羅 垚

（武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院 武漢 430072）

?

平行軸圓柱線圈互感計(jì)算的新方法

羅 垚

（武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院 武漢 430072）

摘要運(yùn)用倒數(shù)距離在圓柱坐標(biāo)中的一種解耦展開公式，提出了以變形Bessel函數(shù)和變形Struve函數(shù)表示的平行軸圓柱線圈互感的新表達(dá)式。隨后進(jìn)一步對(duì)所得表達(dá)式進(jìn)行了漸近展開以利于數(shù)值計(jì)算。數(shù)值計(jì)算表明，變形Bessel函數(shù)和變形Struve函數(shù)的單調(diào)性有利于提高平行軸圓柱線圈的互感計(jì)算效率，尤其對(duì)于徑向較厚的扁線圈或圓盤線圈。相對(duì)于同樣準(zhǔn)確度的計(jì)算結(jié)果，提出的方法較已有的方法快1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，而這些已有方法采用的是振蕩的Bessel和Struve函數(shù)。最后，對(duì)于共面圓環(huán)提出了一種以Gauss超幾何函數(shù)表達(dá)的閉式解，該解的正確性亦由數(shù)值計(jì)算確認(rèn)。

關(guān)鍵詞：互感 變形Bessel函數(shù) 漸近展開

0 引言

對(duì)于近年來興起的無線能量傳輸系統(tǒng)，其核心部分大量采用平行軸圓柱線圈[1-3]，而圓柱線圈的互感值是無線能量傳輸效率的重要因素，故準(zhǔn)確而高效的圓柱線圈互感計(jì)算方法具有重要的實(shí)用價(jià)值。文獻(xiàn)[4]中已有近似公式對(duì)這一問題進(jìn)行處理，但這些公式較為復(fù)雜且準(zhǔn)確度不高，求解時(shí)往往需要借助專門繪制的曲線和數(shù)表。此外，純數(shù)值方法（FEM，BEM等）則難以對(duì)電磁場(chǎng)問題進(jìn)行逆向求解（例如給定互感值求線圈的幾何參數(shù)），因而對(duì)圓柱線圈互感問題的解析或半解析處理是極為必要的。在無線能量傳輸系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，兩互感線圈不可能總保持同軸，對(duì)此一般采用文獻(xiàn)[5]中給出的平行軸圓柱線圈計(jì)算公式。在文獻(xiàn)[5]中，圓柱線圈的互感首次以Bessel函數(shù)Jn（x）及Struve函數(shù)Hn（x）準(zhǔn)確解出。此法將兩圓柱線圈的相對(duì)方位分為三種情況并得出了五個(gè)不同的公式來完整描述兩個(gè)線圈相對(duì)方位的所有可能情形。此法比以往任何公式都更為簡(jiǎn)潔，并尤其適用于求解具有較小徑向參數(shù)和較大軸向參數(shù)的線圈互感。兩線圈各幾何參數(shù)如圖1所示。

圖1　平行軸矩形截面圓柱線圈側(cè)視圖，兩線圈匝數(shù)分別為N1、N2，線圈徑向參數(shù)為R1～R4及r0,軸向參數(shù)為2h1、2h2和z0Fig.1 Side view of two circular coils of rectangular cross section,with the turns of N1and N2,respectively,the radial parameters of R1～R4and r0,the axial parameters of 2h1,2h2and z0

然而，由于文獻(xiàn)[5]中方法的被積函數(shù)的徑向參數(shù)依賴于非周期振蕩函數(shù)Jn（kr）及Hn（kr），而其軸向參數(shù)依賴于指數(shù)衰減函數(shù)e-kh及e-kz0，故此法并不適用于求解具有較大徑向參數(shù)和較小軸向參數(shù)的線圈互感，但在實(shí)際應(yīng)用中，具有這種幾何特性的線圈（例如圓盤線圈）是被廣泛應(yīng)用的。同時(shí)，若考慮在實(shí)軸上單調(diào)的變形Bessel函數(shù)In（x）、Kn（x）以及變形Struve函數(shù)Ln（x），則此種單調(diào)性可能有助于互感數(shù)值積分的計(jì)算。推導(dǎo)以下這種以變形Bessel函數(shù)和變形Struve函數(shù)表示出的互感表達(dá)式并將其計(jì)算性能與已有方法進(jìn)行比較。本文所用到的特殊函數(shù)見表1。

表1　本文用到的特殊函數(shù)Tab.1 Special functions applied

1 含變形Bessel函數(shù)的互感積分公式

限于篇幅，本文在以下推導(dǎo)中僅列出主要步驟。首先考慮兩平行軸圓環(huán)，其半徑分別為r1、r2，分別位于相距z0的平行平面上，且它們的軸間距離為r0。它們之間的互感為[5]

式中，μ0＝4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率。為了將式（1）寫為含變形Bessel函數(shù)In（x）和Kn（x）的表達(dá)式，現(xiàn)運(yùn)用倒數(shù)距離展開[6]

式中

且

式中，εn為Neumann因子。在經(jīng)過一些計(jì)算之后可將式（1）的互感表達(dá)式變?yōu)?/p>

或

式（5）、式（6）是以下推導(dǎo)各類圓柱線圈互感公式的基礎(chǔ)。

現(xiàn)有兩平行軸單層圓柱線圈（螺線管），其半徑為r1、r2，其他線圈參數(shù)可參考圖1。為了計(jì)算這兩個(gè)線圈間的互感，令式（1）、式（5）和式（6）中的軸向參數(shù)，并對(duì)z1、z2積分，在簡(jiǎn)單的計(jì)算之后可得表達(dá)式

（1）對(duì)r0≥r1＋r2

（2）對(duì)0≤r0≤r2-r1

（3）對(duì)z0≥h1＋h2

式（7）～式（9）與文獻(xiàn)[7]中給出的結(jié)果一致。兩平行軸螺線管的互感即可由式（7）～式（9）的數(shù)值積分求得。

設(shè)有兩平行軸圓盤線圈，它們可視為h1＝h2＝0的圓柱線圈，其他線圈參數(shù)如圖1所示。為了計(jì)算這兩個(gè)線圈間的互感，對(duì)式（1）、式（5）和式（6）的徑向參數(shù)r1、r2積分并運(yùn)用式（10）～式（12）進(jìn)行積分。

于是可得

（1）對(duì)r0≥R2＋R4

（2）對(duì)0≤r0≤R3-R2

（3）對(duì)徑向參數(shù)無任何限制的圓盤線圈

式（12）、式（13）即為含有變形Bessel函數(shù)與變形Struve函數(shù)的互感表達(dá)式。式（15）與文獻(xiàn)[5]中給出的結(jié)果一致。兩平行軸圓盤線圈的互感即可由式（13）～式（15）的數(shù)值積分求得。

設(shè)有兩矩形截面圓柱線圈，其線圈參數(shù)如圖1所示。為了計(jì)算這兩個(gè)線圈間的互感，令式（1）、式（5）和式（6）中的軸向參數(shù)，并對(duì)z1、z2積分，再對(duì)徑向參數(shù)r1、r2積分，并由式（10）～式（12），可得

（1）對(duì)r0≥R2＋R4

（2）對(duì)0≤r0≤R3-R2

（3）對(duì)z0≥h1＋h2

兩平行軸矩形截面圓柱線圈的互感即可由式（16）～式（18）的數(shù)值積分求得。進(jìn)一步注意變形Bessel函數(shù)I0,1（x）、K0,1（x）及變形Struve函數(shù)L0,1（x）的非振蕩特性。實(shí)際上，若n≥0，在整個(gè)正實(shí)軸0 ＜x＜∞上，In（x）及Ln（x）均單調(diào)增加而Kn（x）呈指數(shù)型單調(diào)遞減。因而對(duì)比文獻(xiàn)[5]中的表達(dá)式，此處將J0,1（x）、H0,1（x）復(fù)雜的振蕩性質(zhì)轉(zhuǎn)移到振蕩性質(zhì)非常簡(jiǎn)單的三角函數(shù)上，這種轉(zhuǎn)移將有利于數(shù)值積分的實(shí)行。對(duì)兩共面圓環(huán)z0＝0，式（5）或式（6）可被進(jìn)一步求積為閉式

式中

且

或有

式中

且

式（19）～式（21）與文獻(xiàn)[8]中給出的結(jié)果一致，適用于r0＞r1＋r2的情形。式（22）～式（24）則由本文首次給出，適用于0≤r0＜r2-r1的情形。另外，式（19）及式（22）的解析延拓亦適用于軸向參數(shù)重疊的情形，即當(dāng)r2-r1＜r0＜r1＋r2時(shí)它們的實(shí)部均收斂于積分式（1）的值。

2 對(duì)以上結(jié)果的漸近處理

為了加快平行軸圓柱線圈的互感積分求積速度，已得到含有變形Bessel函數(shù)和變形Struve函數(shù)的互感積分表達(dá)式。然而在大多數(shù)通用數(shù)值計(jì)算軟件（如Matlab、Mathematica）中，對(duì)Struve函數(shù)Hn（x）和變形Struve函數(shù)Ln（x）并未進(jìn)行優(yōu)化處理。為了進(jìn)一步提高互感積分的數(shù)值計(jì)算速度，現(xiàn)對(duì)式（10）～式（12）中引入的函數(shù)u、v和w進(jìn)行漸近近似。

若x≥0，則對(duì)x→∞有[9]

當(dāng)ν＝n，n為整數(shù)時(shí)，有[9]

因此

從而得到當(dāng)k→∞時(shí)

同理，當(dāng)k→∞時(shí)可得

類似地，可由x→∞時(shí)

得到當(dāng)k→∞時(shí)

式（29）、式（30）和式（32）中的級(jí)數(shù)收斂很快，取前p項(xiàng)時(shí)，余項(xiàng)誤差為，n＝0,1。在以下對(duì)第1節(jié)推出的廣義積分進(jìn)行數(shù)值求積時(shí)，對(duì)被積參數(shù)k較大的區(qū)間可由式（29）、式（30）和式（32）對(duì)被積函數(shù)中的u、v和w進(jìn)行代換。這一漸近處理將使數(shù)值計(jì)算速度進(jìn)一步提高并保證所需計(jì)算的準(zhǔn)確度。

3 數(shù)值計(jì)算

式（7）～式（9）的正確性已被文獻(xiàn)[7]中的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，故此處不再對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。首先對(duì)平行軸圓盤線圈互感公式（13）～式（15）進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。計(jì)算平臺(tái)為CPU工作頻率3.4GHz的個(gè)人計(jì)算機(jī)。兩線圈參數(shù)取為：R1＝0.5m，R2＝1m，R3＝1.5m，R4＝2m，該計(jì)算將對(duì)歸一化互感值M/（N1N2）實(shí)行。計(jì)算時(shí)令漸近展開式中p＝9。結(jié)果見表2。ta、tb分別為文獻(xiàn)[5]方法和本文所述方法得出表2第三列同一結(jié)果時(shí)的計(jì)算耗時(shí)。由該表可見本文所述方法在絕大多數(shù)情況下比文獻(xiàn)[5]方法快，在r0較大的情況下可比文獻(xiàn)[5]方法快1個(gè)數(shù)量級(jí)。另外，表2也顯示在r0較小而z0較大的情形，文獻(xiàn)[5]方法更為適用，因在此種情形文獻(xiàn)[5]中公式所含因子e-kz0將迅速衰減從而加快數(shù)值積分速度。

表2　本文方法與文獻(xiàn)[5]中方法對(duì)兩平行軸圓盤線圈互感的計(jì)算性能比較Tab.2 Performance of the mutual inductance for two disk coils of parallel axes evaluated with the proposed method and that in Ref.[5]

（續(xù)）

表3　本文方法與文獻(xiàn)[5]中方法對(duì)兩平行軸矩形截面圓柱線圈互感的計(jì)算性能比較Tab.3 Performance of the mutual inductance for two short thick coils evaluated with the proposed method and that in Ref.[5]

（續(xù)）

接下來驗(yàn)證兩平行軸矩形截面圓柱線圈互感表達(dá)式（16）～式（18）的正確性。計(jì)算如下兩線圈間的互感：R1＝0.1m，R2＝0.3m，R3＝0.5m，R4＝0.8m，h1＝0.02m，h2＝0.01m。該計(jì)算亦將對(duì)歸一化互感值M/（N1N2）實(shí)行。計(jì)算結(jié)果見表3。ta、tb分別為文獻(xiàn)[5]方法和本文所述方法得出表3第三列同一結(jié)果時(shí)的計(jì)算耗時(shí)。另外，式（16）～式（18）的適用參數(shù)范圍有互相重疊的部分，在這種重疊情形下，ta為含Bessel函數(shù)的式（18）的計(jì)算耗時(shí)，而tb則為含變形Bessel函數(shù)的式（16）或式（17）的計(jì)算耗時(shí)。由該表可見，對(duì)徑向較厚的扁線圈，本文所述方法在絕大多數(shù)情況下比文獻(xiàn)[5]中方法快，在r0較大的情況下可比文獻(xiàn)[5]中方法快2個(gè)數(shù)量級(jí)。

共面圓環(huán)互感閉式解式（19）、式（22）與式（1）的比較見表4。取R1＝1m、R2＝2m。當(dāng)1m＜r0＜3m時(shí)去掉了式（19）或式（22）所得結(jié)果的虛部。結(jié)果顯示本文方法與已有方法的計(jì)算結(jié)果完全一致，也表明了本文閉式解的解析延拓的正確性。式（19）、式（22）的計(jì)算幾乎在瞬間完成，因此不需要進(jìn)一步比較其計(jì)算耗時(shí)。

表4　本文共面圓環(huán)互感閉式解與文獻(xiàn)[5]中方法的比較Tab.4 Mutual inductance of the coplanar circular loops evaluated with the proposed method compared to that in Ref.[5]

4 結(jié)論

若兩平行軸圓柱線圈的徑向參數(shù)較大而軸向參數(shù)較小，則以已有的Bessel函數(shù)及Struve函數(shù)積分計(jì)算其互感時(shí)將非常耗時(shí)。然而，對(duì)于線圈徑向參數(shù)未重疊的情形，運(yùn)用變形Bessel函數(shù)及變形Struve函數(shù)的單調(diào)性可以得到一種高速高準(zhǔn)確度的互感計(jì)算方法，此法特別適用于兩線圈的軸間距離大于它們外半徑之和（r0＞R2＋R4）的情形。數(shù)值計(jì)算實(shí)例表明，本文所述方法在多數(shù)情況下可將計(jì)算效率提高1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，并保持很高的準(zhǔn)確度。若對(duì)以上互感積分的被積函數(shù)Hn（x）與Ln（x）進(jìn)行漸近處理，則其數(shù)值計(jì)算速度可以進(jìn)一步提高，同時(shí)保證很高的計(jì)算準(zhǔn)確度。另外，本文方法對(duì)矩形截面圓柱線圈的互感僅需三個(gè)公式即可包括這兩個(gè)線圈之間所有的相對(duì)方位，相比而言，文獻(xiàn)[5]則需要五個(gè)公式。該方法可以視為對(duì)已有的圓柱線圈互感計(jì)算方法的一個(gè)補(bǔ)充，即對(duì)于軸向參數(shù)較大而徑向參數(shù)較小的線圈（螺線管），宜采用文獻(xiàn)[5]的方法計(jì)算互感；而對(duì)軸向參數(shù)較小而徑向參數(shù)較大的線圈（圓盤線圈），宜采用本文提出的方法來計(jì)算互感。

致謝：Norway Agder University的J.Conway教授對(duì)本文用到的漸近展開式提出了非常寶貴的指導(dǎo)和建議，本文作者在此對(duì)其表示衷心的謝意。

參考文獻(xiàn)

[1]Raju S,Wu R,Chan M,et al.Modeling of mutual coupling between planar inductors in wireless power applications[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2014,29（1）:481-490.

[2]Acero J,Carretero C,Lope I,et al.Analysis of the mutual inductance of planar-lumped inductive power transfer systems[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2013,60（1）:410-419.

[3]Low Z N,Chinga R A,Tseng R,et al.Design and test of a high-power high-efficiency loosely coupled planar wireless power transfer system[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2009,56（5）:1801-1812.

[4]卡蘭塔羅夫П Л,采伊特林Л А.電感計(jì)算手冊(cè)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1992.

[5]Conway J T.Inductance calculations for circular coils of rectangular cross section and parallel axes using Bessel and Struve functions[J].IEEE Transactions on Magnetics,2010,46（1）:75-81.

[6]Buchholz H.Elektrische und magnetische Potentialfelder[M].Gottingen:Springer,1957.

[7]Hannakam L.Berechnung der Gegeninduktivitat achsenparalleler Zylinderspulen[J].Archiv für Elektrotechnik,1967,51（5）:141-154.

[8]Hannakam L.Praktische Berechnung der gegeninduktivitat zweier kreisf?rmigen Leiterschleifen in allgemeiner Lage[J].Archiv für Elektrotechnik,1980,62（1）:351-357.

[9]Abramowitz M,Stegun I.Handbook of mathematical functions with formulas,graphs,and mathematical tables[M].Washington D C:National Bureau of Standards,1972.

[10]Conway J T.Analytical solutions for the self-and mutual inductances of concentric coplanar disk coils[J].IEEE Transactions on Magnetics,2013,49（3）:1135-1142.

[11]Yao Luo,Chen Baicao.Improvement of selfinductance calculations for circular coils of rectangular cross section[J].IEEE Transactions on Magnetics,2013,49（3）:1249-1255.

[12]Babic S,Sheppard S,Akyel C.The mutual inductance of two thin coaxial disk coils in air[J].IEEE Transactions on Magnetics,2004,40（2）:822-825.

[13]Conway J T.Inductance calculations for noncoaxial coils using Bessel functions[J].IEEE Transactions on Magnetics,2007,43（3）:1023-1034.

[14]羅垚,陳柏超,袁佳歆，等.傾斜軸空心矩形截面圓柱線圈互感計(jì)算[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2012,27（5）:132-136.Luo Yao,Chen Baichao,Yuan Jiaxin，et al.Mutual inductance calculations of inclined axial air-core circular coils with rectangular cross-sections[J].Transactions of China Electrotechnical Sosiety,2012,27（5）:132-136.

[15]羅垚,陳柏超.空心矩形截面圓柱線圈自感計(jì)算的新方法[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2012,27（6）:1-5.Luo Yao,Chen Baichao.New method for selfinductance calculations of air-core circular coils with rectangular cross-sections[J].Transactions of China Electrotechnical Sosiety,2012,27（6）:1-5.

[16]Haas H.Ein Beitrag zur Berechnung der Gegeninduktivit?t koaxialer Zylinderspulen[J].Archiv für Elektrotechnik,1975,57（1）:21-26.

[17]Babic S,Sirois F,Akyel C,et al.Mutual inductance calculation between circular filaments arbitrarily positioned in space:alternative to Grover’s formula[J].IEEE Transactions on Magnetics,2010,46（9）:3591-3600.

[18]Watson G N.A Treatise on the theory of bessel functions[M].Cambridge,U.K.:Univ.Press,1944.

[19]Prudnikov A P,Brychkov Y A,Marichev O I.Integrals and series[M].New York:Gordon and Breach,1992.

羅 垚 男，1983年生，博士后，主要研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)解析計(jì)算。

E-mail:ostpreussen@qq.com（通信作者）

New Approach for the Mutual Inductance Calculations of the Circular Coils with Parallel Axes

Luo Yao
（School of Power and Mechanical Engineering Wuhan University Wuhan 430072 China）

AbstractA method for calculating the mutual inductance of circular coils with parallel axes is presented by using the modified Bessel and modified Struve functions,which is obtained by the expansion expressions of the reciprocal distance in the cylindrical coordinates.The obtained expressions are further coped with the asymptotic expansions to facilitate the numerical calculations.The monotonicity of the modified Bessel and Struve functions is beneficial to the numerical evaluations of the improper integral,especially in the case of short thick coils or disk coils with large radial distance and small axial distance.The proposed method is several tens to hundreds times faster than the existing method using the oscillatory Bessel and Struve functions,with the same accuracy.Additionally,a closed-form solution of the mutual inductance for coplanar circular loops is given using the Gauss hypergeometric functions,and it is verified by numerical calculations.

Keywords：Mutual inductance,modified Bessel functions,asymptotic expansion

作者簡(jiǎn)介

收稿日期2014-01-03 改稿日期 2014-04-21

中圖分類號(hào)：TM12；TM153