了一般化與特殊化的原則，全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化?；仡櫪拥倪^(guò)程有利于讓學(xué)生把程序化的證明方法和證明過(guò)程的實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，深化對(duì)反證法證明過(guò)程的理解。

接著進(jìn)行了對(duì)反證法證明過(guò)程的分解練習(xí)，具體做法如下：

第一步：練習(xí)如何進(jìn)行假設(shè)。讓學(xué)生說(shuō)出“a//b”、“∠A不小于60度”、“線段AB，CD互相平分”、“至少有一個(gè)”這四個(gè)命題的反面是什么。

第二步：給出證明的大致框架，讓學(xué)生填空。

在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C。

分解練習(xí)對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)有一定的必要性，教師由于有較多的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，知道學(xué)生對(duì)于反證法的薄弱環(huán)節(jié)在于第一步“假設(shè)”。“假設(shè)”其實(shí)是對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，而對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)“不大于”、“至少有一個(gè)”這樣的命題進(jìn)行否定存在比較大的困難，教師第一步進(jìn)行假設(shè)的練習(xí)解決了學(xué)生普遍存在的這一類問(wèn)題。在第二步中，給出證明框架，讓學(xué)生填空的做法，是給予了學(xué)生一個(gè)對(duì)反證法整體思路的熟悉過(guò)程。這種循序漸進(jìn)的教學(xué)方法對(duì)于學(xué)生的接受有積極作用。同時(shí)，上述的第四點(diǎn)特殊化與一般化要求：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化；而這兩步分解練習(xí)是對(duì)模型（反證法的證明步驟）中的各個(gè)要素進(jìn)行分解和詳細(xì)闡釋，為學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行特殊化做好了鋪墊。

分解練習(xí)之后，又講解了兩道例題，并請(qǐng)同學(xué)在黑板上板書(shū)了一道習(xí)題。這同樣也是對(duì)反證法證明模型的進(jìn)一步運(yùn)用，通過(guò)分解練習(xí)和例題的講解，學(xué)生在練習(xí)中反應(yīng)較好。

2.5數(shù)學(xué)推理與證明。

以上進(jìn)行例題的講解和練習(xí)的過(guò)程同時(shí)也是數(shù)學(xué)推理與證明的過(guò)程。教師多次強(qiáng)調(diào)證明的格式規(guī)范，學(xué)生也能夠?qū)λo習(xí)題進(jìn)行嚴(yán)格證明。

3.教學(xué)建議與反思

綜合對(duì)本節(jié)課以上五個(gè)方面的考察，筆者認(rèn)為，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注意以下方面。

3.1在發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題之初，教師應(yīng)留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間。

就本節(jié)課而言，反證法這種證明方法很可能是學(xué)生從來(lái)沒(méi)有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸過(guò)的，因此，對(duì)于情境引入中的實(shí)際問(wèn)題，即使他們明白其中道理，并且發(fā)現(xiàn)從正面去解釋存在困難，他們也想不到用反證思想。這個(gè)時(shí)候，教師應(yīng)適當(dāng)提示，步步引導(dǎo)，并且在此過(guò)程中給予學(xué)生充足的思考時(shí)間。如果這個(gè)時(shí)候教師急于說(shuō)出答案，那么讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和形成合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題就變成了老師給出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生從一開(kāi)始對(duì)該問(wèn)題中包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系和結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的不夠深刻，這會(huì)影響學(xué)生掌握和運(yùn)用該知識(shí)。

3.2在課堂中，教師應(yīng)適當(dāng)增加非常規(guī)和開(kāi)放性數(shù)學(xué)問(wèn)題的比例。

在本節(jié)課中，教師一共講了3道例題和一道習(xí)題，再加上5道分解練習(xí)，這些題均為學(xué)生熟知的幾何性質(zhì)，對(duì)于這一類問(wèn)題，學(xué)生掌握較好。而非常規(guī)的問(wèn)題，教師用了一個(gè)辨別誰(shuí)在說(shuō)謊的開(kāi)放性問(wèn)題進(jìn)行，題目選取得當(dāng)，有趣味性。然而在對(duì)這個(gè)問(wèn)題的處理上，教師并沒(méi)有給學(xué)生思考時(shí)間也沒(méi)有請(qǐng)同學(xué)回答，而是自己說(shuō)出了解答過(guò)程，且僅用時(shí)1分48秒。雖然當(dāng)時(shí)臨近下課，教師這樣處理可能是出于對(duì)時(shí)間的考慮，但是這也多少反映了教師對(duì)非常規(guī)和開(kāi)放性的問(wèn)題不夠重視，把一節(jié)課主要定位在讓學(xué)生熟練掌握常規(guī)的程序性問(wèn)題上。然而，一道好的非常規(guī)和開(kāi)放性數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅有利于加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的理解，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力，像這樣源于生活的趣味性問(wèn)題，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而更熱愛(ài)數(shù)學(xué)。因此，適當(dāng)增加非常規(guī)和開(kāi)放性數(shù)學(xué)問(wèn)題的比例十分必要。

3.3構(gòu)造模型和將模型一般化需要結(jié)合起來(lái)。

在本節(jié)課中，教師先從一道具體問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生用反證法的思想證明，然后讓學(xué)生回憶剛剛的證明，歸納反證法的一般證明步驟，這就是構(gòu)造了一個(gè)用反證法證明的模型。但老師并沒(méi)有直接進(jìn)入例題的講解，而是立即用剛剛歸納的證明模型再次回顧了之前那道具體問(wèn)題的證明。這個(gè)過(guò)程中學(xué)生充分理解了模型與具體問(wèn)題之間的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)模型的理解。因此筆者建議，在教學(xué)中教師整理出一類初步的數(shù)學(xué)模型之后，立即用該模型回顧一個(gè)學(xué)生已經(jīng)理解的具體問(wèn)題，會(huì)取得更好的教學(xué)效果。