康仁偉， 王俊峰， 程劍鋒， 劉雅晴

(1. 中國鐵道科學(xué)研究院 通信信號研究所，北京 100081；2. 北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044)

ATP車載設(shè)備是保證列車運行安全的關(guān)鍵裝備。全路在用的ATP類型有300T，300S，300H，200H，200C和C3D。隨著設(shè)備本身屬性、走行公里、自然條件等因素的變化，各種類型ATP運行故障率變化趨勢不盡相同。目前，ATP車載設(shè)備備品備件的配置大多依據(jù)經(jīng)驗，各備件配置數(shù)量短期內(nèi)恒定不變，不能隨著設(shè)備故障的變化而動態(tài)調(diào)整。結(jié)果是部分設(shè)備儲備量不足影響故障維修，而部分設(shè)備過多儲備又造成資源浪費。如果能預(yù)測ATP設(shè)備短期內(nèi)的故障趨勢，則可以有針對性地提前采購儲備ATP備件，緩解設(shè)備儲備量不足和過剩的矛盾。 用于短時預(yù)測的方法主要分為基于確定數(shù)學(xué)模型的預(yù)測方法、無明確數(shù)學(xué)模型的預(yù)測方法和組合思想的預(yù)測方法3類[1]。其中，混沌理論屬于無明確數(shù)學(xué)模型的方法，用于研究非線性動力系統(tǒng)的規(guī)律，不需建立主觀模型，直接從數(shù)據(jù)中挖掘隱藏的客觀規(guī)律而進行預(yù)測，預(yù)測精度和可信度均很高[1]?；煦缋碚撘呀?jīng)用于鐵路貨物運量預(yù)測[2-3]，短時交通流的分析和預(yù)測[1,4-5]，股票預(yù)測[6]等多個領(lǐng)域，為數(shù)據(jù)未來的變化趨勢提供了科學(xué)有效的參考依據(jù)。目前對于ATP車載設(shè)備運行故障趨勢的預(yù)測未見相關(guān)文獻。本文采用混沌理論，從ATP設(shè)備歷史故障數(shù)據(jù)的角度，深入挖掘分析故障數(shù)據(jù)的特點，短時預(yù)測ATP設(shè)備的故障趨勢，為合理優(yōu)化配置ATP備品備件提供科學(xué)參考。

1 ATP車載設(shè)備運行故障特點

衡量ATP設(shè)備運用質(zhì)量的一個重要指標(biāo)是百萬公里故障率，即ATP隨著列車運行一百萬公里發(fā)生的故障次數(shù)。圖1為2013年8月至2014年12月，全路6種類型ATP設(shè)備按月統(tǒng)計百萬公里故障率變化趨勢圖。

圖1中，6種設(shè)備類型分別記做A～F，由圖1可得ATP設(shè)備運行故障呈現(xiàn)如下特點：

(1)非線性；(2)動態(tài)時變，某種程度上的隨機性；(3)序列包含ATP車載設(shè)備運行的行為特征；(4)貌似無規(guī)則性。

混沌理論非常適合研究整體呈現(xiàn)確定性，但是又具有某種隨機性的動態(tài)變化系統(tǒng)[7]，吻合ATP設(shè)備的故障特點。因而，用混沌理論對ATP設(shè)備百萬公里故障率一維時間序列進行相空間重構(gòu)，從高維的角度挖掘設(shè)備故障數(shù)據(jù)蘊藏的潛在規(guī)律，短期預(yù)測ATP設(shè)備故障未來的變化趨勢。

2 混沌理論

混沌是確定性的非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的一種貌似隨機的，實際上隱含著潛在規(guī)律的動態(tài)行為。

Li-Yorke混沌定義[7-8]：[a,b]上的連續(xù)自映射f，存在不可數(shù)子集S?[a,b]，若滿足以下條件，則稱其具有混沌特性：

(1)S中無周期點；

(2) 對?x,y∈S，有

(3) 對?x,y∈S，有

(4) 對?x∈S和f的任意周期點y，有

Li-Yorke混沌定義刻畫了混沌系統(tǒng)的3個特征[7]，即非周期、對初始條件的敏感性和有界。

混沌狀態(tài)空間長期動態(tài)行為的幾何形式用吸引子描述，其中，混沌吸引子[8]是軌道不穩(wěn)定和相空間收縮兩種因素共同作用的極限集合。

3 基于混沌理論的ATP設(shè)備故障率預(yù)測

ATP車載設(shè)備百萬公里故障率一維時間序列難以挖掘其潛在規(guī)律，因而將其通過相空間重構(gòu)理論映射到高維空間，然后判斷其是否具有混沌特性。若有，則利用支持向量機模型預(yù)測ATP運行故障短期內(nèi)的變化趨勢。整體思路見圖2。

3.1 相空間重構(gòu)

ATP百萬公里故障率是長度為n的一維時間序列為

X=xi|i=1,2,…,n

( 1 )

以某種類型的ATP設(shè)備為例(以下記做ATP-X)，定義

( 2 )

式中:aj表示第j天全路ATP-X設(shè)備發(fā)生的故障件數(shù)；sj表示第j天全路ATP-X設(shè)備的走行公里。

數(shù)據(jù)統(tǒng)計起始日期為2012年7月1日，結(jié)束日期為2014年12月31日。因為是累積求和再進行計算，隨著時間的遞增，數(shù)據(jù)值相對更穩(wěn)定，剔除前面部分誤差較大的數(shù)據(jù)，選取較穩(wěn)定的數(shù)據(jù)作為樣本，即X={0.443 306, 0.441 469, 0.439 659,…}，樣本容量n=717，其時間序列見圖3。

圖3中縱坐標(biāo)表示隨著時間推移的序列個數(shù)，可見，ATP-X的百萬公里故障率整體呈下降趨勢，局部在小范圍內(nèi)波動。

除此之外，很難再得到ATP-X百萬公里故障率的其他變化規(guī)律。因而，將百萬公里故障率一維時間序列擴展到高維空間，且保證高維空間與原百萬公里故障率時間序列的微分同胚性，從而在高維空間恢復(fù)混沌吸引子，挖掘一維時間序列的變化規(guī)律。嵌入定理[3,7]表明，只要適當(dāng)選取延遲時間τ和嵌入維數(shù)m，ATP百萬公里故障率時間序列的幾何特性與重構(gòu)m維空間的幾何特性等價，兩者具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

對X采用延遲嵌入的方式進行重構(gòu)，得到軌跡矩陣Y

( 3 )

式中:τ為延遲時間;m為嵌入維數(shù)。每一列表示一個相點。記M=n-m-1τ。

采用C-C算法[2-3,9]同時估計延遲時間τ和嵌入維數(shù)m。

將時間序列X=xi|i=1,2,…,n劃分為t個不相交的子序列[3,7]，長度為l=[n/t]([*]表示取整)

{x(1),x(t+1),x(2t+1),…}

{x(2),x(t+2),x(2t+2),…}

?

{x(t),x(t+t),x(2t+t),…}

定義每個子序列的統(tǒng)計量

S(m,n,r,τ)=

( 4 )

式中:Cl表示第l個子序列的關(guān)聯(lián)積分。

定義

C(m,n,r,τ)=

( 5 )

式中:r為鄰域半徑;M為相點數(shù)目;θ(*)為Heaviside單位函數(shù)。

定義

( 6 )

相點Xi與最接近的相點Xj間的歐式距離用無窮范數(shù)表示

d=‖Xi-Xj‖=

( 7 )

當(dāng)n→時，記做

S(m,r,τ)=

( 8 )

S(m,r,τ)～τ反映了時間序列的自相關(guān)性。

定義

ΔS(m,τ)=

maxS(m,ri,τ)-minS(m,rj,τ)

( 9 )

為度量S(m,r,τ)～τ對所有鄰域半徑r的最大偏差。

本文采用改進的C-C算法[7]，定義

ΔS(m,τ)=stdS(m,r,τ)

(10)

式中:std{*}表示S(m,r,τ)的均方差。

設(shè)

求得延遲時間和嵌入維數(shù)后，即可將長度為717的一維時間序列X相空間重構(gòu)為2×698的高維矩陣Y。

3.2 混沌特性判別

對ATP-X百萬公里故障率時間序列X相空間重構(gòu)后，應(yīng)該判斷該序列是否具有混沌特性。本文采用Lyapunov指數(shù)法[4,7,10]判斷混沌特性。格里波基證明[7]，只要最大Lyapunov指數(shù)λ大于0，系統(tǒng)就存在混沌特性。

目前求解最大Lyapunov指數(shù)的方法主要有Wolf法[1,7]、Jacobian法[1,7]、P-范數(shù)法[7]和小數(shù)據(jù)量法[5]。Wolf法計算誤差較大，魯棒性、穩(wěn)定性較差。Jacobian法適用于噪聲較大的序列。P-范數(shù)法計算量大，操作困難。小數(shù)據(jù)量法計算量小，易操作，對小數(shù)據(jù)可靠。如下采用小數(shù)據(jù)量法計算最大Lyapunov指數(shù)。

具體步驟[5,8]如下:

(11)

式中：j=1,2,…,M;P為時間序列的平均周期。

Step2計算相點Xj經(jīng)過iΔt演化時間后的距離

(12)

Step3據(jù)文獻[5]

lndji≈lndj0+λiΔt

(13)

最大Lyapunov指數(shù)為上式直線的斜率，可通過最小二乘法逼近得到，即

(14)

式中:q為非零dji的個數(shù);yi表示對每個i，所有j的lndji的平均值。

根據(jù)3.1節(jié)的結(jié)果：τ=19，m=2。本文以全路范圍內(nèi)同一種車載設(shè)備為例，綜合考慮車載設(shè)備日常的運用檢修和高級檢修，設(shè)置ATP-X百萬公里故障率時間序列平均周期P=180。求取最大Lyapunov指數(shù)結(jié)果見圖5。最大離散步進時間設(shè)為50。

圖5中，實線表示y(i)的值，虛線表示Step3中的直線，其斜率為0.016 7，即最大Lyapunov指數(shù)λ=0.016 7>0。因而，ATP-X型車載設(shè)備百萬公里故障率時間序列具有混沌特性，可以采用混沌理論對其未來變化趨勢進行短期預(yù)測。

3.3 混沌預(yù)測

對ATP百萬公里故障率一維時間序列相空間重構(gòu)和混沌特性判別之后，在高維空間中挖掘ATP潛在的故障變化規(guī)律，進而預(yù)測ATP運行故障的變化趨勢和變化的范圍空間。

(1) 預(yù)測原理

ATP-X車載設(shè)備百萬公里故障率X={xi|i=1,2,…,n},相空間重構(gòu)之后得到的M個相點為

X1=x1,x1+τ,…,x1+m-1τ

X2=x2,x2+τ,…,x2+m-1τ

?

XM=xM,xM+τ,…,xM+m-1τ

(15)

進一步演化之后的相點為

XM+1=

{xM+1,xM+1+τ,

…,xM+1+m-1τ}

(16)

上式中的元素xM+1+m-1τ正是需要預(yù)測的下一個序列點xn+1。

相點Xi與xi+1+m-1τ之間有某種確定的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系[7]，即

xi+1+m-1τ=fXi

(17)

找出XM的K個鄰近點XMi(i=1,2,…,K)，利用支持向量機SVM(Support Vector Machine)[11]的逼近能力，用一個最優(yōu)函數(shù)擬合

fXMi=xMi+1+m-1τ

若確定fx，則有

xn+1=xM+1+m-1τ=

fXM

(18)

同理，可預(yù)測xn+2,xn+3,…。

SVM是一種基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的有效的機器學(xué)習(xí)方法，根據(jù)有限的樣本信息在學(xué)習(xí)能力和模型的復(fù)雜性之間尋求最佳折中，具有泛化能力強、容易訓(xùn)練、沒有局部極小值等優(yōu)點[11-12]。本文需要確定函數(shù)f(x)，顯然是一個回歸問題。ε-SVR(ε-Support Vector Regression)支持向量回歸模型屬于SVM的一種，訓(xùn)練的目標(biāo)為y-f(x)≤ε。

如果指定不敏感度ε，就得到ε-SVR，即

s.t.

yi-w,Φ(xi)-b≤ε+ξi

(19)

其解為

(20)

式中:c是懲罰系數(shù)，其他參數(shù)見文獻[11]。

至此，利用SVR對ATP百萬公里故障率時間序列做混沌預(yù)測的模型見圖6。

(2) 數(shù)據(jù)歸一化處理

選取第1～M-1個相點作為自變量，選取第2～M個相點的最后一個元素作為因變量。前期粗略預(yù)測發(fā)現(xiàn)，對矩陣Y的數(shù)據(jù)不做處理直接作為輸入預(yù)測準(zhǔn)確率較低。于是，分別對自變量和因變量按照如下映射進行歸一化預(yù)處理

(21)

這樣，作為SVR模型輸入的矩陣Y的元素被規(guī)整到[0,1]范圍內(nèi)，以提高預(yù)測精度。

(3) SVR最優(yōu)參數(shù)選擇

首先給出參數(shù)評價指標(biāo)：

平均平方誤差

(22)

平方相關(guān)系數(shù)

r2=

(23)

式中:n表示樣本數(shù)。

采用SVR解決回歸函數(shù)f(x)的估計問題，必須確定不敏感度ε、懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)g三個參數(shù)[12]。不敏感度ε決定了回歸函數(shù)對樣本數(shù)據(jù)不敏感區(qū)域的范圍及支持向量的個數(shù)；懲罰系數(shù)c是對經(jīng)驗風(fēng)險和置信范圍的折中，表示對超出誤差ε的樣本的懲罰程度。本文選用高斯RBF核函數(shù)[12]

K(x,y)=exp-g‖x-y‖2

(24)

式中:g表示核函數(shù)。

首先，設(shè)定不敏感度ε=0.01。

然后，通過一種交叉驗證CV(Cross Validation)[13]的方法，將懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)g在2的指數(shù)范圍網(wǎng)格內(nèi)進行查找，尋找一定意義下最佳的c和g。

粗略確定c和g的尋優(yōu)范圍，讓其取值變化都為2-10，2-9，…，210。粗略選擇結(jié)果見圖7。最佳c=0.353 55,g=2.828 4，最小的MSE=0.002 300 6。

圖7中，x軸表示c取以2為底的指數(shù)后的值，y軸表示g取以2為底的指數(shù)后的值，等高線和3D視圖的z軸表示取相應(yīng)的c和g后對應(yīng)CV方法的平均平方誤差。

由圖7可見，c的范圍可縮小至2-8～20，g的范圍可縮小至2-8～28。如此，得出參數(shù)c和g的精細(xì)選擇結(jié)果如圖8所示。最佳c=0.574 35,g=1.741 1，最小的MSE=0.002 226 2。其最小的MSE值小于粗略選擇的最小MSE值，表明精細(xì)選擇參數(shù)結(jié)果更優(yōu)。

(4) 預(yù)測結(jié)果

根據(jù)前文得到的最佳參數(shù)c和g訓(xùn)練SVR，按照圖6的輸入輸出關(guān)系，得出一個模型回歸擬合f(x) ，據(jù)此預(yù)測ATP-X時間序列X后200條數(shù)據(jù)，驗證模型的準(zhǔn)確性。

圖9為混沌預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的對比，混沌預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)基本吻合，表明混沌預(yù)測方法適用于ATP車載設(shè)備的百萬公里故障率趨勢預(yù)測。如果預(yù)測呈上升趨勢，那么，鐵路電務(wù)部門應(yīng)該提前儲備足夠的ATP-X的備品備件，并且在日常維修中，應(yīng)該重點檢查或監(jiān)測ATP-X的設(shè)備狀態(tài)，統(tǒng)籌調(diào)配電務(wù)資源，做到預(yù)防維修。

據(jù)文獻[2]，最大Lyapunov指數(shù)λ的倒數(shù)T=1/λ表示混沌系統(tǒng)最長預(yù)測時間。由前節(jié)可得λ=0.016 7，故T=1/λ≈59。表明根據(jù)ATP-X歷史故障數(shù)據(jù)，可短期預(yù)測未來59 d該設(shè)備的故障率變化趨勢。這為全路備品備件的充分儲備和電務(wù)資源的合理調(diào)配提供了參考依據(jù)。

4 預(yù)測結(jié)果分析

為了說明混沌預(yù)測ATP設(shè)備故障率變化趨勢的有效性，本文將混沌預(yù)測結(jié)果和直接進行SVR預(yù)測的結(jié)果做比較。兩者最主要的區(qū)別是：混沌預(yù)測是將相空間重構(gòu)之后得到的矩陣Y作為輸入，而SVR預(yù)測是直接將ATP百萬公里故障率時間序列X作為輸入；前者處理的對象是相點，后者則是序列的元素。

按照前節(jié)的描述，以ATP-X的百萬公里故障率時間序列X作為輸入，取ε=0.01，選擇最佳參數(shù)c=1,g=0.001 700 3(相應(yīng)地，最小的MSE=0.004 009 4)，得到得到圖10所示的預(yù)測結(jié)果。

圖9和圖10所示的預(yù)測結(jié)果優(yōu)劣很難定性比較，于是，分別求取兩者預(yù)測的平均平方誤差和平方相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 混沌預(yù)測和SVR預(yù)測結(jié)果比較

由表1可得，對于同一個ATP-X的百萬公里故障率時間序列，混沌預(yù)測的平均平方誤差小于SVR預(yù)測的平均平方誤差，且前者的平方相關(guān)系數(shù)大于后者的平方相關(guān)系數(shù)。表明混沌預(yù)測的精度高于SVR的預(yù)測精度。

此結(jié)論也可通過圖11所示兩者預(yù)測的相對誤差圖 ((預(yù)測值-原始值)/原始值)反映，混沌預(yù)測的相對誤差相對于SVR預(yù)測的誤差，更集中于區(qū)間[-0.01,0.01]。

綜上，基于混沌理論對ATP車載設(shè)備故障率變化趨勢的預(yù)測相對更適合、更準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

ATP車載設(shè)備百萬公里故障率時間序列具有最大Lyapunov指數(shù)判斷的混沌特性?；诨煦缋碚搶TP車載設(shè)備故障率預(yù)測方法是可行和有效的，其預(yù)測精度高于支持向量回歸方法。

預(yù)測結(jié)果可供優(yōu)化未來維修周期內(nèi)全路ATP備品備件的統(tǒng)一配置和調(diào)配方案參考。在備品備件細(xì)化分類的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，本方法可針對某種特定的備件做專項預(yù)測，提供該備件合理的儲備數(shù)量及維修策略。

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