夏澤雨，崔世鋼，耿立輝

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津　300222）

上述的準則函數(shù)可以寫為：

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一種板球系統(tǒng)的Box-Jenkins模型辨識研究

夏澤雨，崔世鋼，耿立輝

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津300222）

摘要：板球系統(tǒng)是一種典型的非線性多變量系統(tǒng)，是先進控制理論、系統(tǒng)辨識和狀態(tài)估計等方法的典型驗證平臺，其主要功能是讓小球在平板上按照期望的軌跡運行。由于機器老化，先前的機理模型已不能表示板球系統(tǒng)的動態(tài)特性。為保證控制精度，為板球系統(tǒng)后期先進控制器的設計提供模型依據(jù)，本文將已有的關(guān)于離散系統(tǒng)的Box-Jenkins模型辨識技術(shù)，推廣應用到連續(xù)時間板球系統(tǒng)的模型中，利用參考輸入信號的方法設計出持續(xù)激勵作為輸入信號，采用輔助變量法和最小二乘法來分別辨識板球系統(tǒng)模型和噪聲模型，利用雙線性變換得出板球系統(tǒng)的連續(xù)時間Box-Jenkins模型，通過數(shù)值仿真實例，驗證了這種方法的有效性。

關(guān)鍵詞：板球系統(tǒng)；Box-Jenkins模型；輔助變量法；最小二乘法

板球系統(tǒng)是球桿系統(tǒng)的二維擴展。作為具有2個自由度的機械系統(tǒng)，板球系統(tǒng)通常用于對動態(tài)系統(tǒng)的研究和在實驗室進行經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的控制過程研究，是先進控制理論、系統(tǒng)辨識和狀態(tài)估計等方法的典型驗證平臺。其控制對象是具有2個相互垂直的旋轉(zhuǎn)軸的板，目的是讓一個自由滾動的小球能夠平衡在平板上特定的位置，或沿一定的軌跡滾動。板球系統(tǒng)涉及自動控制、運動控制、數(shù)字圖像處理、機器視覺等領(lǐng)域[1]。由于系統(tǒng)長期使用，機器老化，系統(tǒng)存在誤差，先前的機理模型已不能準確描述系統(tǒng)的真實模型。為給板球系統(tǒng)設計出更高精度的控制器，需要采集實時實驗數(shù)據(jù)以辨識出板球系統(tǒng)的真實模型。

早在20世紀20年代，研究人員就開始研究B-Jenkins模型，直到1970年George Box和Gwilym Jenkins[2]提出著名的時間序列預測模型，也就是Box-Jenkins模型。該模型是指將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后將因變量僅對其滯后值及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值進行回歸所建立的模型。研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)于板球系統(tǒng)的辨識非常少，先前的Box-Jenkins模型辨識技術(shù)只能應用到離散時間系統(tǒng)上，而本文將該方法推廣應用到連續(xù)時間板球系統(tǒng)的模型辨識中。本文利用Box-Jenkins模型辨識板球系統(tǒng)的系統(tǒng)模型和噪聲模型，為板球系統(tǒng)后期的先進控制器設計提供模型依據(jù)。首先為板球系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)設計出合適的M序列，之后利用輔助變量法和最小二乘法估計出板球系統(tǒng)的Box-Jenkins模型[3]，最后通過雙線性變換和最小實現(xiàn)處理得到板球系統(tǒng)理想的實時模型。

1　板球系統(tǒng)的數(shù)學模型

對板球系統(tǒng)而言，如果僅采用力學方法，板球系統(tǒng)的數(shù)學模型將很難得到。拉格朗日法在機器人建模中的成功應用說明它比較適合解決這種復雜的機械系統(tǒng)問題，因此采用拉格朗日方法來計算推導板球系統(tǒng)的數(shù)學模型。拉格朗日方程的一般形式為：

小球在x軸的運動可以被描述成如下的線性狀態(tài)空間方程組[1]

這個等式中輸入、輸出矩陣為：

因而，板球系統(tǒng)上關(guān)于小球在x軸上和平板在x軸上的角加速度數(shù)學模型可以計算出來，數(shù)學模型為：

由上式可知，板球系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個4階系統(tǒng)。

2　基于BJ模型的辨識方法

實際過程中，干擾大部分都是有色噪聲，這類模型可以表示為Box-Jenkins模型，它可以描述為[4-5]：

式中：A（z-1）= 1 + a1（z-1）+ anaz-na；B（z-1）= 1 + b1（z-1）+ bnbz-nb；C（z-1）= 1 + c1（z-1）+ cncz-nc；D（z-1）= 1 + d1（z-1）+ dndz-nd；u（k）和y（k）分別表示系統(tǒng)模型的輸入和被噪聲污染的輸出；v（k）表示不相關(guān)的零均值白噪聲。

2.1系統(tǒng)模型的辨識

在板球系統(tǒng)中，首先關(guān)注如下描述形式的板球系統(tǒng)模型的辨識問題。

對于噪聲模型部分，令

則線性動態(tài)模型系統(tǒng)可以表述為：

式中：u（k）和y（k）為模型系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量；e（k）為有色噪聲。由于直接用最小二乘法不能得到模型參數(shù)的無偏、有效估計，因而式（7）可以寫成最小二乘的形式

式（8）中

式中：L為數(shù)據(jù)長度；na和nb分別為多項式A（z-1）和B（z-1）的階次。

為獲得模型參數(shù)的無偏、一致估計，設模型殘差為：

上述的準則函數(shù)可以寫為：

參考文獻在[3]中證明出式（12）收斂的條件。所謂的收斂，就是是從輸入、輸出數(shù)據(jù)集合中構(gòu)造出來的向量，稱之為輔助變量。該變量可以選擇多種形式([3])，本文列出下面一種形式

式中：滯后nb步的輸入u（k - nb- i）（i = 1，2，…，na）為輔助變量。

由h*（k）組成的H*L可稱作輔助矩陣。通過上述分析可知，式（13）能夠估計出Box-Jenkins模型的系統(tǒng)模型部分。

2.2噪聲模型部分辨識

對于噪聲模型部分，令

式中：v（k）為輸入；e?（k）為輸出?，F(xiàn)在問題就變?yōu)锳RMA模型的參數(shù)辨識問題，將式（14）經(jīng)過如下的轉(zhuǎn)換得到

式（15）有最小二乘法結(jié)構(gòu)為：

可以得到β的估計值，進而可以推算出v（k）的估計值。

應用高階AR模型，可將式（14）轉(zhuǎn)化為如下ARX模型結(jié)構(gòu)

由最小二乘法（LS）就能夠估計出C（z-1）和D（z-1）。

3　板球系統(tǒng)的辨識

3.1辨識思路

一般的板球控制系統(tǒng)如圖1所示。圖1中：K（z-1）為控制器；P（s）為板球系統(tǒng)；u0和ym為在辨識中采集到的實驗數(shù)據(jù)，分別是系統(tǒng)的輸入和噪聲污染的輸出；v（k）為噪聲。

圖1　板球控制系統(tǒng)方框圖

根據(jù)上文的辨識算法就能夠辨識出板球系統(tǒng)的模型，辨識的過程如圖2所示。

根據(jù)信號的流動關(guān)系可以得到這個閉環(huán)系統(tǒng)的模型為[6-7]：

圖2中，由式（19）完成Guy（z-1）到P（z-1）的轉(zhuǎn)化，即得到板球系統(tǒng)的離散模型為：

圖2　辨識過程

應用如下雙線性變換，完成P（z-1）到P（s）的轉(zhuǎn)換，即可得到板球系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)為：

式中：T為采樣時間。

3.2參考輸入信號的設計

連續(xù)時間的偽隨機二值信號（PRBS）又名M序列，是周期的確定信號，且可復現(xiàn)。故可設計M序列作為板球?qū)嶒灴刂葡到y(tǒng)的參考輸入信號，其設計方法和步驟如下。

（1）在穩(wěn)定控制系統(tǒng)的輸入端加上脈沖信號，觀察脈沖信號從加入到輸出減少為最高脈沖響應10%所經(jīng)歷的時間，該時間就為過渡過程時間Ts。

（2）在參考信號的輸入端加上占空比為50%的方波信號，逐漸增加該信號的頻率，直到輸入信號沒有明顯的變動位置，該時刻信號的頻率即為最高截止頻率fmax。

（3）利用過渡過程時間Ts和最高截止頻率fmax來確定M序列的參數(shù)，確定的規(guī)則為：

式中：Δt為脈沖間隔；Np為周期數(shù)。

3.3辨識步驟

步驟1確定u0。通常情況下，M序列具有白噪聲的特性，比較容易實現(xiàn)，故M序列可被當作輸入信號。根據(jù)上文所述參考輸入信號的設計方法可以確定合適的M序列。

步驟2對采集到的u0和ym做預處理，創(chuàng)造一個數(shù)據(jù)對象。

步驟3對該數(shù)據(jù)對象采用Box-Jenkins辨識方法進行辨識，得到系統(tǒng)的Box-Jenkins模型，根據(jù)式（19）和式（20）可以推算出板球系統(tǒng)的離散模型。

步驟4根據(jù)式（21），將得到的離散數(shù)學模型進行轉(zhuǎn)換，得到板球系統(tǒng)的連續(xù)模型。

4　仿真驗證

前期研究中，已經(jīng)設計好H∞回路成形魯棒控制器，其離散形式結(jié)構(gòu)為[8-10]：

式中：P（s）為板球系統(tǒng)的數(shù)學模型。根據(jù)3.2提出的設計M序列的方法，得出過渡過程時間Ts= 0.035 s和最高工作頻率fmax= 2 Hz，設計出如下的M序列為：

以此PRBS作為持續(xù)輸入激勵u0，噪聲為均值0、方差為0.001的高斯白噪聲，采樣時間T = 0.03 s，數(shù)據(jù)長度為1 667，對采集到的數(shù)據(jù)進行Box-Jenkins模型辨識方法，得到離散的辨識模型，將其進行雙線性變換，得到的板球系統(tǒng)的辨識模型表達式為：

噪聲模型可以表示為：

辨識的模型和板球系統(tǒng)真實模型的伯德圖如圖3所示。由圖3可以看到：在中頻段的吻合效果比較好；在低頻段和高頻段吻合效果比較差，但是板球系統(tǒng)的控制器設計中，中頻段的辨識精度至關(guān)重要。辨識的模型和板球系統(tǒng)真實模型控制系統(tǒng)正弦響應的對比圖如圖4所示，由圖4可知辨識的效果令人滿意。

圖3　伯德圖對比

圖4　正弦響應對比

5　結(jié)束語

在已有離散系統(tǒng)Box-Jenkins模型的基礎(chǔ)上，首先辨識出板球系統(tǒng)的閉環(huán)模型，通過轉(zhuǎn)化得到板球系統(tǒng)的離散模型，之后通過雙線性變換得到板球系統(tǒng)的連續(xù)模型，辨識的效果令人滿意，辨識出的板球系統(tǒng)模型為板球系統(tǒng)后期的先進控制器設計提供模型依據(jù)。由于在實際工業(yè)中，系統(tǒng)模型多為變量帶誤差模型，因此在今后的研究中，還應更多地關(guān)注板球系統(tǒng)變量帶誤差模型的辯識。

［1］深圳元創(chuàng)興科技有限公司.深圳板球系統(tǒng)實驗指導書［Z］.深圳：深圳元創(chuàng)興科技有限公司，2011.

［2］LENNART L.System Identification：Theory for the User［M］.New Jersey：Prentice Hall，1999.

［3］蕭德云，方崇智.系統(tǒng)辨識理論及應用［M］.北京:清華大學出版社，2014.

［4］楊慧中，張勇.Box-Jenkins模型偏差補償方法與其他辨識方法的比較［J］.控制理論與應用，2007，24（2）：215-222.

［5］丁鋒.辨識Box-Jenkins模型參數(shù)的遞推廣義增廣最小二乘法［J］.控制與決策，1990，16（6）：53-56.

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［10］耿立輝，田立國，段海龍，等.連續(xù)時間變量帶誤差系統(tǒng)的辨識方法研究［J］.天津職業(yè)技術(shù)師范大學學報，2012，22 （4）：1-4.

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Identification on a Box-Jenkins model for a ball and plate system

XIA Ze-yu，CUI Shi-gang，GENG Li-hui
（Tianjin Key Laboratory of Information Sensing & Intelligent Control，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：A ball and plate system is a kind of typical and nonlinear system，which is also a multi- input and multi-output （MIMO）system.A ball and plate system is a typical test platform for advanced control theory，system identification，state estimation method and so on，and its main function is to make the ball run according to the desired trajectory on the plate.Because of the existence of the machine′s friction and aging，the mechanism of the previous model cannot express the true model of a ball and plate system.In order to ensure the control precision，and provide the cricket system for later advanced controller design，according to the model，the existing discrete system on the Box-Jenkins model identification technology is applied and popularized to continuous time cricket system model，the reference input signal is used to design sustained excitation as the input signal，and the instrumental variable method and least square method are used to estimate the cricket system model and noise model.By using bi-linear transform that cricket system of continuous time Box-Jenkins model，a numerical simulation example is given to verify the validity.

Key words：ball and plate system；Box-Jenkins model；instrumental variable method；least squares method

通訊地址：天津市河西區(qū)大沽南路1310號《天津職業(yè)技術(shù)師范大學學報》編輯部

作者簡介：夏澤雨（1988—），男，碩士研究生；崔世鋼（1963—），男，教授，博士，碩士生導師，研究方向為機器人控制、人工智能等.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61203119）；天津市自然科學基金重點項目（14JCZDJC36300）；天津市高等學?？萍及l(fā)展基金資助項目（20130824）；天津職業(yè)技術(shù)師范大學科研發(fā)展基金資助項目（RC14-48，KYQD03010）.

收稿日期：2016-01-26

中圖分類號：TP273

文獻標識碼：A

文章編號：2095－0926（2016）01－0001－05