劉建軍

(1. 現(xiàn)代投資股份有限公司, 湖南長沙 410000; 2. 湖南大學(xué)土木工程學(xué)院, 湖南長沙 410000)

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車輛荷載作用下雙曲拱橋的動(dòng)力響應(yīng)實(shí)測(cè)與分析

劉建軍1, 2

(1. 現(xiàn)代投資股份有限公司, 湖南長沙 410000; 2. 湖南大學(xué)土木工程學(xué)院, 湖南長沙 410000)

【摘要】文章首先介紹車橋動(dòng)力相互作用的相關(guān)理論,具體內(nèi)容包括：橋梁固有振動(dòng)理論、靜力分析理論、阻尼理論、車橋動(dòng)力相互作用理論等。然后運(yùn)用大型橋梁分析軟件MADIS對(duì)工程實(shí)例進(jìn)行了動(dòng)力分析，并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證應(yīng)用MADIS建模及進(jìn)行車橋動(dòng)力相互作用分析的可行性。所得結(jié)果對(duì)橋梁抗震設(shè)計(jì)有一定的參考作用。

【關(guān)鍵詞】雙曲拱橋；車輛荷載；自振頻率；動(dòng)力響應(yīng)

現(xiàn)今有關(guān)雙曲拱橋在汽車荷載下的動(dòng)力反應(yīng)研究的較少。我國現(xiàn)行橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范將汽車荷載作用的沖擊系數(shù)定義為橋梁基頻的函數(shù)，比原規(guī)范有了很大的改進(jìn)，然而對(duì)整個(gè)橋梁應(yīng)用單一的沖擊系數(shù)不盡合理，橋梁不同位置的動(dòng)力反應(yīng)是不同的，應(yīng)規(guī)定不同的沖擊系數(shù)；而且作為沖擊系數(shù)效應(yīng)值的評(píng)價(jià)尺度是著眼于彎矩還是撓度也是研究的課題。此外，規(guī)范亦沒有考慮阻尼、車輛模型、車輛運(yùn)行速度等對(duì)橋梁沖擊系數(shù)的影響。

由于影響車橋振動(dòng)的因素很多，通過橋梁的汽車荷載的流量大小、車輛間距、軸重、行駛速度、車輛的行駛位置、車輛的動(dòng)力持性等均有明顯的隨機(jī)性，是無法預(yù)知的。同時(shí)，路橋連接縫的結(jié)構(gòu)狀態(tài)、橋頭引道及橋面的平整狀態(tài)也具有明顯的隨機(jī)性，這給車輛對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力作用的理論分析帶來了很大困難。因此，在車橋耦合振動(dòng)分析中，一般多通過橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)荷載試驗(yàn)來測(cè)定上述因素的綜合作用結(jié)果，同時(shí)采取必要的理論分析加以驗(yàn)證。如何從理論上確定車輛荷載下公路橋梁的動(dòng)力響應(yīng)，一直為工程界所關(guān)注。

1車輛橋梁相互作用的分析方法

1.1車輛橋梁相互作用的研究任務(wù)

車振、地震及風(fēng)振是橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的三個(gè)主要問題。橋梁結(jié)構(gòu)在行車作用下，由于汽車與橋梁結(jié)構(gòu)的相互作用引起車輛橋梁整體系統(tǒng)的振動(dòng)，屬于典型的快速時(shí)變結(jié)構(gòu)力學(xué)范疇。汽車橋梁系統(tǒng)的振動(dòng)，使得橋梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形大于靜力車輛荷載作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形。為了確保橋梁在車輛運(yùn)行時(shí)的結(jié)構(gòu)安全，在橋梁設(shè)計(jì)中必須考慮車輛荷載動(dòng)力效應(yīng)的影響。在目前世界各國橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范中，一般用動(dòng)力放大系數(shù)亦稱沖擊系數(shù)來考慮車輛荷載對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)。車輛與橋梁相互作用領(lǐng)域研究的主要任務(wù)就是研究車輛橋梁整體系統(tǒng)的動(dòng)力行為。對(duì)于車輛橋梁系統(tǒng)的振動(dòng)問題，由于汽車及橋梁結(jié)構(gòu)兩者都是具有剛度、質(zhì)量和阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，并且在車輛運(yùn)行時(shí)，作用在橋梁上的汽車車輪位置隨時(shí)間發(fā)生變化，從而使得汽車橋梁系統(tǒng)的振動(dòng)問題相當(dāng)復(fù)雜。影響汽車橋梁系統(tǒng)動(dòng)力行為的主要因素包括以下幾個(gè)主要方面：

(1)橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率特征由橋梁結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量確定；

(2)汽車車輛的自振頻率特征由汽車車輛的剛度和質(zhì)量確定；

(3)橋梁結(jié)構(gòu)及車輛系統(tǒng)的阻尼；

(4)汽車在橋上運(yùn)行的速度；

(5)橋面的不平順；

(6)汽車上橋時(shí)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

車輛橋梁系統(tǒng)的動(dòng)力行為是空間問題，包括垂直方向的振動(dòng)和水平方向的振動(dòng)；在激勵(lì)方式上，除汽車正常的運(yùn)行外，還有汽車的起動(dòng)與剎車等；在研究方法上可分為確定性振動(dòng)分析和隨機(jī)振動(dòng)分析兩大類。

在確定性振動(dòng)分析方面，最基本的是單自由度振動(dòng)微分方程，根據(jù)牛頓第二定律及達(dá)朗貝爾原理建立如下：

(1)

式中:v(t)為質(zhì)量m在時(shí)間t的位移；m、c、k分別為系統(tǒng)的集中質(zhì)量、阻尼系數(shù)及彈簧剛度;F(t)為隨時(shí)間變化的外荷載。

隨機(jī)振動(dòng)分析采用概率統(tǒng)計(jì)方法確定系統(tǒng)動(dòng)力反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。

1.2車橋動(dòng)力相互作用相關(guān)理論

1.2.1固有振動(dòng)理論

固有振動(dòng)反映振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性，是研究一切振動(dòng)問題的基礎(chǔ)。所謂固有振動(dòng)是指彈性系統(tǒng)在沒有外部動(dòng)力的作用下形成的振動(dòng)。求解固有振動(dòng)的頻率從數(shù)學(xué)上說屬于求特征值的問題。

有限元法是現(xiàn)今比較常用的方法。利用有限元，結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)可歸結(jié)為下列廣義特征值問題:

(2)

式(2)中剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]都是對(duì)稱矩陣，[K]通常是正定的。[M]是滿陣，如果只有節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量，那么[M]是對(duì)角陣。如果[K]及[M]有n階，則可求得n個(gè)頻率ω及n組振型{x}。把式(2)兩邊都左乘以[K]-1，并乘λ=1/ω2，得：

(3)

將[K]-1[M]用[A]表示，于是得：

(4)

這是一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)特征值問題”，式中[A]在通常情況下是對(duì)稱矩陣。但在某些情況下，[K]-1[M]不是對(duì)稱矩陣，此時(shí)為了便于計(jì)算，常常把它轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。

接下來對(duì)[K]進(jìn)行三角化分解，使

(5)

式 (5)中[L]是上三角矩陣，于是

(6)

代入式(3)得:

(7)

兩邊左乘[L]，得:

(8)

令Z=[L]{x}，代入上式得:

(9)

式子中[A]=[L]-1[M][L]

[A]是對(duì)稱矩陣，上式就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。求得特征向量{Z}后，容易利用{Z}=P[L]{x}還原成方程式(2)的特征向量{x}，即:

(10)

標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的解法有很多種，常用的有雅可比法、子空間迭代法、乘冪法及反乘冪法、G—H法、Ritz向量法、Lanczos法。本文采用子空間迭代法，用大型橋梁分析軟件MADIS加以實(shí)現(xiàn)。

1.2.2靜力分析理論

結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程組為:

(11)

即以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡方程組。式中[K]、{x}、{P}分別表示結(jié)構(gòu)剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)位移向量、節(jié)點(diǎn)荷載向量?？梢杂弥苯咏夥ㄇ蠼獯祟惙匠探M。直接解法以高斯消去法為基礎(chǔ)，求解效率高。在方程組的階數(shù)不是特別高時(shí)(例如不超過10 000階)，通常采用直接解法。常用方法有等帶寬高斯消去法、三角分解法以及以上述兩法為基礎(chǔ)，適用于更大型方程組求解的分塊解法和波前法。波前法求解的特點(diǎn)是：剛度矩陣[K]和荷載列陣{P}不按自然編號(hào)進(jìn)入內(nèi)存而按計(jì)算時(shí)參加運(yùn)算的順序排列，在內(nèi)存中只保留盡可能少的一部分[K]和{P}中的元素。在波前法中,方程被處理的次序由單元編號(hào)來確定，而不是由節(jié)點(diǎn)編號(hào)來確定。要消去的第1個(gè)方程只是與單元1相關(guān)的那些方程。接著，相鄰單元2的剛度矩陣的貢獻(xiàn)加到方程組中，假使僅是單元1和單元2對(duì)附加的自由度有貢獻(xiàn)，即沒有其他單元對(duì)這些自由度的剛度矩陣有貢獻(xiàn)，那么這些方程從方程組中被消去。當(dāng)一個(gè)或更多單元對(duì)方程組有貢獻(xiàn)時(shí)，只是由這些單元貢獻(xiàn)的附加自由度將從解中被消去。在組合和解之間的這種反復(fù)交替最初被看作波前，這個(gè)波在結(jié)構(gòu)上以單元編號(hào)的樣式掃蕩。由于這種方法的較大有效性，在結(jié)構(gòu)上將以跨越最少節(jié)點(diǎn)號(hào)的方向進(jìn)行連續(xù)的單元編號(hào)。本文在靜力分析中還考慮了橋梁結(jié)構(gòu)的幾何非線性。引起結(jié)構(gòu)非線性的原因很多，它可以被分為三種主要類型：

(1)狀態(tài)變化。許多普通結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出一種與狀態(tài)相關(guān)的非線性，例如，一根只能拉伸的電纜可能是松散的，也可能是繃緊的。這些系統(tǒng)的剛度由于系統(tǒng)狀態(tài)的改變?cè)诓煌闹抵g突然變化。

(2)幾何非線性。如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，它變化的幾何形狀可能會(huì)引起結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)。

(3)材料非線性。非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是結(jié)構(gòu)材料非線性的常見原因。許多因素可以影響材料的應(yīng)力-應(yīng)變性質(zhì)，包括加載歷史、環(huán)境狀況、加載的時(shí)間總量等。

1.2.3阻尼理論

橋梁結(jié)構(gòu)的阻尼是確定橋梁振動(dòng)的重要?jiǎng)恿?shù)之一。阻尼消耗能量，使振動(dòng)衰減，對(duì)橋梁的安全是有利的。阻尼的大小直接關(guān)系到橋梁在動(dòng)荷載作用下振動(dòng)的強(qiáng)弱，因此研究橋梁的阻尼規(guī)律是提高橋梁動(dòng)力計(jì)算精確度的關(guān)鍵之一。

形成橋梁結(jié)構(gòu)阻尼的因素十分復(fù)雜，大致可以分為下列三類：

(1)材料的內(nèi)阻尼。由振動(dòng)時(shí)材料分子間的內(nèi)摩擦力所形成。

(2)摩擦阻尼。由結(jié)構(gòu)物支承及連接處的摩擦力等所形成，又稱干摩擦阻尼或庫倫阻尼。

(3)空氣介質(zhì)阻尼。由周圍空氣介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)物運(yùn)動(dòng)的阻力所形成。

材料內(nèi)阻尼使振動(dòng)按指數(shù)隨時(shí)間衰減，而橋梁結(jié)構(gòu)的摩擦阻尼則使振幅按直線隨時(shí)間衰減，二者作用的性質(zhì)不同。至于空氣介質(zhì)阻尼作用的性質(zhì)則大致與材料內(nèi)阻尼相似。橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)阻尼還不能像固有頻率那樣準(zhǔn)確計(jì)算出來，在振動(dòng)分析中常參考一些橋上實(shí)測(cè)資料來近似取值?？紤]到實(shí)際情況和計(jì)算上的方便，在橋梁振動(dòng)計(jì)算中通常采用Rayleigh阻尼，又稱為比例阻尼，是最常用也是比較簡單的阻尼，它是多數(shù)實(shí)用動(dòng)力分析的首選，對(duì)許多實(shí)際工程應(yīng)用也是足夠的。Rayleigh假定阻尼矩陣[C]為質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]的線性組合，即[C]=α[C]+β[K], 是α阻尼和β阻尼之和。已知結(jié)構(gòu)總阻尼比是ξ，則用兩個(gè)頻率點(diǎn)上α阻尼與β阻尼產(chǎn)生的等效阻尼比之和與其相等，即

(12)

這樣就可以求出近似的α阻尼與β阻尼系數(shù)。

1.2.4車橋動(dòng)力相互作用理論

當(dāng)汽車以一定的運(yùn)行速度通過橋梁時(shí)，車輛位置隨著時(shí)間變化，并且汽車車輛和橋梁結(jié)構(gòu)都是具有剛度、質(zhì)量及阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，因而汽車與橋梁相互作用問題非常復(fù)雜。一般來說，首先分別建立汽車和橋梁的振動(dòng)方程，然后考慮車輪與橋梁的位移協(xié)調(diào)條件，建立汽車與橋梁相互作用的整體系統(tǒng)方程，采用數(shù)值方法求解整體系統(tǒng)方程。

車輛單元的運(yùn)動(dòng)方程為：

(13)

式中：mt、ct、kt、ft分別為車輛單元的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、荷載向量。

(14)

車輛與橋梁相互作用的車橋耦合單元運(yùn)動(dòng)方程為:

(15)

式中各矩陣和向量的詳細(xì)表達(dá)式為:

(16)

式中各矩陣的含義如下：

mbb為車橋耦合單元的質(zhì)量矩陣；

δb為車橋耦合單元的位移向量；

Nb為橋梁單元的形函數(shù)；

r為橋面的不平順函數(shù)；

v為車輛的水平運(yùn)動(dòng)速度；

a為車輛的水平運(yùn)動(dòng)加速度；

根據(jù)建立的車橋耦合單元，可以采用有限元方法形成汽車橋梁整體系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和荷載向量。由于汽車運(yùn)行通過橋梁時(shí)，作用在橋梁上的車輪位置隨著時(shí)間而變化，因此汽車橋梁整體系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣及位移向量、速度向量、加速度向量和荷載向量均隨時(shí)間而變化，也就時(shí)說，對(duì)于每一個(gè)時(shí)間增量，汽車橋梁整體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程必須重新更改。按照有限元方法形成汽車橋梁整體系統(tǒng)方程如下：

(17)

車橋動(dòng)力相互作用計(jì)算方法有分組迭代法和整體求解法兩種。分組迭代法就是將汽車橋梁系統(tǒng)方程分為車輛方程和橋梁方程兩組分別進(jìn)行迭代，然后再考慮車輪橋梁位移協(xié)調(diào)條件，進(jìn)行反復(fù)迭代，最終求解汽車橋梁系統(tǒng)方程的結(jié)果;整體求解法就是直接形成汽車與橋梁整體系統(tǒng)的方程，采用數(shù)值方法如Wilson-θ法和Newmark法等求解。整體求解法比分組迭代法運(yùn)算速度快，但要求的計(jì)算機(jī)內(nèi)存更大一些。車輪與橋梁接觸條件主要考慮兩個(gè)因素，即橋面不平和車輪與橋梁位移協(xié)調(diào)條件。橋面不平是車輛與橋梁相互作用問題的主要激勵(lì)因素;車輛與橋梁位移協(xié)調(diào)條件就是假定汽車運(yùn)行通過橋梁時(shí)，車輪與橋梁始終保持接觸。

2工程實(shí)例分析

2.1工程概況

某大橋建成于1978年，所在路線依1972年頒發(fā)的《公路工程技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》(估計(jì)為四級(jí)公路，相應(yīng)設(shè)計(jì)荷載為汽車-10級(jí)，履帶-50。橋位樁號(hào)為K5+100，橋長178.8 m，總橋?qū)? m，2車道。上部結(jié)構(gòu)形式為25 m(板拱)+3×40 m(雙曲拱)，漿砌片石；下部結(jié)構(gòu)形式為U型橋臺(tái)、重力式橋墩、擴(kuò)大基礎(chǔ)。該橋設(shè)計(jì)圖紙及施工資料暫未找到(圖1)。

圖1　橋立面圖

2.2動(dòng)載試驗(yàn)方案

(1)在夜間(晚上12：00～早晨4：00)進(jìn)行地脈動(dòng)實(shí)驗(yàn)，測(cè)試橋梁的豎向自振特性；

(2)跑車實(shí)驗(yàn)：一輛重車(15 t)分別以30 km/h、40 km/h的速度駛過主橋，測(cè)試橋梁的豎向強(qiáng)迫振動(dòng)特性；

(3)儀器采用由拾振器(位移、速度與加速度傳感器)、數(shù)據(jù)采集儀、電荷放大器及動(dòng)力分析儀組成的動(dòng)力測(cè)試系統(tǒng)。

全部數(shù)據(jù)采集與分析采用德國生產(chǎn)的國際公認(rèn)的HBM動(dòng)力測(cè)試與分析系統(tǒng)完成。

2.3試驗(yàn)結(jié)果與分析

2.3.1理論分析

通過橋梁分析軟件MIDSA對(duì)該橋進(jìn)行計(jì)算，前10階振型見圖2～圖11,各跨的前10階理論自振頻率見表1。

圖2　第1階振型

圖3　第2階振型

圖4　第3階振型

圖5　第4階振型

圖6　第5階振型

圖7　第6階振型

圖8　第7階振型

圖9　第8階振型

圖10　第9階振型

圖11　第10階振型

綜合跑車及環(huán)境隨機(jī)振動(dòng)的測(cè)試數(shù)據(jù)，可得到精確而真實(shí)的橋跨結(jié)果自振特性數(shù)據(jù)。

2.3.2動(dòng)載試驗(yàn)分析結(jié)果與評(píng)定

(1) 橋梁自振頻率測(cè)試結(jié)果與分析見表2、圖12。

由以上可知各階自振頻率的實(shí)測(cè)值與理論值基本一致，但理論頻率小于實(shí)測(cè)頻率，說明實(shí)際結(jié)構(gòu)剛度小于設(shè)計(jì)剛度。

表1　自振特性理論分析

表2　測(cè)試頻率與理論頻率比較

(a)脈動(dòng)第四跨1號(hào)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜

(b)脈動(dòng)第四跨2號(hào)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜圖12　環(huán)境激振(脈動(dòng))測(cè)點(diǎn)頻譜

(2)橋梁車振頻率測(cè)試結(jié)果與分析見表3、圖13、圖14。

表3　主橋中跨跨中豎向位移的沖擊系數(shù)理論值及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(a)時(shí)速30 km/h第四跨1號(hào)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜

(b)時(shí)速30 km/h第四跨2號(hào)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜圖13　跑車速度為30 km/h時(shí)各測(cè)點(diǎn)的加速度頻譜

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)考察，選取了具有代表性的兩跨作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，分別采用跑車、環(huán)境激振兩種方法進(jìn)行動(dòng)力測(cè)試，并對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了頻譜分析，全部數(shù)據(jù)采集與分析采用德國生產(chǎn)的國際公認(rèn)的HBM動(dòng)力測(cè)試與分析系統(tǒng)完成；同時(shí)用大型商用橋梁結(jié)構(gòu)分析軟件Midas建立了動(dòng)力分析模型，得到了各跨的理論分析頻率。將實(shí)測(cè)頻率值與理論分析值進(jìn)行對(duì)照，得出實(shí)測(cè)頻率略小于理論分析頻率值，這主要是由于混凝土開裂，削弱了截面的面積，致使橋梁的剛度下降，從而導(dǎo)致實(shí)測(cè)橋梁頻率降低。

3結(jié)論

(1)試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)基本一致，說明本文所采用橋梁車輛動(dòng)力響應(yīng)分析方法是可行的。

(2)理論數(shù)據(jù)較試驗(yàn)數(shù)據(jù)偏大，說明橋梁結(jié)構(gòu)剛度與其使用時(shí)間明顯相關(guān)，使用時(shí)間越長，剛度越低。故對(duì)超過一定年限的橋梁應(yīng)定期進(jìn)行維護(hù)加固處理。

(3)橋梁車輛車載動(dòng)力響應(yīng)受車輛流量大小、車輛間距、軸重、行駛速度、車輛的行駛位置、車輛的動(dòng)力持性等多方面因素有關(guān)，在橋梁設(shè)計(jì)計(jì)算中，應(yīng)綜合考慮各方面因素，取最不利情況進(jìn)行設(shè)計(jì)。

(a)時(shí)速40 km/h第四跨1號(hào)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜

(b)時(shí)速40 km/h第四跨2號(hào)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜圖14　跑車速度為40 km/h時(shí)各測(cè)點(diǎn)的加速度頻譜

(4)相對(duì)其他類型橋梁，雙曲拱橋整性較差，整體剛度小，在抗震設(shè)計(jì)中應(yīng)加以考慮。

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【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A

【中圖分類號(hào)】U448.22+1

[作者簡介]劉建軍(1979～)，男，土家族，博士研究生，工程師。

[定稿日期]2014-05-08