胡重光　周　志

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分?jǐn)?shù)的乘法和除法

胡重光周志

分?jǐn)?shù)的加減法本文不作探討，但需要指出一點(diǎn)：由于異分母分?jǐn)?shù)的加減法可轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的加減法，而同分母分?jǐn)?shù)的加減法只需將分子相加減，所以整數(shù)加減法的運(yùn)算定律和性質(zhì)都適合分?jǐn)?shù)加減法。

一、分?jǐn)?shù)乘法

分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，教材分為分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)三類分別教學(xué)。這一分法就表明，乘法是需要區(qū)分因數(shù)順序的。從教材中的例題可知，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)表示若干個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相加，整數(shù)乘分?jǐn)?shù)則表示求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，意義完全不同。

（一）分?jǐn)?shù)乘整數(shù)

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的教學(xué)過(guò)程如下圖所示。

這里有一個(gè)矛盾：既然把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘分?jǐn)?shù)分開(kāi)教學(xué)，就表明兩者的意義是不相同的，但是上面的“男嘉賓”卻說(shuō)3個(gè)既可寫成×3，又可寫成3×。那么兩者就沒(méi)有區(qū)別了。

還有一個(gè)問(wèn)題是，這里其實(shí)不需要畫圖分析。因?yàn)閷?duì)六年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)的加法無(wú)論是意義還是算法都已非常熟悉。不必要的重復(fù)不但浪費(fèi)時(shí)間，而且影響學(xué)習(xí)興趣。這個(gè)問(wèn)題完全可以讓學(xué)生獨(dú)立解答，自己列式、自己計(jì)算，以提高他們獨(dú)立思考和主動(dòng)探索的能力。

（二）整數(shù)乘分?jǐn)?shù)

這里采用了類比的方法，先給出一個(gè)整數(shù)的例子，再將分?jǐn)?shù)的情況與它作類比。但既然是類比，第二個(gè)“想”就應(yīng)與第一個(gè)“想”結(jié)構(gòu)相同，即應(yīng)為：

但是純粹從數(shù)學(xué)的角度教學(xué)，兒童是難以理解的，必須從兒童熟悉的實(shí)例出發(fā)。教材雖然舉了實(shí)例，接下來(lái)卻沒(méi)有繼續(xù)貫徹“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的原則。這時(shí)應(yīng)該首先揭示問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系：水的總升數(shù)＝每桶升數(shù)×桶數(shù)。

然后與學(xué)生討論：如果桶數(shù)為分?jǐn)?shù)怎樣列式計(jì)算？最后得出，由于數(shù)量關(guān)系相同，不管是為整數(shù)還是為分?jǐn)?shù)，都應(yīng)用同樣的算法，所以求桶的升數(shù)應(yīng)該用每桶升數(shù)乘。

由此我們看到，抽象的數(shù)學(xué)與學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題相結(jié)合，就變得具體、親切，容易接受了。緊密聯(lián)系兒童的生活實(shí)際，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)法寶。

例如：火車每小時(shí)行駛120公里，照這樣的速度，3小時(shí)行駛多少公里？小時(shí)行駛多少公里？

分析：根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”的數(shù)量關(guān)系式，第一問(wèn)的算式是：120×3，其意義是：求120的3倍是多少。

綜上所述我們得到：整數(shù)乘分?jǐn)?shù)，把這個(gè)整數(shù)與分子相乘作積的分子，分母不變。

這一法則與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的法則相同。由此立即得出，乘法交換律對(duì)整數(shù)乘分?jǐn)?shù)也成立。

以上的推導(dǎo)過(guò)程有兩點(diǎn)值得注意，一是始終根據(jù)實(shí)際意義得出算法。這樣做不但聯(lián)系了生活實(shí)際，兒童感興趣，而且道理表述清楚，兒童容易理解。二是先學(xué)習(xí)分子是1的情況，再學(xué)習(xí)分子不是1的情況，則后者的推導(dǎo)就很容易了。

（三）分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)

這一部分內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程如下圖所示。

與整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的教學(xué)不同，這里用圖詳細(xì)地介紹了算理和算法，有理有據(jù)。但這一過(guò)程是相當(dāng)繁瑣的。實(shí)際上，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理和算法都可以用實(shí)例很簡(jiǎn)單地得出。例如：拖拉機(jī)每小時(shí)耕地公頃，小時(shí)耕地多少公頃？

因?yàn)椤案乜偯娣e＝每小時(shí)耕地面積×耕地時(shí)間”，所以算式是：×，其意義是：求的是多少，因此算法是：先將平分成4份，再乘3，即：

這表明，兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，只需將分子、分母分別相乘即可。由此我們得出：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，把分母與分母相乘作積的分母，分子與分子相乘作積的分子。

這里利用了這樣一個(gè)道理：將一個(gè)分?jǐn)?shù)縮?。〝U(kuò)大）幾倍，相當(dāng)于將它的分母擴(kuò)大（縮?。妆?。根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，這是很明顯的。類似地，將一個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大（縮?。妆?，相當(dāng)于將它的分母縮?。〝U(kuò)大）幾倍。這兩條性質(zhì)很有用，我們完全可以在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)把它們作為推論提出來(lái)（當(dāng)然不出現(xiàn)“推論”這一術(shù)語(yǔ)）。

有了交換律和結(jié)合律，幾個(gè)分?jǐn)?shù)相乘就可以按任意的順序進(jìn)行，十分方便。

三、分?jǐn)?shù)的除法

（一）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的教學(xué)與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)類似，過(guò)程如下圖所示。

這類問(wèn)題意義明確，算法簡(jiǎn)單，既然已要求學(xué)生“自己試著折一折，算一算”，教材再畫圖分析、詳細(xì)推導(dǎo)，似乎就越俎代庖了。

由此我們得到：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，可以用分?jǐn)?shù)的分子除以整數(shù)的商作分子，分母不變。但是第二問(wèn)÷3不能用這種方法，因?yàn)?不能被3整除。這時(shí)聯(lián)想到前面一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義或分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可知也就是說(shuō)：除以整數(shù)，等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

二、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)

這兩類問(wèn)題教材用同一個(gè)例子引入，教學(xué)過(guò)程如下圖所示。這里應(yīng)對(duì)“÷”寫成“×”的道理進(jìn)行細(xì)致的教學(xué)，不能簡(jiǎn)單地要求學(xué)生說(shuō)出來(lái)。一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)比分?jǐn)?shù)乘法更難理解，需要結(jié)合實(shí)例并與整數(shù)除法作類比。

分析：第一問(wèn)的數(shù)量關(guān)系是：速度＝路程÷時(shí)間，算式是：6÷2，其意義是：已知一個(gè)數(shù)的2倍是6，求這個(gè)數(shù)是多少。第二問(wèn)的數(shù)量關(guān)系相同，算式應(yīng)該是：÷，其意義是：已知一個(gè)數(shù)的（或倍）是，求這個(gè)數(shù)是多少。

于是我們得到：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

綜合前面分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的法則，我們得到：分?jǐn)?shù)除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（本文是基金項(xiàng)目湖南省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題（編號(hào)：XJK013 CGD051），“課程標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材研究”、湖南省教育科學(xué)規(guī)劃課題（編號(hào)：XJK013CJC004）、湖南省省級(jí)重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科“課程與教學(xué)論”建設(shè)項(xiàng)目部分成果）

（作者單位：湖南第一師范學(xué)院長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）