李麗霞

摘 要：本文通過反例在數(shù)學(xué)中的作用與構(gòu)造，通過命題正、反兩面想比較，從而更加正確的理解概念、命題以及相互關(guān)系來說明反例的作用及意義，并且講述了反例在數(shù)學(xué)的教學(xué)中的作用，利用反例，加強(qiáng)對(duì)基本概念、定理和規(guī)則的理解；利用反例，否定命題的正確性；利用反例，加深學(xué)生對(duì)命題內(nèi)涵和外延的理解程度；善于利用反例，能幫助學(xué)生通過比較，建立鮮明的表象；反例能幫助學(xué)生否定謬論，糾正錯(cuò)誤；善于利用反例能幫助學(xué)生進(jìn)行研究性的學(xué)習(xí)；如何將構(gòu)造反例這一方法廣泛應(yīng)用，從而將反證法得到推廣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 反例 構(gòu)造 研究 日常生活

在數(shù)學(xué)的研究中，構(gòu)造反例去解決問題是非常重要的，它在數(shù)學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位和作用，如果能在教學(xué)的過程中充分的去發(fā)揮反例的作用，那么對(duì)于提高教學(xué)的質(zhì)量，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都是非常有好處的。[1]

一、反例在數(shù)學(xué)中的作用與構(gòu)造

1.反例在數(shù)學(xué)中的基本內(nèi)容

（1）反例的含義

所謂的反例，通常來說就是用來說明一個(gè)命題不成立的例子，也就是符合命題的條件但是與命題的結(jié)論想矛盾的例子。

（2）反例在數(shù)學(xué)中的作用

數(shù)學(xué)的發(fā)展，其實(shí)就是一個(gè)不斷的提出問題，然后在解決問題的過程，通過不斷的提出和解決，得出一些新的理論，新的定理。而想要解決這些問題，主要還是由給出命題的證明或者構(gòu)造反例來完成的。歐氏幾何的成立便離不開它的幫助了。

自從歐氏幾何成立以后，很多人都試圖證明平行公理，但都失敗了。而高斯、黎曼等杰出的數(shù)學(xué)家采用了銳角與鈍角的假設(shè)，徹底的推翻了“平行公理是可以證明的”這一猜想，使得將近兩千年的一大數(shù)學(xué)難題得到了解決，對(duì)幾何學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展作出了偉大的貢獻(xiàn)。像這樣的貢獻(xiàn)還有許多，如微積分理論中的“每一連續(xù)函數(shù)除了在去件內(nèi)某些孤立點(diǎn)外都具有導(dǎo)數(shù)”等命題 ，都是通過構(gòu)造反例才得以解決。

二、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.反例在教學(xué)中的應(yīng)用

反例不僅能夠證明命題的真實(shí)性，在教學(xué)中也有著不可代替的位置。反例在教學(xué)中有很多作用，如評(píng)判學(xué)生對(duì)問題的回答，批改學(xué)生作業(yè)，都需要指出他的錯(cuò)誤，而指出錯(cuò)誤最有說服力的也就是舉出反例。[2]

（1）利用反例，加強(qiáng)對(duì)基本概念、定理和規(guī)則的理解

數(shù)學(xué)概念是空間形式的數(shù)量關(guān)系以及他們的本質(zhì)屬性在人的腦海中的反映，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，我們不僅僅要運(yùn)用正面的實(shí)例去引導(dǎo)學(xué)生形成概念，還要善于借助反例加深學(xué)生對(duì)概念本身的理解和再思考、再認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)當(dāng)中，有許多的概念定理和規(guī)則，想要接受這些抽象的東西，有時(shí)會(huì)很困難，很多的學(xué)生只會(huì)死記硬背那些定義，卻不知道那些概念的真正意思，這時(shí)，我們利用舉出反例，讓他們從側(cè)面去抓住概念的本質(zhì)，往往效果非凡，還可一提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，從而去辨析。

（2）利用反例，否定命題的正確性

一個(gè)數(shù)學(xué)命題的成立，是經(jīng)過了反反復(fù)復(fù)的證明，需要經(jīng)過非常嚴(yán)格的邏輯證明，而否定一個(gè)命題，我們只需要判斷出它在某種情況下不成立即可，這是一種非常慣用的數(shù)學(xué)方法和證明手段，也是學(xué)生必須要認(rèn)真去掌握的。

（3）利用反例，加深學(xué)生對(duì)命題內(nèi)涵和外延的理解程度

許多定理、性質(zhì)、公式、法則都有它成立的條件和適用的范圍。教學(xué)中如果不注意分析，不提供挑戰(zhàn)性素材，學(xué)生很容易便拋開條件，超越范圍，從而釀成錯(cuò)誤。關(guān)于一些定理，許多教材書上一般都是先介紹定理，再給出證明，最后舉出滿足定理?xiàng)l件的正面例子。但這些方法會(huì)讓學(xué)生只理解到片面的定理，不能夠深入的去理解定理，這時(shí)我們便可以說出一些反例來更一步的說明這些定理的本質(zhì)。

（4）善于利用反例，能幫助學(xué)生通過比較，建立鮮明的表象

在數(shù)學(xué)的教程過程中，如果只是單純的從正面給學(xué)生講解概念，學(xué)生可能會(huì)感覺到模糊，不能理解。為了能夠加深學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)的理解，可以將抽象的東西，借助實(shí)物或者列舉反例，通過比較直觀的角度，提高他們的判斷能力，并且通過舉反例，也能十分簡(jiǎn)潔的識(shí)別出錯(cuò)誤，從而提高學(xué)習(xí)的效率。構(gòu)造反例，可以讓學(xué)生加強(qiáng)思維訓(xùn)練，慢慢培養(yǎng)出實(shí)事求是的優(yōu)良學(xué)風(fēng)。而且，常常能產(chǎn)生正確的解題技巧。

（5）反例能幫助學(xué)生否定謬論，糾正錯(cuò)誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，經(jīng)常會(huì)碰到一些通過類比推廣，或者憑主觀的想象得出的錯(cuò)誤結(jié)論，并去應(yīng)用它們，對(duì)于此類錯(cuò)誤，如果能夠運(yùn)用反例加以否定，更容易讓學(xué)生接受，并信服，也能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)此類命題的印象。要說明一個(gè)結(jié)論的成立，需要很多的證明和正彌漫的論述，而想要推翻一個(gè)結(jié)論，只需要舉出一個(gè)反例，便可以得出答案。

（6）善于利用反例能幫助學(xué)生進(jìn)行研究性的學(xué)習(xí)

學(xué)生認(rèn)知的最大的特點(diǎn)就是直覺思維，它多以猜測(cè)為主。但是數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，猜測(cè)到的偶然性是不可以代表驗(yàn)證的必然性的。所以，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的例證和推理。反例往往是推翻錯(cuò)誤的命題最有效手段，從而進(jìn)行研究性的學(xué)習(xí)。

（7）一些注意事項(xiàng)

在運(yùn)用反例證明一些論題的時(shí)候，需要認(rèn)真細(xì)致地去審題，如果發(fā)現(xiàn)和結(jié)論互相矛盾的方面有不止一種情況的時(shí)候，必須一一的去否定，不可以有任何的遺漏。還有在數(shù)學(xué)證明中，用到反例法證明命題的時(shí)候，并非從一開始就全部需要用到反證法，有時(shí)反證法只出現(xiàn)在一部分當(dāng)中。

2.如何將構(gòu)造反例這一方法廣泛應(yīng)用

許多學(xué)生在初次接觸反證法時(shí)，認(rèn)為它無課本可尋，會(huì)產(chǎn)生一種排斥的心理，加上剛開始學(xué)習(xí)反證法，例題也不多，需要用到的地方可能也很少，所以會(huì)忽略，不夠重視。然而，反證法卻是一種非常重要的證明方法，也是非常普遍的思維方式，比如筷子是直的，可是我們將它放入水中在看，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它變彎曲了，雖然是因?yàn)槲锢憩F(xiàn)象中的光在水中的折射導(dǎo)致的，但是它卻并不是真實(shí)的。通過這個(gè)例子，我們應(yīng)該知道無論是從數(shù)學(xué)能力上的培養(yǎng)來說，還是從社會(huì)公民所必要的文化素質(zhì)來看，學(xué)習(xí)反證法都是非常重要的。

三、總結(jié)

反例在數(shù)學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)中有其重要的地位和作用，若能在教學(xué)中充分發(fā)揮反例的作用，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都是非常有幫助的。構(gòu)造反例也需要發(fā)揮想象力和創(chuàng)造性。鼓勵(lì)學(xué)生著眼于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，自己提出問題，自己解決問題，這樣就能使構(gòu)造和運(yùn)用反例得到用武之地。不僅學(xué)習(xí)會(huì)深入得多，而且也能逐漸的培養(yǎng)學(xué)生開展數(shù)學(xué)研究的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]龔升.簡(jiǎn)明微積分.人民教育出版社.1979

[2]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講.北京大學(xué)出版社.1989