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精彩呈現(xiàn)導數(shù)命題中的分類討論

◇山東卞文

導數(shù)是中學數(shù)學中的重要概念之一.分析近幾年的高考題中,導數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的應用備受命題者的關注及青睞,但導數(shù)問題也是考生的難點之一,究其原因,導數(shù)問題常伴隨著參數(shù),解題中需要對參數(shù)進行分類討論．那么其中所涉及的討論都有哪些呢?

引例(2015年山東卷) 設f(x)=ln (x+1)+a(x2-x), 其中a∈R

(1) 討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由.

(2) 若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

(1) 函數(shù)f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),其定義域為(-1,+∞),

f′(x)=1/(x+1)+a(2x-1)=

設g(x)=2ax2+ax+1-a.

其中涉及的分類討論如下：

1) 對二次項系數(shù)的討論.

本題求導后,導函數(shù)為二次函數(shù)型(局部為二次函數(shù)型),其中二次項系數(shù)含有參數(shù),導函數(shù)零點的個數(shù)與參數(shù)范圍有關,須對二次項系數(shù)取值進行討論．

當a=0時,g(x)=1,f′(x)=1/(x+1)>0,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)為增函數(shù),無極值點.

當a>0時,Δ=a2-8a(1-a)=9a2-8a.

2) 對判別式的討論.

當二次項系數(shù)不為0時,若導函數(shù)可因式分解,則直接求出導函數(shù)零點．否則需要討論判別式的正負．

當Δ≤0時,得0

當Δ>0時,得a>8/9.

3) 對2根是否在定義域范圍內(nèi)的討論.

設g(x)=0的2個不相等的實數(shù)根為x1、x2,且x10,則

-1

當x∈(-1,x1),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當x∈(x1,x2),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當x∈(x2,+∞),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

因此，此時函數(shù)f(x)有2個極值點.

續(xù)解當a<0時,Δ>0,但g(-1)=1>0,x1<-10,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞増;

當x∈(x2,+∞),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個極值點．

4) 對最值存在條件進行討論.

(2) 由(1)可知當0≤a≤8/9時f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,而f(0)=0,則當x∈(0,+∞)時,f(x)>0,符合題意;

當8/90,符合題意;

當a>1時,g(0)<0,x2>0,所以函數(shù)f(x)在(0,x2)單調(diào)遞減,而f(0)=0,則當x∈(0,x2)時,f(x)<0,不符合題意.

綜上所述,a的取值范圍是0≤a≤1.

總之,在處理導數(shù)綜合問題時,只要熟練掌握處理相關問題的理論基礎,明確討論的目的,準確確定分類的標準,即可有理有據(jù)解答問題．當然針對不同的題型,分類討論的形式不僅局限于本文所述,但只要我們在學習中注重歸納總結(jié),即可以不變應萬變．

(作者單位：山東省青島市嶗山區(qū)第一中學 )