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從一道高考題談復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計

浙江省寧波市北侖區(qū)柴橋中學(xué)(315809)徐澤繞

1.問題提出

2015年高考浙江省理科數(shù)學(xué)第18題為：

(1)求tanC的值;

(2)若ΔABC的面積為3，求b的值.

該題是一個常規(guī)的解三角形問題，應(yīng)該是一個送分題，但根據(jù)筆者所在學(xué)校學(xué)生反映第一小題的解答并不順利，甚至個別學(xué)生有一種無從下手的感覺.無獨有偶，2011學(xué)年寧波市高一第二學(xué)期期末測試中的最后一道填空題，如下：

仔細(xì)對比一下兩題，簡直如出一轍，而且問2在這屆學(xué)生高一的時候作為模擬試卷已經(jīng)做過，為什么過了兩年，經(jīng)歷高三的幾輪復(fù)習(xí)還是會有問題呢？是不是我們的復(fù)習(xí)出現(xiàn)了問題？是不是我們太注重解題的技巧，太注重歸納題目的類型了呢？經(jīng)過認(rèn)真反思筆者認(rèn)為，這應(yīng)該是一種數(shù)學(xué)思想方法的缺失，數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題的真諦還沒有被我們的學(xué)生真正領(lǐng)會，導(dǎo)致的后果是，教師講了無數(shù)遍，學(xué)生按圖索驥，不斷模仿，并沒有真正理解和掌握這類題的本質(zhì).每次碰到都是一種新面孔，每次碰得跌跌撞撞，甚至答完題自己還云里霧里不知為何這么答.這種現(xiàn)象對我們高一階段的復(fù)習(xí)和以后的學(xué)習(xí)都有很好的警示作用.恰逢高一剛好又是期末階段，正余弦定理還是必考內(nèi)容.因此為了讓學(xué)生能站在理論的高度，在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下找到解題方法，筆者設(shè)計了一堂正余弦定理復(fù)習(xí)課.期盼同行斧正.

2.知識回顧確定目標(biāo)

正余弦定理是解三角形的兩大利器.其分別可以解決以下四類最基本問題：①已知兩角和一邊；②已知兩邊和其中一邊的對角；③已知兩邊和其夾角；④已知三邊.只要符合上述四類情況必能求解三角形，而且已知三角形涉及三個角和三條邊六個量，在上述四種情況下顯然已知三個量就可以求出另外三個量(已知三個角除外)，這種“知三求三”的解法就是解方程的思想，而且我們知道一個公式就是一個方程，有公式的地方必然有方程.帶著方程的思想去解題，這就是本節(jié)課的第一個目標(biāo).那么在上述條件不滿足，即已知條件不夠的情況下呢？顯然不能求值，不能求值的情況下往往是求最值或者范圍，那么如何求范圍呢？首先我們想到的是函數(shù)，因此在函數(shù)思想的指導(dǎo)下解題是這節(jié)課的第二個目標(biāo).

3.思想引領(lǐng)變式探究

反思總結(jié)：通過上例和幾種變式感受到題目中最大的特征就是只給了兩個條件，即“一邊一角”.不符合解三角形的四種基本類型.進(jìn)而體會運用函數(shù)的思想求解三角形中的范圍和最值問題，那么根據(jù)“一邊一角”我們只得到一個方程，即c2=3=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,若要解三角形還應(yīng)補上什么樣的條件呢？于是有：

設(shè)計意圖：加上一邊a=2，在a2+b2-ab=3基礎(chǔ)上已知a就很容易求得b，也就是轉(zhuǎn)化為“兩邊及其一邊對角”問題求解，當(dāng)然也可去掉c這條邊，補上a,b轉(zhuǎn)化為上述四種類型中的“兩邊夾角”問題求解.除了再補成解三角形的四種基本類型即變式(5)，變式(6)以外，還可運用方程思想再列出關(guān)于a和b的另外一個式子，從而獲解.這樣又可得以下一系列變式題.

4.問題解決

通過以上的變式，再來看問1.

當(dāng)三角形三條邊中只涉及兩個方程時雖然解不出方程，但是其中任何一邊都可以表示另外兩邊，換言之由三條邊的比例可以得到，同樣也能求出三個角的三角函數(shù)值，但可以肯定任何一條邊都不可能求得.

5.一點感言

實際教學(xué)中我們經(jīng)常會碰到這樣的現(xiàn)象，每到期中、期末復(fù)習(xí)，我們會發(fā)下很多針對性的練習(xí)，來應(yīng)對兄弟學(xué)校的統(tǒng)測和地區(qū)性統(tǒng)測等，希望通過大量的訓(xùn)練題來提高學(xué)生的應(yīng)試水平，從而取得好成績.每當(dāng)這時往往出現(xiàn)學(xué)生做題做得叫苦連天，老師練習(xí)講得也厭倦疲乏，考完以后轉(zhuǎn)入下一模塊學(xué)習(xí)時，學(xué)生早已忘了不知學(xué)的什么東西現(xiàn)象.長此以往，教師身心疲憊，學(xué)生學(xué)而生厭，嚴(yán)重抑制了創(chuàng)新精神和后續(xù)學(xué)習(xí)的能力，這對師生都是一種“摧殘”.筆者認(rèn)為，題是做不完，也講不完的，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)該讓他們站在理論的高度來看待解題問題，而運用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題則是讓學(xué)生掌握解題方法的理論武器，值得我們在平時的教學(xué)中去探索與加強.