劉明雍, 張小件, 李洋

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,陜西 西安　710072)

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基于非線性收斂因子的Terminal滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

劉明雍, 張小件, 李洋

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,陜西 西安710072)

摘要：水下動(dòng)能武器在末端時(shí)刻攻擊目標(biāo)具有作戰(zhàn)范圍小,時(shí)間短的特性。傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律通常選取線性滑動(dòng)平面,收斂速度慢,對收斂時(shí)間沒有約束,不能滿足系統(tǒng)快速收斂到平衡狀態(tài)。針對這一問題,提出一種改進(jìn)的Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制方法,通過引入非線性因子,使系統(tǒng)跟蹤誤差快速收斂到零,保證系統(tǒng)以期望的有限時(shí)間收斂到平衡狀態(tài)。采用Terminal滑模面結(jié)合指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)有限時(shí)間快速收斂制導(dǎo)律,該制導(dǎo)律即能滿足系統(tǒng)快速性收斂要求,又能離線計(jì)算收斂時(shí)間。理論分析表明:所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求,并仿真驗(yàn)證了其快速收斂的有效性,較傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)方法收斂速度更快,具有更強(qiáng)的魯棒性。

關(guān)鍵詞：Terminal滑模面；變結(jié)構(gòu)控制；制導(dǎo)律；動(dòng)能武器

當(dāng)今乃至未來的海戰(zhàn)是一個(gè)水下武器對抗的時(shí)代,為了提高自身的安全性,針對外來的攻擊,各國海軍競相發(fā)展出了攻擊或攔截外來武器的動(dòng)能武器[1]。水下動(dòng)能武器具有體積小、速度高、攻擊距離短、制導(dǎo)系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間短等特點(diǎn),要求制導(dǎo)武器系統(tǒng)要有快速的系統(tǒng)收斂及直接命中目標(biāo)的特性。

當(dāng)制導(dǎo)武器攻擊目標(biāo)時(shí),不僅希望系統(tǒng)能夠快速收斂到平衡狀態(tài),以便有足夠的時(shí)間應(yīng)對目標(biāo)機(jī)動(dòng);同時(shí)希望獲得較小的脫靶量,以直接命中目標(biāo),達(dá)到毀傷的效果。因此,本文在設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的過程中主要考慮兩方面的因素:有限時(shí)間收斂和脫靶量為零。有限時(shí)間收斂能夠保證系統(tǒng)快速響應(yīng)目標(biāo)機(jī)動(dòng);脫靶量為零能夠保證直接命中目標(biāo),獲得最大的毀傷效果。

有限時(shí)間收斂即制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)作為制導(dǎo)武器實(shí)現(xiàn)攻擊目標(biāo)的一個(gè)重要研究方面。以往學(xué)者對有限時(shí)間收斂做了不少的研究工作。其中,文獻(xiàn)[2]提出了一種時(shí)間收斂的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,該制導(dǎo)律能夠保證系統(tǒng)在攻擊目標(biāo)末端命中時(shí)刻收斂到平衡狀態(tài)。文獻(xiàn)[3]對二階非線性不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)滑模面,保證了輸出跟蹤誤差有限時(shí)間收斂到零。文獻(xiàn)[4]針對不確定非線性系統(tǒng)提出了動(dòng)態(tài)滑?？刂?保證了系統(tǒng)在一定時(shí)間內(nèi)收斂。以上文獻(xiàn)[3-4]都需要跟蹤誤差模型具有二階甚至高階連續(xù)可導(dǎo),且有限時(shí)間“較長”。另外,根據(jù)滑模面的收斂特性,有學(xué)者們提出了在滑模面中引入非線性項(xiàng)以提高系統(tǒng)的收斂特性,縮短收斂時(shí)間[5]。文獻(xiàn)[6]從碰撞時(shí)間入手,提出基于非線性理論設(shè)計(jì)的滿足碰撞時(shí)間的制導(dǎo)律,該制導(dǎo)律不同于以遞歸和數(shù)值解的方法求解碰撞時(shí)間,而是通過反饋閉環(huán)系統(tǒng)求出精確的碰撞時(shí)間,對于具有延遲的制導(dǎo)與控制系統(tǒng)達(dá)到了較好的估計(jì)、補(bǔ)償效果。文獻(xiàn)[7]綜合考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性及系統(tǒng)的不確定性,提出一種時(shí)間收斂的制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律通過在有限的時(shí)間內(nèi)估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息,然后根據(jù)估計(jì)獲得的目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息設(shè)計(jì)滿足時(shí)間收斂的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。一定程度上補(bǔ)償了由自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性和系統(tǒng)不確定性帶來的誤差。文獻(xiàn)[8]通過改變Terminal滑模面的非線性項(xiàng),避免了奇異點(diǎn)的出現(xiàn)。

在本文中,從系統(tǒng)快速收斂這一角度提出了一種基于非線性收斂因子的Terminal 滑?？刂浦茖?dǎo)律,通過引入非線性因子,改變滑模面參數(shù),保證制導(dǎo)系統(tǒng)能夠在期望的有限時(shí)間內(nèi)以任意初始狀態(tài)收

斂到平衡狀態(tài),并且收斂時(shí)間能夠通過滑模參數(shù)離線計(jì)算出來。結(jié)合本文的滑模面推導(dǎo)出了動(dòng)能武器末端制導(dǎo)律,通過仿真分析該制導(dǎo)律能夠以期望的有限時(shí)間使制導(dǎo)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài),從而直接命中目標(biāo),而且對外界干擾具有很強(qiáng)魯棒性。

1問題描述

水下動(dòng)能武器在攻擊或攔截目標(biāo)時(shí),由于主要是靠動(dòng)能毀傷,要求動(dòng)能武器能直接命中目標(biāo)。而在攻擊目標(biāo)的過程中,目標(biāo)可能存在機(jī)動(dòng),要求動(dòng)能武器具有應(yīng)對目標(biāo)機(jī)動(dòng)的快速收斂方法。即主要從脫靶量和收斂時(shí)間對本文制導(dǎo)律進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。

考慮到彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系。彈目相對運(yùn)動(dòng)方程可以解耦為俯仰平面和偏航平面的2個(gè)分量運(yùn)動(dòng),本文只考慮俯仰平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng),如圖1所示。

圖1　彈目相對運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖

假設(shè)動(dòng)能武器速度和目標(biāo)速度均為常量,分別為vm、vt,且動(dòng)能武器速度大于目標(biāo)速度。其中θm、θt分別為動(dòng)能武器與目標(biāo)的航向角;σ為視線角,即二維平面內(nèi)攔截器與視線角之間的連線與水平方向上的夾角,其變化率為零表明動(dòng)能武器能夠擊中目標(biāo)。

根據(jù)彈目相對幾何關(guān)系可知

(1)

(2)

(3)

式中：r(t)為動(dòng)能武器與目標(biāo)相對距離,u=aA(t)為動(dòng)能武器控制輸入,即本文要設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律;at為目標(biāo)過載,這里可視為干擾。

(4)

2有限時(shí)間收斂

2.1有限時(shí)間收斂概念

對于非線性系統(tǒng):

(5)

式中，f:U0×R→Rn在U0×R上連續(xù),且U0為原點(diǎn)x=0的一個(gè)開鄰域,f(0,t)=0。系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0有限時(shí)間收斂,對于任意給定的初始時(shí)刻t0所對應(yīng)的初始狀態(tài)x(t0)=x0∈U,存在一個(gè)依賴于x0的時(shí)間T≥t0,使得系統(tǒng)方程以x0為初始狀態(tài)的解x(t)=φ(t:t0,x0)有定義,并且:

(6)

當(dāng)時(shí)間t∈[t0,T)時(shí),φ(t:t0,x0)∈U/0。此系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0有限時(shí)間穩(wěn)定,是指它是Lyapunov穩(wěn)定和在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域U∈U0內(nèi)有限時(shí)間收斂。如果U=Rn,那么系統(tǒng)在全局范圍內(nèi)有限時(shí)間收斂[9]。

2.2Terminal滑模面

傳統(tǒng)滑模面收斂特性主要取決于趨近律的選取,且沒有時(shí)間約束,并存在很大抖動(dòng),不能滿足系統(tǒng)快速性收斂的要求,同時(shí)抖動(dòng)給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來一定影響。為此,基于傳統(tǒng)滑模面原理,有學(xué)者在滑模面種引入非線性項(xiàng),以改變系統(tǒng)的收斂特性[10]:

若定義滑模面s1

(7)

其收斂時(shí)間

(8)

滑模面s2

(9)

其收斂時(shí)間

(10)

2.3改進(jìn)的滑模面

為了證明改進(jìn)的滑模面的收斂速度優(yōu)于傳統(tǒng)Terminal滑模面,首先介紹以下定理:

定理1[10]對于非線性系統(tǒng)

(11)

式中。φ(x)在C(-∞,∞)有定義,并滿足φ(x)>-β,且q>p,都為奇整數(shù)。則系統(tǒng)(11)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,且對于任意初始狀態(tài)x(t0)≠0,系統(tǒng)都能在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)。

穩(wěn)定性證明

令

命題1 假設(shè)φ(x)在c(-∞,∞)有定義,并滿足φ(x)≥0。當(dāng)|x|≥1時(shí),如果φ(x)≥

α|x|(q-p)(1+ε)/q(其中q>p>0,且都為奇整數(shù); α,β,ε>0)。對于任意初始狀態(tài)x(t0)≠0,系統(tǒng)(11)有限時(shí)間穩(wěn)定,且對于任意初始狀態(tài)x(t0)收斂時(shí)間是有界的。

證明從定理1可以明顯得出系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的,下面主要考慮收斂時(shí)間。

由φ(x)≥α|x|(q-p)(1+ε)/q可知

(12)

令x=yq/(q-p),則

(13)

定義

當(dāng)|x|>1時(shí)

(14)

證畢,即系統(tǒng)有限時(shí)間收斂。

3制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)前文分析,選取滑模面

(15)

式中，m>n>0,q>p>0,且都為奇整數(shù);α,β,γ>0。

取趨近律:

(16)

式中，k1,k2>0。

對(15)式進(jìn)行微分得:

(17)

結(jié)合(4)式、(16)式及(17)式可得制導(dǎo)律表達(dá)式

(k1s+k2sgn(s))r+at

(18)

4仿真及結(jié)果分析

本節(jié)將比較本文所設(shè)計(jì)的快速Terminal滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律與傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。從目標(biāo)靜止和目標(biāo)機(jī)動(dòng)2種情況進(jìn)行分析。

4.1目標(biāo)靜止

假設(shè)動(dòng)能武器以50 m/s的速度航行攻擊目標(biāo),初始位置M(x0,y0)=M(0,0),初始航向角為0°;目標(biāo)初始位置 T(x0,y0)=T(300,400)。仿真中選擇合適的參數(shù):m=5,n=3,q=3,p=1,α=2,β=0.03,γ=0.1,k1=k2=0.01,仿真步長取0.01s。仿真結(jié)果如圖2～圖4所示(其中實(shí)線表示基于Terminal滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律仿真結(jié)果,虛線表示基于傳統(tǒng)滑模面變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律仿真結(jié)果)。

圖2　動(dòng)能武器運(yùn)動(dòng)軌跡　　　　　　　圖3　視線角變化率曲線圖4　動(dòng)能武器過載隨時(shí)間變化曲線

4.2目標(biāo)機(jī)動(dòng)

假設(shè)動(dòng)能武器以50 m/s的速度航行,初始位置M(x0,y0)=M(0,0),初始航向角為0°;目標(biāo)航行速度30 m/s,初始位置T(x0,y0)=T(300,400),初始航向角為180°,目標(biāo)做10*rand(1)隨機(jī)機(jī)動(dòng)。仿真中各參數(shù)同目標(biāo)靜止時(shí)選取同樣的數(shù)值,仿真步長取0.01 s。仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5為過載隨時(shí)間變化曲線,雖然目標(biāo)處于隨機(jī)機(jī)動(dòng)狀態(tài),動(dòng)能武器在制導(dǎo)律(18)的作用下相應(yīng)進(jìn)行調(diào)整軌跡,以保證命中目標(biāo),但是動(dòng)能武器過載基本穩(wěn)定在某一范圍內(nèi);圖7對應(yīng)的是視線角變化率隨時(shí)間變化曲線,從圖5和圖7中可以看出,攔截器在2 s左右達(dá)到了收斂狀態(tài),較傳統(tǒng)滑?？刂凭哂懈斓氖諗克俣?且抖動(dòng)更小。從圖6運(yùn)動(dòng)軌跡可以看出,本文制導(dǎo)律能隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)做出快速的響應(yīng),為動(dòng)能武器在后期攔截目標(biāo)的過程中提供充足的應(yīng)變時(shí)間。能夠有效攔截目標(biāo)。

圖5　動(dòng)能武器過載變化曲線　　　　　　　圖6　運(yùn)動(dòng)軌跡圖7　視線角變化率隨時(shí)間變化曲線

5結(jié)論

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Nonlinear Convergence Factor Terminal Mode Based Guidance Law Design

Liu Mingyong, Zhang Xiaojian, Li Yang

(College of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:Kinetic weapon attack targets underwater with small range operations, short time features at the end of the time. Traditional linear sliding mode control guidance law can not meet the system in a finite time fast convergence to equilibrium requirements, that can not ensure attacking the target effectively. To solve the problem, this paper proposes an improved Terminal Sliding Mode Control method, guarantee system convergence to equilibrium state in finite time, by introducing nonlinear factor, make the system tracking error converge to zero quickly. By combining with exponential reaching law Terminal sliding mode surface design limited time fast convergent guidance law. The guidance law can ensure that the system convergence to equilibrium fast and calculate convergence time off-line. Theoretical analysis, the designed guidance law can meet the requirements of the system′s stability, and its effectiveness was verified through simulation, and its convergence time is faster than traditional variable structure guidance law, has stronger robustness.

Keywords:Calculations, computer simulation, convergence of numerical methods, design, electronic guidance systems, Lyapunov methods, robustness(control systems), sliding mode control,stability,trajectories, variable structure control; guidance law, Kinetic weapons, terminal sliding mode

中圖分類號：V448.234

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)01-0047-06

作者簡介：劉明雍(1971—)，西北工業(yè)大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要從事航行器制導(dǎo)與控制研究。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51109179、51379176、61473233)資助

收稿日期：2015-10-09