劉紅巖，楊 艷，李俊峰，張力民

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)工程技術(shù)學(xué)院，北京 100083；2.西藏大學(xué)工學(xué)院，西藏 拉薩 850000；3.黃淮學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 駐馬店 463000；4.北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083；5.河北承德鋼鐵公司，河北 承德 067000)

基于TCK模型的非貫通節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型*

劉紅巖1,2，楊 艷3，李俊峰1，張力民4,5

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)工程技術(shù)學(xué)院，北京 100083；2.西藏大學(xué)工學(xué)院，西藏 拉薩 850000；3.黃淮學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 駐馬店 463000；4.北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083；5.河北承德鋼鐵公司，河北 承德 067000)

提出在巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型中應(yīng)同時(shí)考慮宏、細(xì)觀缺陷；基于能量原理和斷裂力學(xué)理論推導(dǎo)得出了同時(shí)考慮節(jié)理幾何及力學(xué)特征的宏觀損傷變量(張量)的計(jì)算公式；基于綜合考慮宏、細(xì)觀缺陷的復(fù)合損傷變量(張量)及完整巖石動(dòng)態(tài)損傷Taylor-Chen-Kuszmaul(TCK)模型，建立了相應(yīng)的單軸壓縮下節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型；利用該模型討論了節(jié)理內(nèi)摩擦角及節(jié)理長(zhǎng)度對(duì)巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響規(guī)律。研究表明，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度隨著節(jié)理內(nèi)摩擦角的增大而增大，隨著節(jié)理長(zhǎng)度的增加而減小。

固體力學(xué)；動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型；非貫通節(jié)理巖體；宏觀缺陷；細(xì)觀缺陷；損傷耦合；應(yīng)力強(qiáng)度因子

工程巖體都不可避免地含有節(jié)理、裂隙等宏觀缺陷和微裂隙、微孔洞等細(xì)觀缺陷，這2類不同尺度缺陷分別以不同的作用機(jī)理影響著巖體的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。早期人們通常以宏觀完整巖石為研究對(duì)象，僅考慮微裂紋等細(xì)觀缺陷的影響，如B.Budiamsky等[1]采用細(xì)觀力學(xué)對(duì)巖石中彌散分布的微裂紋群進(jìn)行了分析，建立了相應(yīng)的巖石爆破損傷本構(gòu)模型。D.E.Grady等[2]認(rèn)為巖石中的原生微裂紋服從雙參數(shù)Weibull分布，在外載下，其中一些微裂紋被激活并擴(kuò)展，由此提出了巖石爆破的GK損傷模型。L.M.Taylor[3]引進(jìn)B.Budianshy等[1]的有效體積模量和泊松比與微裂紋密度的關(guān)系表達(dá)式和D.E.Grady等[2]給出的碎塊尺寸表達(dá)式，最終建立了Taylor-Chen-Kuszmaul(TCK)模型。然而由于僅考慮細(xì)觀缺陷的巖石損傷本構(gòu)模型中無法考慮節(jié)理等宏觀缺陷對(duì)巖體動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響。而如何描述節(jié)理對(duì)巖體力學(xué)特性的影響則是目前巖體力學(xué)研究中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題。T.Kyoya等[4]借助于損傷理論對(duì)該問題進(jìn)行研究，以節(jié)理的長(zhǎng)度、傾角、間距及組數(shù)等幾何特征來定義相應(yīng)的損傷張量。但是該方法種僅考慮了節(jié)理幾何性質(zhì)如節(jié)理長(zhǎng)度及傾角的影響，而未考慮節(jié)理力學(xué)性質(zhì)如抗剪強(qiáng)度的影響，也就是說這種定義方法中認(rèn)為損傷是無法傳遞應(yīng)力的，這與拉伸荷載下的巖體力學(xué)特性較為接近，而與壓縮荷載下的巖體力學(xué)特性相差甚遠(yuǎn)。這主要是由于在壓縮荷載下，節(jié)理面兩側(cè)的巖體將在節(jié)理面處發(fā)生閉合及摩擦滑動(dòng)進(jìn)而沿節(jié)理尖端發(fā)生擴(kuò)展，此時(shí)節(jié)理面將能夠傳遞部分壓應(yīng)力和剪應(yīng)力，而且傳遞系數(shù)的大小也與節(jié)理面的抗剪強(qiáng)度參數(shù)(如摩擦角和粘聚力等)密切相關(guān)。為此，不少學(xué)者又采用不同的方法對(duì)僅考慮節(jié)理幾何特性的損傷模型進(jìn)行修正，如T.Kawamoto等[5]通過引入節(jié)理傳壓及傳剪系數(shù)來考慮壓縮荷載下節(jié)理能夠傳遞部分壓應(yīng)力與剪應(yīng)力的特點(diǎn)以對(duì)上述模型進(jìn)行修正，但如何準(zhǔn)確確定這兩個(gè)系數(shù)又成為新的難題。同時(shí)關(guān)于宏、細(xì)觀兩類缺陷對(duì)巖體動(dòng)力學(xué)特性的影響問題，張力民等[6]、H.Y.Liu等[7]基于損傷理論建立了考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的復(fù)合損傷變量(張量)，進(jìn)而建立了相應(yīng)的節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型，但是其研究對(duì)象僅限于貫通節(jié)理巖體。

綜合目前非貫通節(jié)理巖體的動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型研究現(xiàn)狀可知，有以下2個(gè)問題亟待解決：(1)目前的巖體宏觀損傷張量定義沒有很好地同時(shí)考慮節(jié)理幾何及力學(xué)參數(shù)的共同影響，因而需要提出新的節(jié)理巖體宏觀損傷變量定義方法；(2)目前學(xué)術(shù)界僅提出了考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的貫通節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型，而針對(duì)非貫通節(jié)理巖體的研究則較為少見。

為此，本文中首先在含非貫通節(jié)理巖體在單軸壓縮荷載下的擴(kuò)展機(jī)理進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，提出同時(shí)考慮節(jié)理幾何及力學(xué)參數(shù)的宏觀損傷變量計(jì)算方法；其次，在張力民等[6]和H.Y.Liu等[7]研究的基礎(chǔ)上，提出基于完整巖石TCK模型的非貫通節(jié)理巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型；采用該模型對(duì)單條非貫通閉合節(jié)理的巖體進(jìn)行模擬，分析其力學(xué)特性。

1 考慮宏觀缺陷的非貫通節(jié)理巖體損傷本構(gòu)模型

1.1 非貫通節(jié)理巖體損傷模型的建立

根據(jù)斷裂力學(xué)，對(duì)于平面應(yīng)變問題(僅存在Ⅰ、Ⅱ型裂紋，不存在Ⅲ型裂紋)，彈性體因節(jié)理存在而引起的附加應(yīng)變能增加U1為[8]：

(1)

式中：E和ν分別為彈性體的彈性模量和泊松比，G為能量釋放率，KⅠ、KⅡ分別為節(jié)理尖端的Ⅰ、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，A為節(jié)理表面積。

對(duì)于單個(gè)節(jié)理，A=Ba(單邊節(jié)理)或2Ba(中心節(jié)理)；對(duì)于多個(gè)節(jié)理，A=NBa(單邊節(jié)理)或2NBa(中心節(jié)理)，其中：N為節(jié)理個(gè)數(shù)，B為節(jié)理深度，a為節(jié)理半長(zhǎng)。

在單軸應(yīng)力σ下，損傷應(yīng)變能釋放率為：

(2)

式中：D為節(jié)理對(duì)巖體造成的損傷變量。

令UE表示與應(yīng)力σ對(duì)應(yīng)的單位體積彈性應(yīng)變能，在單軸應(yīng)力狀態(tài)下該彈性應(yīng)變能可寫為：

(3)

把式(2)代入式(3)可得：

(4)

當(dāng)巖體內(nèi)不含節(jié)理時(shí)，則D=0，此時(shí)式(4)可寫為：

(5)

因節(jié)理存在而引起的單位體積彈性應(yīng)變能改變量為：

(6)

假設(shè)研究對(duì)象的體積為V，彈性體因節(jié)理存在而引起的彈性應(yīng)變能改變量為：

(7)

式(7)中的ΔUE和式(1)中的U1都是由節(jié)理存在引起的彈性應(yīng)變能改變量，二者應(yīng)相等，即:

ΔUE=U1

(8)

由式(1)、(7)～(8)可得：

(9)

下面對(duì)節(jié)理巖體進(jìn)行受力分析，求出KⅠ和KⅡ的表達(dá)式。

1.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

1.2.1 單條非貫通節(jié)理巖體的應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖1 翼裂紋擴(kuò)展模型示意圖Fig.1 Sketch of wing crack growth model

如圖1所示，節(jié)理與水平面的夾角為α，上部巖塊在壓縮荷載下將會(huì)產(chǎn)生沿節(jié)理面的滑動(dòng)趨勢(shì)。若沿節(jié)理面的剪應(yīng)力超過其摩擦力時(shí)，試件將沿節(jié)理面發(fā)生摩擦滑移，進(jìn)而引起翼裂紋由節(jié)理尖端大約以θ=70.5°的方向擴(kuò)展[9-10]。此時(shí)節(jié)理面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα分別為：

σα=σcos2α

(10)

(11)

式中：α為節(jié)理傾角。

設(shè)節(jié)理面的摩擦角為φ，則其摩擦因數(shù)μ=tanφ。由于節(jié)理面上的黏聚力相對(duì)于摩擦力來說要小得多，因此可以忽略不計(jì)，故由式(10)～(11)可得節(jié)理面上的滑移驅(qū)動(dòng)力為：

(12)

在單軸壓縮下，參照文獻(xiàn)[11]并考慮翼裂紋的擴(kuò)展方向，節(jié)理尖端翼裂紋Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ和KⅡ可修改為：

(13)

式中：a為節(jié)理半長(zhǎng)；l為翼裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度；引入l*=0.27a，使l=0時(shí)，KI、KⅡ非奇異，θ為節(jié)理尖端翼裂紋擴(kuò)展角。

考慮翼裂紋即將擴(kuò)展的臨界狀態(tài)，即當(dāng)l=0時(shí)，翼裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ、KⅡ可修正為：

(14)

圖2 非貫通裂隙巖體模型Fig.2 Model of intermittently cracked rockmass

翼裂紋長(zhǎng)度l=0所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)即為非貫通節(jié)理巖體未發(fā)生擴(kuò)展時(shí)的初始狀態(tài)，若求出此時(shí)的節(jié)理尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，代入式(9)即可得到巖體由于含有初始非貫通節(jié)理時(shí)的初始損傷變量，進(jìn)而通過張量化得到相應(yīng)的初始損傷張量?？梢钥闯鲇稍摲椒ㄇ蟪龅膿p傷張量可同時(shí)考慮節(jié)理的幾何及力學(xué)特性，由此求出的節(jié)理巖體損傷模型也將更符合實(shí)際情況。

1.2.2 單排及多排非貫通平行節(jié)理的應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖2為多排非貫通裂隙巖體模型示意圖，其中，b為同排相鄰節(jié)理中心間距，d為排間距。

對(duì)于單排節(jié)理的巖體，考慮節(jié)理間相互作用，巖體的有效應(yīng)力強(qiáng)度因子為[12]：

(15)

式中：KΙ0、KⅡ0分別為單個(gè)Ⅰ、Ⅱ型節(jié)理的應(yīng)力強(qiáng)度因子；φ為非貫通節(jié)理的連通率，φ=2a/b。

若巖體含有多排非貫通節(jié)理時(shí)，則其有效應(yīng)力強(qiáng)度因子為[12]：

(16)

1.3 含單組節(jié)理的巖體損傷變量

當(dāng)巖體含單組單排節(jié)理時(shí)，把式(10)～(12)、(14)、(15)代入式(9)可得：

(17)

而當(dāng)巖體含單組多排節(jié)理時(shí)，把式(10)～(12)、(14)、(16)代入式(9)可得：

(18)

2 考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的非貫通節(jié)理巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型

2.1 宏細(xì)觀缺陷耦合的損傷變量計(jì)算方法

由于巖體中的宏、細(xì)觀兩類缺陷均對(duì)巖體的動(dòng)力學(xué)特性有著重要影響，因此在采用損傷理論對(duì)巖體的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究時(shí)，應(yīng)建立能夠同時(shí)考慮上述2類不同尺度缺陷的損傷變量(張量)計(jì)算方法。楊更社等[13]、張力民等[6]已對(duì)此進(jìn)行了較為深入的研究，下面就張力民等[6]的研究成果，給出如下考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的損傷變量(張量)計(jì)算公式：

(19)

式中：Ω12為上述2種不同尺度缺陷引起的耦合損傷變量；D為微裂紋等細(xì)觀缺陷引起的損傷變量；Ω為節(jié)理等宏觀缺陷引起的損傷張量，Ω=DN，其中N是一個(gè)二階對(duì)稱張量，其計(jì)算方法為：

(1)對(duì)于含單組非貫通節(jié)理的巖體，假定非貫通節(jié)理的法向矢量n與x軸夾角為β，則有：

(20)

(2)對(duì)于含2組以上非貫通節(jié)理的巖體，N的計(jì)算方法是：設(shè)巖體中有I組非貫通節(jié)理，其單位法向矢量分別為n(i)(i=1,2，…，I)，則

(21)

2.2 考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的非貫通節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型

由前述可知，L.M.Taylor等[3]已經(jīng)建立了僅考慮微裂紋等細(xì)觀缺陷的巖石動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型，即

(22)

那么由損傷理論可知，當(dāng)巖體內(nèi)同時(shí)含有宏、細(xì)觀缺陷時(shí)，在損傷模型中則體現(xiàn)為損傷變量的變化。因此把式(22)中的損傷變量ω，用式(19)所示的耦合損傷變量Ω12替換即可，而其中的細(xì)觀損傷變量D則相應(yīng)地用ω來替換，即可得到非貫通節(jié)理巖體的單軸動(dòng)態(tài)壓縮損傷本構(gòu)方程：

(23)

式中：σ、ε和E分別為張量形式的應(yīng)力、應(yīng)變和彈性模量。

3 算例分析

3.1 含單條非貫通閉合節(jié)理的巖體力學(xué)特性

這里借鑒L.M.Taylor等[3]的實(shí)驗(yàn)資料，取宏觀完整巖石的動(dòng)態(tài)楊氏模量、泊松比、密度及應(yīng)變率分別為10.8 GPa、0.2、2 270 kg/m3和102s-1時(shí)，k和m可分別取為5.12×1022m-3和7。

(24)

模型上部受到垂直向下的動(dòng)荷載，下部固定。按平面應(yīng)變問題分析。

由式(23)計(jì)算可得巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖4所示?？梢钥闯觯寒?dāng)有非貫通節(jié)理等宏觀缺陷存在時(shí)，巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)變峰值強(qiáng)度減小。對(duì)本算例而言，非貫通節(jié)理巖體的動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度為31.89MPa，約為相應(yīng)完整巖石的97.5%，這說明非貫通節(jié)理的存在削弱了巖體峰值強(qiáng)度，即表明宏、細(xì)觀2種缺陷對(duì)巖體的強(qiáng)度均有影響。

圖3 計(jì)算模型Fig.3 Calculation model

圖4 巖體單軸壓縮動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算曲線Fig.4 Dynamic stress-strain calculation curve of rock axial compression

3.2 節(jié)理內(nèi)摩擦角不同時(shí)的巖體動(dòng)力學(xué)特性

圖5 不同節(jié)理內(nèi)摩擦角的試件動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.5 Dynamic stress-strain curves of the samples with different joint internal friction angles

計(jì)算模型仍為圖3所示的非貫通節(jié)理試件，載荷應(yīng)變率為100 s-1，節(jié)理長(zhǎng)度為4 cm，取節(jié)理內(nèi)摩擦角(φ)分別為：0°、15°、30°，其余條件及計(jì)算參數(shù)同上。圖5為不同節(jié)理內(nèi)摩擦角的試件動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線。由圖5可知：巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線斜率即巖體動(dòng)態(tài)彈性模量隨著節(jié)理內(nèi)摩擦角的增加增加，即節(jié)理巖體剛度增加；同時(shí)隨著節(jié)理內(nèi)摩擦角的增加，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度也逐漸增加，3種不同工況下的試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度分別為29.85、31.89和33.98 MPa。這是因?yàn)殡S著節(jié)理內(nèi)摩擦角的增加，節(jié)理抗剪強(qiáng)度提高，相應(yīng)地由節(jié)理對(duì)試件造成的宏觀損傷降低，進(jìn)而導(dǎo)致試件的復(fù)合損傷程度降低，強(qiáng)度相應(yīng)提高。

3.3 節(jié)理長(zhǎng)度不同時(shí)的巖體動(dòng)力學(xué)特性

圖6 不同節(jié)理長(zhǎng)度的試件動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.6 Dynamic stress-strain curves of the samples with different joint length

計(jì)算模型仍為圖4所示傾角為45°的非貫通節(jié)理試件，載荷應(yīng)變率為100 s-1，節(jié)理內(nèi)摩擦角為15°，取節(jié)理長(zhǎng)度分別為2、4和6 cm，其余條件及計(jì)算參數(shù)同上。圖6給出了不同節(jié)理長(zhǎng)度的時(shí)間動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變虛線。由圖6可知：巖體動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線的斜率(即巖體動(dòng)態(tài)彈性模量)隨著節(jié)理長(zhǎng)度的增加而減小，即節(jié)理巖體剛度降低；同時(shí)試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度也隨著節(jié)理長(zhǎng)度增加的而逐漸減小，這是因?yàn)殡S著節(jié)理長(zhǎng)度增加，由節(jié)理對(duì)試件造成的宏觀損傷增加，進(jìn)而導(dǎo)致試件的復(fù)合損傷程度提高，動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度降低。當(dāng)節(jié)理長(zhǎng)度由2 cm分別增加到4和6 cm時(shí)，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度則由33.79 MPa分別下降到31.89和29.14 MPa，下降幅度分別為5.62%和13.76%，即隨著節(jié)理長(zhǎng)度增加，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度的下降幅度比較明顯。

4 結(jié) 語

(1)基于能量原理和斷裂力學(xué)理論推導(dǎo)出了能夠同時(shí)考慮節(jié)理幾何及力學(xué)參數(shù)的宏觀損傷變量(張量)計(jì)算公式，它很好地克服了目前大多數(shù)巖體損傷變(張)量無法考慮節(jié)理力學(xué)參數(shù)的不足。

(2)基于完整巖石動(dòng)態(tài)損傷TCK模型及宏細(xì)觀缺陷耦合的觀點(diǎn)，建立了同時(shí)考慮宏細(xì)觀缺陷的非貫通節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)單軸壓縮損傷本構(gòu)模型。

(3)根據(jù)模型計(jì)算，結(jié)果表明非貫通節(jié)理的存在將導(dǎo)致巖體強(qiáng)度降低、剛度弱化。隨著節(jié)理內(nèi)摩擦角的增加，試件動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度及彈性模量均隨之增加；而隨著節(jié)理長(zhǎng)度增加，則反之。

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(責(zé)任編輯 王小飛)

Dynamic damage constitutive model for rock mass with non-persistent joints based on the TCK model

Liu Hongyan1,2, Yang Yan3, Li Junfeng1, Zhang Limin4,5

(1.CollegeofEngineering&Technology,ChinaUniversityofGeosciences(Beijing),Beijing100083,China;2.SchoolofEngineering,TibetUniversity,Lhasa850000,Xizang,China;3.ArchitectureEngineeringCollege,HuanghuaiUniversity,Zhumadian463000,Henan,China; 4.CivilandEnvironmentalEngineeringSchool,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China;5.HebeiChengdeIronandSteelCorporation,Chengde067002,Hebei,China)

This paper proposes that both macroscopic and mesoscopic flaws should be considered in the dynamic damage constitutive model for the jointed rock mass. Firstly, the calculation formula of the macroscopic damage variable (tensor) of the jointed rock mass is deduced based on the energy principle and the fracture mechanics theory so that the geometrical and mechanical parameters can be considered at the same time. Secondly, the compound damage variable (tensor) including both macroscopic and mesoscopic flaws and the Taylor-Chen-Kuszmaul model (TCK) for the intact rock are adopted to establish the corresponding dynamic damage constitutive model for the jointed rock mass under uniaxial compression. Finally, the effect law of the joint internal friction angle and the joint length on rock mass's dynamic mechanical property is examined with this model. The results show that the dynamic climax strength of the samples increases and decreases respectively with the increase of the joint internal friction and the joint length.

solid mechanics; dynamic damage constitutive model; rock mass with non-persistent joints; macroscopic flaw; mesoscopic flaw; damage coupling; stress intensity factor

10.11883/1001-1455(2016)03-0319-07

2014-09-22；

2015-02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41002113，41162009)； 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(2652014019，2652015263)

劉紅巖(1975- )，男，博士，教授，lhyan1204@126.com。

O341國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼：13015

A