梁青

（海南師范大學 數學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?571158）

非Lipschitz條件下反射倒向隨機微分方程解的性質

梁青

（海南師范大學 數學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?571158）

文章給出了在非Lipschitz條件下一列無窮區(qū)間上的反射倒向隨機微分方程解的若干性質.

反射倒向隨機微分方程；障礙；一致有界

倒向隨機微分方程（BSDE）是上世紀90年代由Pardoux和Peng［1］引入，用于解決數理金融學中最優(yōu)投資比例問題.例如，Fan等［2］人在經典的Lundbeng風險模型的基礎上，加入風險投資和無風險投資，建立了與BSDE密切相關的HJB方程，得到生存概率最大的最優(yōu)解與初始盈余的關系.Karoui［3］等人研究了一類帶有反射邊界的倒向隨機微分方程（RBSDE），這類方程事先給定障礙St，并在一定條件下證明方程三元組解（yt，zt，Kt）的存在唯一性，其中解的一部分為一個增過程Kt起到推動作用，使得解始終保持在障礙St上方，同時滿足推動作用最小.Deng等［4］研究了Lipschitz條件下這類RBSDE的解的收斂性.本文研究在比Lipschitz條件弱的非Lipschitz條件下RBSDE的解的一些性質.

設（Ω，F，P）是完備概率空間，（Bt）0≤t≤+∞是d維標準布朗運動，（Ft）t≥0是由它產生的σ-代數流，其中F0包含F的所有零測集.

考慮一列無窮區(qū)間上的RBSDE：

該不等式是非Lipschitz條件

ρ（·，·）∶［0，+∞］×R+→R+滿足：

（1）?t∈［0，+∞］，ρ（t，u）關于u是連續(xù)不降的凹函數，

（H3）障礙｛St∶t≥0｝是一個連續(xù)的循序可測過程，

1 RBSDE解的一致有界性

定理1 如果ξi在L（2Ω，F，P）中關于i一致有界，在S2中關于i一致有界，f（it，0，0）在M2中關于i一致有界，，其中M1，M2是正常數，則在L2（Ω，F，P）中關于i一致有界在M2中關于i一致有界

兩邊取期望

其中，Ck，k=1，2，3，4，5是正常數.

其中，C6是正常數.由（2）（3）知結論成立.

2 RBSDE的解是相應空間中的Cauchy列

由Gronwall引理，

C7是正常數.

由Burkholder-Davis-Gundy不等式，

C8是正常數.由于｛ξi｝是L（2Ω，F，P）中的Cauchy列，且

故結論得證.

［1］Pardoux E，Peng S G.Adapted solution of a backward stochastic differential equation［J］.Systems and Control Letters，1990，14：55-61.

［2］樊濤，陳傳鐘，馬麗.帶部分風險資產的最優(yōu)投資問題［J］.海南師范大學學報：自然科學版，2013，26（2）：129-132.

［3］Karoui EI，Kapoudjian N，Pardoux C，et al.Reflected solutions of backward SDE’s and related obstacle problems for PDE’s［J］. The Annals of Probability，1997（2）：702-737.

［4］鄧偉，吳臻.帶反射邊界的倒向隨機微分方程解的收斂性［J］.應用概率統(tǒng)計，2011，27（4）：346-358.

［5］Hua W，Jiang L，Shi X J.Infinite time interval RBSDEs with non-Lipschitz coefficients［J］.Journal of the Korean Statistical Society，2013，42：247-256.

責任編輯：劉 紅

Properties of the Solutions to the Reflected Backward Stochastic Differential Equations Under a Non-Lipschitz Condition

LIANG Qing
（School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper we obtain some properties of the solutions to the reflected backward stochastic differential equations in infinite horizo nunder a non-Lipschitz condition.

reflected backward stochastic differential equation；barrier；uniform boundness

O 211.63

A

1674-4942（2016）02-0127-04

2016-03-06