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“充要條件”在數(shù)學(xué)求解中的錯(cuò)例分析

山東省泰安寧陽(yáng)一中(271400)林令強(qiáng)

數(shù)學(xué)題目中的求解(證)結(jié)果是題目條件的必要不充分條件或者是充要條件.當(dāng)題目中的求解(證)結(jié)果是題目給出的條件的必要不充分條件時(shí)，題目求解(證)結(jié)果只是由題目條件推出的多個(gè)結(jié)果之一，并未完整地表達(dá)出題目條件所具有的性質(zhì).當(dāng)題目中的求解(證)結(jié)果是題目給出的條件的充要條件時(shí)，結(jié)果則完整地表達(dá)了題目條件所具有的性質(zhì).若我們求解(證)的題目結(jié)果是條件的充要條件，在求解時(shí)，要么保證解題過(guò)程等價(jià)，要么先求出題目條件的必要條件，然后進(jìn)行驗(yàn)證，以保證結(jié)果與條件等價(jià).筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談幾例學(xué)生因?qū)︻}目的求解(證)結(jié)果與題目條件關(guān)系不明確而引發(fā)的錯(cuò)誤，以饗讀者.

錯(cuò)因：f(0)=0是f(x)是奇函數(shù)的必要不充分條件，故得出的結(jié)果不能保證f(x)是奇函數(shù).

正解：解法一(解題過(guò)程等價(jià))

解法二(先求條件的必要條件，再驗(yàn)證)

例2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0，且函數(shù)y=f(x-1)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖像可能是().

錯(cuò)解：由f(x+2)+f(x)=0，可類比得f(x+4)+f(x+2)=0，所以f(x+4)=f(x)，T=4.因?yàn)閥=f(x-1)是奇函數(shù)，即y=f(x-1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱，所以y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱.故選D.

錯(cuò)因：f(x+2)+f(x)=0能推出T=4，但T=4推不出f(x+2)+f(x)=0，即T=4是f(x+2)+f(x)=0的必要不充分條件，所以由T=4推出的函數(shù)圖像并不能完整的表達(dá)f(x+2)+f(x)=0所具有的性質(zhì).

正解：解法一(解題過(guò)程等價(jià))

函數(shù)y=f(x-1)是奇函數(shù)，所以f(-x-1)=-f(x-1)，由f(x+2)=-f(x)得-f(x-1)=f(x+1)，所以f(-x-1)=f(x+1)，所以f(-x)=f(x)，于是得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又由f(x+2)+f(x)=0可類比得f(x+4)+f(x+2)=0，所以f(x+4)=f(x)，T=4，故選A.

解法二(圖像變換)

f(x+2)+f(x)=0，當(dāng)x∈(-2,0)時(shí)，x+2∈(0,2)，因?yàn)闈M足f(x+2)=-f(x)，顯然只有A滿足條件，故選A.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，證明：函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)因：很顯然“a≥1是y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)的必要條件”，解法并沒(méi)有說(shuō)明a≥1能使函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).