沈華斌 范新林

【摘 要】數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累其核心是如何思考的經(jīng)驗積累，以“面積板塊”教學為例，教師可以以“與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？關(guān)系對嗎，如何驗證？”為核心問題，以及這些問題在不同階段的表達形式，闡述如何幫助學生積累思維經(jīng)驗，從而培養(yǎng)學生數(shù)學思考的思維能力。

【關(guān)鍵詞】核心問題 思維經(jīng)驗 面積教學

“面積板塊”教學是從認識“面積和面積單位”開始的，那么面積教學的思維生長點是什么呢？帶著學生去思考：平面圖形的面積大小“與什么有關(guān)？是什么關(guān)系？關(guān)系對嗎，怎么驗證？” 本文試圖結(jié)合面積板塊的教學談?wù)剬Α八季S經(jīng)驗”的認識。

一、懵懂階段——在幫扶下感受面積計算

【案例1】長方形的面積

1.自主探究

師：請同學們大膽地猜測，長方形的面積和什么有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？

生：和長有關(guān)。

生：和長、寬都有關(guān)。

生：和周長有關(guān)。

2.實踐探究，合作交流

師：你們的猜測是否正確呢？現(xiàn)在就請同學們觀察合作要求，運用相關(guān)學具（1平方厘米的正方形），完成學習任務(wù)。

課件出示合作要求：

（1）以小組為單位，運用小正方形學具擺一擺、數(shù)一數(shù)，合作搭建3個長方形，完成實驗記錄表。

（2）仔細觀察記錄表，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）嘗試用比較規(guī)范的數(shù)學語言表達實驗過程及實驗結(jié)論。

反饋：

生：我們發(fā)現(xiàn)長方形的面積和它的長和寬有關(guān)，長方形的面積=長×寬。

師：你們是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生：我們通過先把正方形學具擺一擺，一行擺4個，擺這樣3行，就擺成了一個長方形。再數(shù)一數(shù)、算一算，它的面積就是3×4=12（平方厘米）。

師：哪些小組聽懂了他們組的發(fā)言，也來說一說。（請其他小組發(fā)言）

師：那長方形的面積和它的周長有關(guān)嗎？

生：沒有直接的關(guān)系，比如我們小組擺了每行6個，有這樣2行的長方形，面積大小和長4厘米、寬3厘米的長方形一樣，都是12平方厘米，但它們的周長是不一樣的。

生：我們組也認為沒有關(guān)系，周長同樣是16厘米的長方形，可以擺成長6厘米、寬2厘米，也可以擺成長5厘米、寬3厘米，還可以擺成長7厘米、寬1厘米，但它們的面積分別是12平方厘米、15平方厘米、7平方厘米。

……

師：讓我們再來猜測問題，現(xiàn)在覺得長方形的面積和什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系呢？我們是怎么得到這樣的關(guān)系的呢？

生：和長、寬有關(guān)。

生：“長方形的面積=長×寬”的關(guān)系。

【思考】

思維經(jīng)驗的形成是學生在學習數(shù)學知識活動中形成的，對于“數(shù)的大小、長度的多少”學生已經(jīng)有前經(jīng)驗的知識積累：明確了面積單位的統(tǒng)一后，單位正方形的個數(shù)就是圖形面積的大小。這是對學生描述性概念的回顧，也是對后續(xù)面積公式推導經(jīng)驗的一種喚起，讓學生通過用“小正方形學具擺長方形”也就順理成章，從而探究長方形的面積。開始教師通過設(shè)問，讓學生先提出問題，長方形的面積與什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？學生通過實際動手操作，發(fā)現(xiàn)了長方形的面積探究就是數(shù)出其中若干個面積單位，一排有幾個（長方形的長），有這樣的幾排（長方形的寬），從而推導出長方形的面積和長、寬有關(guān)，長方形的面積就等于長×寬（一共有幾個面積單位）。在這一階段中，學生在教師幫扶下初步感受到與面積大小相關(guān)的條件，并且在提供學具的基礎(chǔ)上通過小組探究“條件之間的關(guān)聯(lián)”，初步體會長方形面積如何計算的探究過程。

二、感悟階段——在引導下感悟面積計算

學數(shù)學是把知識轉(zhuǎn)化為能力，教數(shù)學是讓學生能夠積累知識，形成正確思維經(jīng)驗，養(yǎng)成數(shù)學能力，這樣的過程才是一個提升的過程。從長方形的面積到平行四邊形面積的推導，再到梯形、三角形的面積教學，這個教學過程中又積累了怎樣的思維經(jīng)驗?zāi)兀磕蔷褪歉形蛑R間的“聯(lián)系”和“轉(zhuǎn)化”，進一步體會探究面積的3個問題“與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？關(guān)系對嗎，如何驗證？”

（一）聯(lián)系：從未知到已知

數(shù)學不同板塊知識之間存在著緊密聯(lián)系，特別是未知知識與已知知識的聯(lián)系，對于未知知識我們經(jīng)常不會直接尋找問題的答案，而是尋找一些熟悉的結(jié)果（已知知識），設(shè)法將面臨的問題轉(zhuǎn)化為某一規(guī)范的問題，以便運用已知的理論、方法和技術(shù)使未知問題得到解決。

【案例2】平行四邊形的面積

師：同學們，今天我們學習平行四邊形的面積，之前我們學習了長方形和正方形的面積，還記得我們是怎么學習的嗎？

師：對了，在學習平行四邊形的面積時我們也來帶著這些問題思考：與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？關(guān)系對嗎？如何驗證？

生：和它的底有關(guān)。

生：和底和鄰邊有關(guān)。

生：和底、高有關(guān)。

1.自主探究平行四邊形的面積（每一小格代表1，也可以利用學具平行四邊形來幫助）。

反饋：

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積和它的鄰邊沒有關(guān)系，因為圖①的鄰邊是4分米，底是3分米，相乘得12平方分米，而實際我們通過數(shù)方格發(fā)現(xiàn)它的面積只有9平方分米。

生2：應(yīng)該和平行四邊形的底和高有關(guān)，將圖①沿著高將它的一半（三角形）平移，與它的另一半合成了一個正方形，邊長是3分米，面積等于9平方分米，正好等于平行四邊形的底和高相乘。

師：圖②你們又是怎樣探究的？

生3： 1+1+1+1+1=5

生4： 1×5=5

2.反饋：你是通過什么方法怎么得到的？

小結(jié)反思：平行四邊形的面積與誰有關(guān)？你們是怎么探究的？關(guān)系對嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)，我們把平行四邊形沿著高剪開，變成了一個長方形，長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高。

【思考】

平行四邊形面積推導和長方形面積探究一樣，同樣是提出3個問題，在長方形面積探究中則要求學生學會轉(zhuǎn)化，但是對于學生來說他們是怎樣想到轉(zhuǎn)化的呢？這就需要經(jīng)驗。有的經(jīng)驗是長久積累的，有的經(jīng)驗是直接鋪墊的。本片段中體現(xiàn)了學生將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，或?qū)⑵叫兴倪呅卫梅礁駡D轉(zhuǎn)化成“能數(shù)的面積單位”，或?qū)⑵叫兴倪呅无D(zhuǎn)化成長方形的面積，從而探究出長方形的面積與它的底和高有關(guān)。學習平行四邊形面積之前，學生已經(jīng)認識了面積單位，會用數(shù)方格的方法來求出面積的大小。平行四邊形面積中的轉(zhuǎn)化探究是讓學生體會到“形狀求變”的策略，面積“大小不變”是基礎(chǔ)。比如圖②的面積探究，生3是原生態(tài)的轉(zhuǎn)化，生4則是在生3的基礎(chǔ)上進一步加工后的轉(zhuǎn)化。這個過程實際也是尋找已知與未知聯(lián)系的“思維經(jīng)驗”積累，這樣的經(jīng)驗積累有助于學生在以后的數(shù)學學習中，注重尋找知識間的聯(lián)系來探究新知。

（二）遷移：從一例到一類

轉(zhuǎn)化是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時，采用某種手段將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把新的知識轉(zhuǎn)化為已學過的知識，達到最終解決問題。通過轉(zhuǎn)化思想，可以幫助學生很好地解決較復雜的數(shù)學問題。學生在學習了平行四邊形面積之后，已對轉(zhuǎn)化方法的運用有了一定的基礎(chǔ)，對平面圖形面積的大小和什么有關(guān)已有了一定的認知，在梯形、三角形、組合圖形等面積教學時需進一步地運用，才能內(nèi)化為學生自己的東西，形成思維經(jīng)驗。

【案例3】多邊形的面積

多邊形的面積包括四部分內(nèi)容：平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積和組合圖形的面積。而學習這些圖形的面積計算則以長方形面積計算為基礎(chǔ)，教師在教學中以平面圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法開展學習。三角形（梯形）的面積與什么有關(guān)，你是怎么發(fā)現(xiàn)的？如下圖：

在學習梯形面積時，轉(zhuǎn)化方法就應(yīng)用得更加靈活，既可以轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積，如圖：，又可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積，如圖：，也可以轉(zhuǎn)化成多種圖形面積的組合，如圖：等，最終都可以得出梯形的計算面積公式，從而將新知內(nèi)化為自己的知識。

知識技能的獲得和經(jīng)驗的積累是相互的。長方形面積的學習是平行四邊形面積推導的基礎(chǔ)，平行四邊形面積的學習為學習三角形面積積累了經(jīng)驗，三角形面積的學習為梯形面積的學習積累經(jīng)驗，三角形和梯形的面積推導直接由平行四邊形面積推導方法遷移而來，學生在學習平行四邊形時對高的認知，給三角形和梯形的面積推導帶來了便利，通過將平行四邊形、三角形、梯形之間面積的互相轉(zhuǎn)化，把兩個完全一樣的三角形或梯形拼補成一個平行四邊形，厘清了三角形面積大小與它的底和高有關(guān)，梯形面積的大小與上下底之和、高有關(guān)，而在這一過程中正是“轉(zhuǎn)化”方法運用的逐步積累，讓學生在對面積探究中，逐步完善自己對面積推導的思維經(jīng)驗積累。

三、運用階段——在自覺運用中探知面積計算

思維經(jīng)驗是一種思考的經(jīng)驗，是可以幫助學生來選擇方法策略的經(jīng)驗。在數(shù)學學習中，一位數(shù)學活動經(jīng)驗積累豐富又善于選擇方法策略的學生，那么他對數(shù)學的學習能力肯定會隨著思維經(jīng)驗的累積而加強。

【案例4】圓的面積

1.實驗驗證

師：你打算怎么研究圓的面積？

師：大家還記得平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式分別是如何推導出來的嗎？（學生回憶后匯報，教師演示，激活探究思路）

2.第一輪探究——明確思路，體會轉(zhuǎn)化

小組匯報。你們小組是怎么研究的？

生：我們小組認為圓的面積可能和它的半徑大小有關(guān)，我們的方式是剪圓。

師：怎么剪呢？沿著什么剪？

生：沿著直徑或半徑剪開。

（小組演示2等份、4等份、8等份，引導發(fā)現(xiàn)邊越來越直，剪拼的圖形越來越接近平行四邊形）

3.第二輪探究——明確方法，體驗極限

師：剛才我們將圓分別剪成4等份、8等份再拼成新的圖形的目的是什么呀？

生：想把圓形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

師：那還能轉(zhuǎn)化得更像嗎？

生：可以將圓平均分成16份。

（引導學生把16、32等份的圓拼成近似的長方形，上臺展示）

師：從哪兒可以看出這兩幅圖更接近平行四邊形了？

生：邊更直了。

師：是什么方法使得邊越來越直了？

生：平均分的份數(shù)越來越多。

（課件演示，引導學生體驗把圓平均分成64份、128份……剪拼后的圖形越來越接近長方形）

師：如果我們平均分的份數(shù)足夠多，最后拼成的圖形就成——長方形了。

……

師：回憶一下，我們是用怎樣的方法來探究圓的面積的？

【思考】

思維經(jīng)驗的累積相比知識本身更側(cè)重于對學習策略和學習方法的逐步積累，在平時的課堂中讓學生的思維在課中動起來，通過“比較、反思”等方法，以此想通、悟透知識間的來龍去脈，選擇優(yōu)化的方法策略。學生到小學六年級學習“圓的面積”時，已經(jīng)積累了多個平面圖形面積計算的探究經(jīng)驗，通過教師的引導對面積探究的“3個核心問題”已有一定的體驗和感知，所以在案例4中老師放手讓學生自主探究，自覺運用探究面積的方法來研究“圓的面積”計算方法。

總之，在數(shù)學教學中，教師讓學生會思考，愿意思考，讓他們的思維真正參與其中是關(guān)鍵因素。面積板塊的教學，是讓學生通過對已知與未知的比較和聯(lián)系，初步體會轉(zhuǎn)化思想方法；通過梯形、多邊形面積的學習，掌握對轉(zhuǎn)化思想方法的熟練運用；通過圓的面積自主推導，遇到問題，善于思考知識間的聯(lián)系，運用已學的方法來解決問題。最終讓學生在積極的思維參與中領(lǐng)悟數(shù)學的本質(zhì)和核心，學生這種積極參與數(shù)學活動的思考思維有利于達成對數(shù)學知識的深刻理解和融會貫通。所以“思維經(jīng)驗”的積累，不僅在于思考知識的“聯(lián)”，還在于對方法的靈活運用。

參考文獻：

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[2]張丹.發(fā)展學生基本活動經(jīng)驗的探索與實踐[J].小學數(shù)學教師，2014（3）.

[3]李蘭瑛.在問題解決過程中幫助學生積累數(shù)學思考的經(jīng)驗[J].江蘇教育，2014（11）.

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