☉浙江省黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 章文菊
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巧變課本習(xí)題點(diǎn)燃思維火花
☉浙江省黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué)章文菊
運(yùn)用習(xí)題舉一反三,是習(xí)題課中常用的教學(xué)手段.眾所周知,一堂數(shù)學(xué)習(xí)題課的成功,關(guān)鍵在于對(duì)習(xí)題的精心選擇.若所選的習(xí)題蘊(yùn)含一定的針對(duì)性、示范性、趣味性、綜合性等特點(diǎn),不僅可以幫助學(xué)生走出知識(shí)誤區(qū),更能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,拓寬解題思路,提升思維能力.教材中的習(xí)題是專家從大量的“原材料”中經(jīng)過仔細(xì)斟酌、篩選、檢驗(yàn)、考證后才形成的“產(chǎn)品”,具有較強(qiáng)的典型性,有極高的研究價(jià)值.只要教者注意對(duì)習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)造性的設(shè)計(jì),包括對(duì)習(xí)題的選擇、挖掘、引申、改編,就一定能取得理想的教學(xué)效果.在此,筆者以人教版教材“四邊形”一章為例,談?wù)剮啄陙碓诹?xí)題課教學(xué)中的一些探索,作為拋磚引玉吧!
原題1(八下第44頁練習(xí)2)如圖1,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證OE=OF.
圖1
圖2
解決此題的關(guān)鍵是平行四邊形性質(zhì)定理的應(yīng)用,并通過△AOE≌△COF來達(dá)到目的.但在此題的條件下,全等三角形不只是以上一對(duì).因此,我們可以此題為基礎(chǔ)題型,進(jìn)行如下的變式、復(fù)合:
變題1:用此題的條件及圖形,找出圖中有幾對(duì)全等三角形.
這就要求學(xué)生必須通過仔細(xì)觀察,利用全等三角形的判定,才能準(zhǔn)確地完成此題.
變題2:增加條件:GH過點(diǎn)O與AD、BC分別相交于點(diǎn)G、H(圖2),求證四邊形EHFG是平行四邊形.
這樣,此題就可轉(zhuǎn)化為平行四邊形判定定理的應(yīng)用,但圖形明顯比以前復(fù)雜.只要觀察出兩圖形的關(guān)系,問題就可迎刃而解.
變題3:再增加條件:若GH⊥EF,求證∠EGH= ∠FGH.
至此,本題就變成一道寓平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定等諸多知識(shí)的綜合題.由于菱形是特殊的平行四邊形,增加條件GH⊥EF后,就可利用菱形與平行四邊形對(duì)角線之間的關(guān)系,得到四邊形EHFG是菱形,再由菱形的性質(zhì)可得∠EGH=∠FGH.
原題2(八下第46頁例3)如圖3,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E、F是AC上的兩點(diǎn),并且AE= CF,求證四邊形BFDE是平行四邊形.
圖3
此題可從對(duì)角線的角度來證明,也可用平行四邊形的邊、角關(guān)系,由三角形全等知識(shí)來證明.
變題1:若把此題中的條件“AE=CF”改成“BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,DF平分∠ADC交AC于點(diǎn)F”,那么,四邊形BFDE仍是平行四邊形嗎?
利用平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì),是解決此題的關(guān)鍵.
變題2:把此題中的條件“AE=CF”改成“BE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F”,那么,四邊形BFDE還是平行四邊形嗎?
此題就要利用垂直的定義和三角形全等的知識(shí),再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和判定來解決.
由原有例題引發(fā)出的變式題的講解和練習(xí),既可讓學(xué)生熟練地掌握平行四邊形的各種判定和性質(zhì),又能使學(xué)生在解題中進(jìn)行舉一反三,觸類旁通.
原題3(八下第69頁復(fù)習(xí)題第14題)如圖4,四邊形ABCD是正方形,E是邊BC的中點(diǎn),∠EAF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F,求證AE=EF.
圖4
圖5
圖6
圖7
方法1:如圖4,取AB的中點(diǎn)G,連接GE,則AG=BG= BE=EC,進(jìn)而得出∠BGE=45°,所以∠AGE=∠ECF= 135°.又不難證明∠BAE=∠FEC,于是△AGE≌△ECF,從而得出結(jié)論.
若作為一節(jié)九年級(jí)的習(xí)題課,還可以從以下兩種方法去引導(dǎo):
方法2:如圖5,過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H,由此可以證明△ABE∽△EHF,進(jìn)而可得,由比例性質(zhì)可得.又△FCH是等腰直角三角形,故有EH-FH=EH-CH=CE,同時(shí)易證AB-BE=BC-BE=CE,從而有,所以BE=FH,就可以證得△ABE≌△EHF,得出結(jié)論.
方法3:如圖6,連接AF、AC,因?yàn)椤螦CD=45°,∠DCF=45°,可以證得∠ACF=90°,從而有點(diǎn)A、E、C、F四點(diǎn)在以AF為直徑的圓上,由同弧所對(duì)的圓周角相等,知∠AFE=∠ACB=45°,結(jié)論得證.
當(dāng)然,本題還可以變式為一般情形,即E是BC邊上的任意一點(diǎn),如圖7所示,也可以采用以上三種方法進(jìn)行解答.
上述幾種方法既體現(xiàn)了幾何題一題多解的特點(diǎn),同時(shí)又進(jìn)行了全面復(fù)習(xí),也是對(duì)所學(xué)知識(shí)的一次整合.
原題4(八下第68頁復(fù)習(xí)題第8題)如圖8,四邊形ABCD是一個(gè)正方形花園,E、F是它的兩個(gè)門,且DE=CF,要修建兩條路BE和AF,這兩條路等長嗎?它們有什么位置關(guān)系?為什么?
分析:本題思路特別簡單,利用三角形全等去證明兩條線段相等及位置關(guān)系,為了進(jìn)一步提升學(xué)生的思維,先從點(diǎn)E、F的位置上進(jìn)行改編:
變題1:如圖9,在正方形ABCD中,已知點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC的延長線上,且DE=CF,連接BE、AF相交于點(diǎn)P.
(1)試說明:AF=BE;
(2)求∠BPF的度數(shù).
再把這兩條直線的位置加以改變,同時(shí)添加垂直的條件,證明它們相等.
變題2:如圖10,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),且MP⊥NQ,MP與NQ是否相等?并說明理由.
圖8
圖9
圖10
圖11
繼續(xù)由直線位置改變?yōu)樗膫€(gè)點(diǎn)的位置,并轉(zhuǎn)化成面積問題.
變題3:如圖10,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),AM=BN=CP=DQ,連接MP,NQ,交點(diǎn)為O.
(1)求證:MP⊥NQ,MP=NQ;
(2)將正方形ABCD沿線段MP、NQ剪開,再把得到的四個(gè)四邊形按圖11所示的方式拼接成一個(gè)四邊形,若正方形ABCD的邊長為3cm,MA=NB=PC=QD=1cm,則圖11中陰影部分的面積為_____cm2.
最后借助垂直條件,將其改編成一道綜合性強(qiáng)的幾何題.
變題4:如圖12,正方形ABCD中,E、F分別為邊AD、DC上的點(diǎn),且AE=FC,過點(diǎn)F作FH⊥BE,交AB于點(diǎn)G,連接BF,DH,求證:
(1)∠BGF=∠CFB;
圖12
解題思路:(1)由BE⊥GF可知BE=GF,又由AE=CF可證BE=BF,所以GF=BF,則∠BGF=∠ABF.又由AB∥DC得∠ABF=∠CFB,從而得出結(jié)論.
(2)由于出現(xiàn)了線段和,可以延長HE到點(diǎn)M,使EM= HF,連接DM,證△DEQ≌△DFH,從而得到△QDH為等腰直角三角形,結(jié)論得證.