高賀平　王秋閣

【摘要】等邊三角形的學(xué)習(xí)是在學(xué)習(xí)等腰三角形基礎(chǔ)上進(jìn)行的，能讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的特殊軸對(duì)稱圖形。掌握等邊三角形的判定及相關(guān)定理是今后證明角相等、線段相等的重要基礎(chǔ)，因此對(duì)等邊三角形判定及相關(guān)定理一課的研究很有必要。本課例通過對(duì)北師大版、人教版和浙教版三種版本的比較，研究分析它們的異同點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)，以期待更深入的解讀課程標(biāo)準(zhǔn)，從而合理有效的安排教學(xué)環(huán)節(jié)，高效的實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生更好掌握“等邊三角形判定及相關(guān)定理”。

【關(guān)鍵詞】等邊三角形 判定定理 規(guī)范性 研究性問題

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）03-0067-01

背景分析

1.等邊三角形的學(xué)習(xí)是在學(xué)習(xí)等腰三角形基礎(chǔ)上進(jìn)行的，能讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特殊軸對(duì)稱圖形。等邊三角形的判定及相關(guān)定理是今后證明角相等、線段相等的重要工具，因此對(duì)等邊三角形判定及相關(guān)定理一課的研究很有必要。

2.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求：探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形（或有一個(gè)角是60°的等腰三角形）是等邊三角形。即是說，等邊三角形的判定在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中有明確的描述，而探索并證明“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角為30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有明確描述。

3.研究一節(jié)新授課：為了使自己對(duì)教材內(nèi)容的把握更透徹，研究同一節(jié)課不同版本教材的編排迫在眉睫。為此我們研究了北師大版八年級(jí)下第一章有關(guān)幾何證明的新授課。

1.分析決策

我們所用教材是北師大版，依據(jù)以上對(duì)三種教材的比較研究及本學(xué)校學(xué)情的分析，我們教研組決定對(duì)這一課時(shí)，做大量的修訂，具體如下：

①由教材的問題引入改為制作一個(gè)等邊三角形，與同桌交流為什么以及怎么做，在此過程中使學(xué)生清晰的知道做等邊三角形的方法就是判定等邊三角形的定理。

②為了更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性和邏輯性，本節(jié)定理的學(xué)習(xí)，都經(jīng)歷六個(gè)環(huán)節(jié)：列舉生活中大量存在這種圖形——猜想結(jié)論——驗(yàn)證結(jié)論——得出定理——規(guī)范符號(hào)語言——運(yùn)用解決問題。

③對(duì)于書中運(yùn)用30°角關(guān)系的例題，換為人教版教材里簡單的運(yùn)用，因?yàn)槲覀儗W(xué)生底子弱，學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)達(dá)不到在鈍角三角形中，做輔助線再運(yùn)用定理的能力要求。

2.具體實(shí)施

北師大版1.4等腰三角形 （第四課時(shí)）

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

拿出手中制作的等邊三角形，回顧等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系，回顧等邊三角形性質(zhì)，和同桌交流制作等邊三角形的過程、方法及依據(jù)。

1.通過和同伴交流制作等邊三角形的過程、方法及依據(jù)，能獨(dú)立寫出等邊三角形判定定理的證明過程，并解決問題。

2.通過折疊、猜想及交流，會(huì)獨(dú)立推導(dǎo)出含30°角的直角三角形邊的關(guān)系，并解決實(shí)際問題。

（二）探究新知一

環(huán)節(jié)①，學(xué)生分組獨(dú)立書寫判定定理的證明過程：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形。

環(huán)節(jié)②，得出重大結(jié)論：

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

3.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

環(huán)節(jié)③，規(guī)范定理的符號(hào)語言。

定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

在△ABC中，

∵∠A=∠B=∠C.

∴△ABC為等邊三角形。

定理：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

在△ABC中，

∵∠A =60°（∠B =60°）AB=AC

∴△ABC為等邊三角形

（三） 探究新知二

環(huán)節(jié)①，教師直接提出問題：現(xiàn)在拿出你們制作的等邊三角形，對(duì)折一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？（此環(huán)節(jié)中，學(xué)生能觀察到對(duì)折后的三角形是含30°角的直角三角形，對(duì)折所作等邊三角形的過程，就是證明定理思路形成的過程。大部分學(xué)生都能從折疊中，得出證明的方法。）

環(huán)節(jié)②，猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么，它所對(duì)的邊與斜邊有什么關(guān)系呢？并說猜想的思路？

（此環(huán)節(jié)感知定理，進(jìn)行猜想結(jié)論，為定理的獲得做思想上的驅(qū)動(dòng)。老師提示學(xué)生，除了具有30°角的特征外，在這個(gè)特殊的直角三角形中，哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系。先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再由學(xué)生拿出自己手中的等邊三角形說思路。）

環(huán)節(jié)③， 證明定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°.

求證：BC=AB.

分析：從折疊等邊三角形的過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD.

證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.

延長BC至D，使CD=BC，連接AD（如圖所示）.

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

∵AC=AC，CD=BC∴△ABC≌△ADC（SAS）.

∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）。

∴AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

∴BC=BD=AB.

3.反思教學(xué)

3.1如何把握學(xué)生自主探索與教師引導(dǎo)的關(guān)系？

本節(jié)課中，在學(xué)生書寫定理證明過程時(shí)，老師過早引導(dǎo)學(xué)生說出定理證明的過程，包括圖形、已知、求證、證明。如果再給學(xué)生多一點(diǎn)的時(shí)間，讓學(xué)生再思考、交流，學(xué)生會(huì)理解的更透徹一些，掌握得更好一些。

3.2學(xué)生上臺(tái)板書與老師板書的關(guān)系？

我們知道，老師的板書可以起到示范引領(lǐng)的作用，但不利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)；學(xué)生的板書則能起到拋磚引玉的作用，在學(xué)生互評(píng)互批的過程中，學(xué)得更好，記得更清。但是時(shí)間把握不好，一節(jié)課的內(nèi)容很難處理完。

最后，通過對(duì)這節(jié)課的研究和分析我們懂得：在同一標(biāo)準(zhǔn)下的不同版本的教材是我們研究課程的素材；積累經(jīng)驗(yàn)、拓寬知識(shí)面、進(jìn)行教學(xué)研究及集體教研是我們成長的捷徑。

參考文獻(xiàn)：

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[2]（美）波利亞的《數(shù)學(xué)與猜想》[M]. 科學(xué)出版社， 2001

[3]崔允漷《有效教學(xué)》[M]. 華東師范大學(xué)出版社， 2009