孔祥強

（菏澤學院 數(shù)學系，山東 菏澤 274015）

一類延拓矩陣的半正定因子的擾動上界

孔祥強

（菏澤學院 數(shù)學系，山東 菏澤 274015）

利用行延拓矩陣的奇異值分解和極分解，得到了行延拓矩陣半正定因子的擾動界，并進一步討論了特殊情形下的擾動界，且所得結(jié)論對于列延拓矩陣也是成立的.

行延拓矩陣；奇異值分解；極分解；半正定因子

延拓矩陣次酉極因子及半正定因子擾動界的問題是矩陣擾動分析的重要內(nèi)容.有關(guān)次酉極因子擾動界的研究成果較多，而對半正定因子擾動界的研究成果相對較少.本文利用矩陣的奇異值分解和極分解的相關(guān)知識，得到了延拓矩陣半正定因子的擾動上界定理，并討論了特殊情形下的擾動界.

1 幾個定義和引理

定義1［1］設(shè)A∈Cm×n，稱為矩陣A的行延拓矩陣.

定義2［1］設(shè)A∈Cm×n，稱為矩陣A的列延拓矩陣.

定義3［2］若矩陣A∈Cn×n，滿足AHA=AAH，則稱A為正規(guī)矩陣；若滿足AH=A，則稱A為Hermite矩陣；若滿足AH=A-1，則稱A為酉矩陣.

定義4［3］設(shè)為Rk（A） 的擾動矩陣的奇異值分解分別為

其中：U=（U1，U2）、V=（V1，V2）均為酉矩陣，U1∈Crm×r，V1∈Crm×r，∑1=diga（σ1，σ2，…，σ）r，σ1≥σ2≥…≥σr＞0；P=（P1，P2）、Q=（Q1，Q2）均為酉矩陣，均為酉矩陣

定義5［5］設(shè)，令，稱的極分解，稱Q為次酉極因子，H為半正定因子.

引理1［5］設(shè)，對進行奇異值分解（見定義4），則（1）

引理2［6］設(shè)為兩個Hermite矩陣，E∈Cs×t，F(xiàn)∈Cs×t，若，則ΩX-XΓ=ΩE+FΓ有唯一解X∈Cs×t，且

2 主要結(jié)論

證明 對Rk（A）進行奇異值分解得，其中S=diag（μ1，μ2，…，μr），且μ1≥μ2≥…≥μr＞0.對進行奇異值分解得

對R（kA）極分解得

令，則

即

在式（3）兩邊右乘N1，得

又

而

對式（4），由引理1、引理2得

由式（5），（6a），（6b），（7）可得

式（5）可寫成

對式（8），式（9），再由引理1、引理2得

注 對于列延拓矩陣Ck（A），可利用轉(zhuǎn)置，化為行延拓矩陣Rk（A），上述定理和推論也是成立的，不再贅述.

3 結(jié)束語

本文探討了行延拓矩陣半正定因子的擾動界，分別討論了r＜n、t＜n和r=t=n時的情形，得到了相應(yīng)的的擾動上界定理，進一步完善了半正定因子的擾動界理論.

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Perturbation Upper Bounds for Positive Semi Definite Factors of a Class of Extension Matrix

KONG Xiangqiang

（Department of Mathematics，Heze University，Heze 274015，China）

By using the singular value decomposition and the polar decomposition of the extended matrix，the research obtains the perturbation bounds for the positive semi definite factors of the row extension matrix.It further discusses the perturbation bounds under special conditions.The conclusionis suitable to the column extension matrix.

row extension matrix；singular value decomposition；polar decomposition；positive semi definite factor

O 241.6

A

1674-4942（2016）02-0119-04

2016-02-27

2015年山東省教育科學“十二五”規(guī)劃重點資助項目（2015GG696）；2016年菏澤學院教學改革重點課題項目（201610）