徐菲

摘 要 利用臨界點(diǎn)理論，先將邊值問(wèn)題的解轉(zhuǎn)換為相應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)，再利用鞍點(diǎn)定理得到該泛函的臨界點(diǎn)的存在問(wèn)題，進(jìn)而得到邊值問(wèn)題解的存在性。

關(guān)鍵詞 階差分方程 解的存在性 鞍點(diǎn)定理 Neumann邊值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：O175.08 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.03.022

1 引言及主要結(jié)果

近年來(lái)，差分方程的研究越來(lái)越受到大家的關(guān)注，其中周期解以及邊值問(wèn)題的研究最為廣泛。之前大家對(duì)差分方程周期解的存在問(wèn)題，邊值問(wèn)題采用的都是古典的方法，①即先找到相應(yīng)的Green函數(shù)，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為算子不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而利用相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)定理和拓?fù)涠壤碚搧?lái)討論解的存在性。自2003年，②庾建設(shè)教授等人將臨界點(diǎn)理論應(yīng)用于差分方程的研究后，我們發(fā)現(xiàn)該方法為差分方程的學(xué)習(xí)開(kāi)辟了新的方法。并且，較之前的方法，臨界點(diǎn)理論③更為方便高效。之前關(guān)于差分Neumann邊值問(wèn)題的研究多是低階④⑤的，高階⑥⑦的相對(duì)較少。

令、分別表示實(shí)數(shù)集和整數(shù)集，表示自然數(shù)集。

€HO， ≤定義 = {， + 1， …}， = {， + 1， …， }。本文主要考慮以下階差分方程

（） + （，） = 0， （1.） （1.1）

在Neumann邊值條件 = = … = = 0， = = … = = 0 （1.2） 下解的存在問(wèn)題。是任意的正整數(shù)，且有>。這里€HU為向前差分算子，其中 = ， = €HU（€HU）。（（1，）€？），是一組給定的非零的序列。令

（） = （） （1.3）

其中（ ）= （ ），且有

= （）（ ）， €HO（1，）

因此是邊值問(wèn)題（1.1）-（1.2）的解當(dāng)且僅當(dāng)是在上的一個(gè)臨界點(diǎn)且滿足條件（1.2）。*表示一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置，令 = {， ， …， }*則存在一個(gè)階矩陣使得 = （），那么（1.3）式可以如下表示：

（） = （）（） （1.4）

這里 （） = （ ），設(shè)（）表示的所有特征值構(gòu)成的集合。

定義1.1 設(shè)是一個(gè)實(shí)Banach空間，（）滿足Palais-Smale條件（簡(jiǎn)稱P.S.條件），如果對(duì)任給的{}，{（）}有界，當(dāng)時(shí)（）蘊(yùn)含{}有收斂的子列。記 = {：||||<}是以0為中心，半徑為的開(kāi)球，邊界€HQ = { ： |||| = }。

引理1.1 （鞍點(diǎn)定理⑧）設(shè) = ⊕是一個(gè)Hilbert空間，其中≠{0}是的一個(gè)有限維的子空間。若（）滿足P.S.條件且滿足：

（1） 存在常數(shù)>0，>0使得≤，

（2） 存在和常數(shù)>使得≥，

那么有臨界值≥，且 = （（）），€%m = {（∩， ）： = }其中表示∩上的恒等算子。

2 主要結(jié)論及其證明

定理2.1 假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)（），對(duì)任給的（1，）有

（ （）） = 0 （2.1）

那么邊值問(wèn)題（1.1）-（1.2）至少存在一個(gè)非平凡解。

證明： 設(shè) = ， = |||| 2。其中是一個(gè)階單位矩陣，由已知條件知0（），方程（1.4）可轉(zhuǎn)換為

（） = （） （2.2）

設(shè) = {|||（）}，有>0。取定（0，），由（2.1）式知，存在一個(gè)正常數(shù)使得

∣（ ）∣≤|| + ，（1，）。 （2.3）

因此有

||€HV|| =

≤≤|||| +

這里 = {：（1，）}。下面我們就兩種情形來(lái)證明。

情形1：當(dāng)≠€HT時(shí)。

要證明泛函存在臨界點(diǎn)，可以運(yùn)用引理（1.1）。首先，我們證明滿足P.S.條件。設(shè)，（1）使得{（）}幾乎處處有界，且當(dāng)時(shí)（）0。存在，當(dāng)>時(shí)，有||（）||≤1。因此

|||| = ||（） + €HV（）||≤||（）|| + ||€HV（）||≤1 + |||| +

由于0（），所以 = ⊕。令 = + ，其中，那么有

||||2 = || + ||2 = ||||2 + ||||2 ≥||||2 + ||||2 = ||||2

因此對(duì)任給的>，||||≤||||≤|||| + + 1也就是說(shuō)||||≤

可以看到{}有收斂的子列，因此滿足P.S.條件。下面我們只需證明滿足引理1.1的兩個(gè)條件即可。由（2.3）式可以看出|（）|≤||||2 + ||||，那么對(duì)任給的，有

（）≥（）|（）|≥||||2 ||||2 ||||

= （）（||||）2 （2.4）

設(shè) = ，那么對(duì)任給的，有（）≥，此時(shí) = 0， = ， = 。

對(duì)任給的 = ，有

（）≤（） + |（）|≤||||2 + ||||2 + ||||

= （）（||||）2 + ||||

根據(jù)定義知<0，所以當(dāng)||||→時(shí)（）→。也就是說(shuō)存在常數(shù)<，>0使得≤，即條件（2）滿足。所以由鞍點(diǎn)定理知，至少存在一個(gè)非平凡解。

情形1：當(dāng) = €HT時(shí)。

是正定的，（2.4）式意味著當(dāng)||||→時(shí)（）→。也就是說(shuō)可以在某一點(diǎn)取到最小值，其中（） = 。所以即為邊值問(wèn)題（1.1）-（1.2）的解。

注釋

① Agarwal ，RP， Wong， FH： Upper and lower solutions method for higher-order discrete boundary values problems， Math. Inequal. Appl. 1 551-557 （1998）.

② Guo， ZM， Yu， JS： Existence of periodic and subharmonic solutions for two-order superlinear difference equations， Sci. China Ser. A. 33 226-235 （2003）.

③ 張恭慶.臨界點(diǎn)理論及其應(yīng)用[M].上海：上?？茖W(xué)出版社，1980.

④ Liu， X， Zhang， YB， Shi， HP： Periodic solutions for fourth-order nonlinear functional difference equations， Math. Meth. Appl. Sci. 38 1-10 （2014）.

⑤ Liu，X，Zhang，YB，Shi，HP： Noexistence and existence results for a class of fourth-order difference Dirichlet boundary value problems， Math. Meth. Appl. Sci. 38 691-700（2015）.

⑥ Zhou， Z， Yu， JS， Chen， YM： Periodic solutions of a 2nth-Order nonliner

⑦ 周展，庾建設(shè)，陳玉明.2n階非線性差分方程的周期解[J].中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)，2010.40（1）：33-42.

⑧ Rabinowitz，PH：Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equatins， Amer. Math. Soc. Providence， RI， USA， 65（1986）.