王　輅，鄭宏興，鄧東民，萬小鳳

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天線與微波技術(shù)研究所，天津300222）

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卡爾曼濾波和最小二乘法結(jié)合的機動目標(biāo)軌跡仿真

王輅，鄭宏興，鄧東民，萬小鳳

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天線與微波技術(shù)研究所，天津300222）

摘要：為有效處理雷達系統(tǒng)采集的機動目標(biāo)數(shù)據(jù)，利用旋轉(zhuǎn)矩陣建立地球坐標(biāo)系與雷達坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將卡爾曼濾波法與最小二乘法相結(jié)合，得到實時可靠的目標(biāo)運動軌跡。應(yīng)用數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，準(zhǔn)確分離單個雷達測量的不同機動目標(biāo)信息，分別得到每個目標(biāo)的軌跡曲線及運動狀態(tài)，實現(xiàn)對目標(biāo)的實時監(jiān)測。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)矩陣；卡爾曼濾波；最小二乘法；數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法

目標(biāo)跟蹤是根據(jù)雷達等設(shè)備所獲得對目標(biāo)的測量信息，連續(xù)對目標(biāo)的運動狀態(tài)進行估計[1-2]，進而獲取目標(biāo)的運動態(tài)勢及意圖。目標(biāo)機動是指目標(biāo)的速度大小和方向在短時間內(nèi)發(fā)生變化，通常采用加速度作為衡量指標(biāo)。前者需要通過調(diào)整自身的運動狀態(tài)和雷達的跟蹤狀態(tài)，避免丟失跟蹤目標(biāo)；后者則通過做規(guī)避的機動動作或者釋放干擾信號，盡快擺脫跟蹤。

卡爾曼濾波器[3-4]是一種用于時變系統(tǒng)的遞歸濾波器。在雷達系統(tǒng)中，目標(biāo)的位置、速度和加速度的測量值都有噪聲，卡爾曼濾波器能有效濾除噪聲帶來的影響，得到一個關(guān)于目標(biāo)位置較為準(zhǔn)確的估計。本文通過建立雷達與機動目標(biāo)的空間坐標(biāo)關(guān)系，將卡爾曼濾波和最小二乘擬合法有效結(jié)合起來，得到目標(biāo)的狀態(tài)信息。利用數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，合理分離單個雷達探測到的2個目標(biāo)信息，獲得2個目標(biāo)各自的運動軌跡。

1　卡爾曼濾波的原理

卡爾曼濾波是一套基于狀態(tài)空間的遞推濾波算法[5]，其模型包括狀態(tài)空間模型和觀測模型[6]。前者通過狀態(tài)方程來描寫相鄰時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移變化規(guī)律，后者則反映了實際觀測量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。濾波問題就是結(jié)合觀測信息及狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律來得到系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計[7-8]。假設(shè)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

式中：X（t）為系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)，其協(xié)方差陣為P；A 和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，它們?yōu)榫仃?；U（t）是t時刻對系統(tǒng)的控制量，若沒有控制量，U（t）= 0；W（t）為過程噪聲，其協(xié)方差陣為Q；Y（t）是對狀態(tài)的測量值；H為測量系統(tǒng)的參數(shù)；V（t）為測量噪聲，其協(xié)方差陣為R。根據(jù)式（1）和式（2），可得到計算流程如下。

a.基于t - 1時刻狀態(tài)預(yù)測t時刻狀態(tài)：

b.計算t時刻狀態(tài)協(xié)方差預(yù)測值：

c.結(jié)合測量值計算t時刻最優(yōu)預(yù)測值：

d.計算卡爾曼濾波增益：

e.計算t時刻狀態(tài)協(xié)方差最優(yōu)預(yù)測值：

式（7）中：I為單位矩陣。由式（3）到式（7）地不斷循環(huán)，可以通過最新的測量值持續(xù)預(yù)測出下一狀態(tài)。

2　坐標(biāo)系變換

2.1地球坐標(biāo)系

假設(shè)地球近似為半徑等于Re的正球體，地球坐標(biāo)系OXYZ是以地球質(zhì)心為原點O的直角坐標(biāo)系。其中，Z軸從原點O指向地球的正北極；X軸從原點O指向赤道面與格林尼治子午圈的交點；Y軸在赤道平面內(nèi)。地球坐標(biāo)系、雷達坐標(biāo)系及位置關(guān)系如圖1所示，其中X軸、Y軸和Z軸成正交關(guān)系，并符合右手法則，如圖1（a）所示。

圖1　地球坐標(biāo)系、雷達坐標(biāo)系及其位置關(guān)系示意圖

2.2雷達坐標(biāo)系

假設(shè)雷達坐標(biāo)系P0xyz是以雷達所在位置P0為坐標(biāo)中心的直角坐標(biāo)系。x軸沿P0點所在緯線的切線方向指向東；y軸沿P0點所在經(jīng)線的切線方向指向北；地心與P0點的連線指向天的方向為z軸，如圖1（b）。

被測目標(biāo)的所在位置為P點；方位角α是y軸與P點在xP0y平面投影的夾角，范圍為0°～360°；俯仰角β是雷達與被測目標(biāo)連線PP0與xP0y平面的夾角，范圍為-90°～90°，其中PP0= D，如圖1（c）所示。

2.3雷達坐標(biāo)系和地球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化

雷達在測量時以雷達坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，由于每個雷達坐標(biāo)系之間均有差異，當(dāng)涉及多個雷達數(shù)據(jù)時，就需要將每個目標(biāo)都轉(zhuǎn)化到地球坐標(biāo)系上再進行分析。由圖1（b）和圖1（c）可以得到雷達在地球坐標(biāo)系上的位置表述，θ0和φ0分別表示地球坐標(biāo)系上的經(jīng)度值和緯度值，點P0的坐標(biāo)寫為：

此時，引入旋轉(zhuǎn)矩陣，可將雷達坐標(biāo)系變換為地球坐標(biāo)系。當(dāng)雷達坐標(biāo)系上的點（x，y，z）分別繞地球坐標(biāo)系的X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)矩陣為：

地球坐標(biāo)系到雷達坐標(biāo)系的總旋轉(zhuǎn)矩陣為：

假設(shè)地球坐標(biāo)系上某一點為（Xg，Yg，Zg），它從地球坐標(biāo)系到雷達坐標(biāo)系上的點（xg，yg，zg）轉(zhuǎn)換關(guān)系為：得到雷達坐標(biāo)系到地球坐標(biāo)系上的點（Xg，Yg，Zg）轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

考慮雷達對目標(biāo)進行探測時，可得到距離D、方位角α、俯仰角β及相應(yīng)時刻等物理量，因此由圖1（c）可得：

3　多雷達對單目標(biāo)的追蹤

由處在地球上不同位置的3個雷達分別記錄不同時刻與機動目標(biāo)的距離、方位角度和俯仰角度等信息，通過坐標(biāo)變換關(guān)系得到被測目標(biāo)的雷達測量軌跡如圖2所示。圖2描繪了從36620.4s到36874.4 s內(nèi)機動目標(biāo)在地球坐標(biāo)系下的位置變化情況。

圖2　被測目標(biāo)的雷達測量軌跡

由圖2可知，雷達直接獲取的信息是變動很大的值，難以對被測目標(biāo)的具體位置做出準(zhǔn)確的判斷。此時，采用卡爾曼濾波法，濾除信息中的高頻雜量，得到較為平滑的運動軌跡，能夠?qū)崟r確定被測目標(biāo)的位置，被測目標(biāo)的擬合軌跡如圖3所示。圖3（a）為卡爾曼濾波軌跡，經(jīng)卡爾曼濾波后的軌跡仍有欠缺。再采用最小二乘法，對得到的軌跡進行曲線擬合處理，可得到更加光滑的軌跡曲線，以便對目標(biāo)軌跡做出規(guī)律性判斷，如圖3（b）所示。

擬合后的軌跡曲線是一個關(guān)于時間t的函數(shù)。與卡爾曼濾波后的結(jié)果及雷達探測結(jié)果對比可知，擬合曲線更加符合被測目標(biāo)的運動軌跡要求。如果將結(jié)果分解到X、Y、Z 3個方向上，對時間t求2次導(dǎo)數(shù)便可得到被測目標(biāo)的速度v（t）和加速度a（t）。

圖3　被測目標(biāo)的卡爾曼濾波和最小二乘法擬合軌跡

4　單雷達對多目標(biāo)的追蹤

為進一步說明這種方法對多目標(biāo)跟蹤的效果，以一個雷達對2個機動目標(biāo)的追蹤數(shù)據(jù)為例，在雷達坐標(biāo)系上，對各參數(shù)進行相應(yīng)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)分析，按要求分離2個被測目標(biāo)的軌跡。雷達在單個時間點上僅有一個回波點跡，需要采用一種有效的分離方法來處理數(shù)據(jù)，從而還原被測目標(biāo)的軌跡。本文采用聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，建立一個結(jié)果與多個目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)假設(shè)，并以關(guān)聯(lián)概率為權(quán)值求取測量波門內(nèi)的有效觀測融合值，作為等效測量對目標(biāo)軌跡進行更新。利用這種方法可以有效還原出“飛行包線”。單一雷達探測雙目標(biāo)的“飛行包線”如圖4所示。

應(yīng)用第3節(jié)的方法得到的結(jié)果如圖5所示，2條曲線分別表示2個目標(biāo)的運動軌跡。這樣，可以很好地描繪出2個被測目標(biāo)在空中的運動軌跡。雷達在掃描過程中，一個時間點上只有一個回波點跡，需要根據(jù)僅有的一個回波點跡，同時保持2個被測目標(biāo)在時間、位置、速度和加速度的相對連續(xù)性，并進行逐點實時篩選，才能有效分離2個目標(biāo)的軌跡，并且保證軌跡不丟失。由圖4和圖5可知，利用數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法分離單個雷達檢測到2個目標(biāo)的數(shù)據(jù)是有效的。

圖4　單一雷達探測雙目標(biāo)的經(jīng)度、緯度和高度隨時間的變化

圖5　單一雷達探測雙目標(biāo)的卡爾曼濾波和最小二乘法擬合軌跡

5　結(jié)束語

建立地球坐標(biāo)系與雷達坐標(biāo)系之間的關(guān)系，能夠有效還原雷達的監(jiān)測信息。通過卡爾曼濾波與最小二乘擬合相結(jié)合的方法，可以得到被測目標(biāo)的狀態(tài)以及其速度和加速度等狀態(tài)信息。利用多目標(biāo)跟蹤的聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，有效將單個雷達探測到的2個未知目標(biāo)分開，通過數(shù)據(jù)分析確定2個目標(biāo)的運動狀態(tài)。雖然受到一些因素的限制，但目標(biāo)機動在戰(zhàn)術(shù)上具有主動優(yōu)勢，機動目標(biāo)跟蹤也將成為今后跟蹤理論研究的熱點和難點。

參考文獻：

［1］楊柳.改進卡爾曼濾波的目標(biāo)跟蹤研究[J].計算機仿真，2010，27（9）：351-355.

［2］王建華，張琳.基于改進卡爾曼濾波方法的機動目標(biāo)跟蹤研究[J].現(xiàn)代防御技術(shù)，2006，34（2）：16-19.

［3］虞旦，韋巍，張遠輝.一種基于卡爾曼預(yù)測的動態(tài)目標(biāo)跟蹤算法研究[J].光電工程，2009，36（1）：52-56.

［4］敬喜.卡爾曼濾波器及其應(yīng)用基礎(chǔ)[M].北京：國防工業(yè)出版社，1973.

［5］孫凱，劉士榮.多目標(biāo)跟蹤的改進Camshift/卡爾曼濾波組合算法[J].信息與控制，2009，38（1）：9-14.

［6］王學(xué)斌，徐建宏，張章.卡爾曼濾波器參數(shù)分析與應(yīng)用方法研究[J].計算機應(yīng)用與軟件，2012，29（6）：212-215.

［7］鄭潤高，張安清.雷達機動目標(biāo)跟蹤的卡爾曼粒子濾波算法[J].電光與控制，2012，19（1）：50-53.

［8］劉士龍.基于卡爾曼濾波器的非合作目標(biāo)飛行器視覺追蹤[D].北京：北京理工大學(xué)，2014.

Simulation for maneuvering target trajectory based on Kalman filter and least square methods

WANG Lu，ZHENG Hong-xing，DENG Dong-min，WAN Xiao-feng
（Institute of Antenna and Microwave Techniques，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：In order to process the data collected by radar system from maneuvering target effectively，a conversion relation between the earth and radar coordinate systems is set up by using rotation matrix.By combining Kalman filtering method with least square method，a real-time and reliable target trajectory has been obtained.Two different maneuvering target′s information measured by single radar has been separated accurately by using data association algorithm.Trajectory curve and motion state of each target is obtained.These methods are convenient for real-time monitoring of targets.

Key words：rotation matrix；Kalman filtering；least square method；data association algorithm

作者簡介：王輅（1992—），男，碩士研究生；鄭宏興（1962—），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為天線、微波電路及計算電磁學(xué).

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（61371043）.

收稿日期：2015-07-06

中圖分類號：TN953

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：2095－0926（2016）01－0010－04