陸壽華

在現(xiàn)實課堂中，存在著諸多的理解性問題，例如對于一些抽象的概念好似已經(jīng)辨明，然而在課后又混淆不清；對知識的應(yīng)用感到很困難，在做作業(yè)的時候，錯漏百出；常常不能充分地使用學(xué)科語言深入分析問題或表達觀點.以往有些教師對數(shù)學(xué)理解的研究主要集中在數(shù)學(xué)概念、功能、模式與層次、對數(shù)學(xué)理解的評價、以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的教學(xué)策略等方面，很少關(guān)注學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)策略.對此，筆者在教學(xué)實踐中進行了一些思考和探索.

一、通過問題總結(jié)階段的反思進行理解性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)解題后的反思，就是指學(xué)生對數(shù)學(xué)解題思維過程中的一個問題的思維結(jié)果從一個新的角度進行慎重全面的分析和思考，從而深化對問題的理解，優(yōu)化思維過程.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)要求解題之后，還要去進一步反思與理解為什么要這樣做、怎樣做的、還可以怎么做，運用了什么樣的知識與思想方法以及遇到困難時思維為何受阻，以便有意識地了解自身思維后面潛藏的認知，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的認知水平，洞悉數(shù)學(xué)思維，達到高層次的數(shù)學(xué)認知理解水平.

具體來說，學(xué)生可以從以下幾個方面反思：反思題目特征；反思解題思路；反思解題策略的多處應(yīng)用；反思題目結(jié)論，能否一般化、特殊化，能否將結(jié)論拓展；反思重要環(huán)節(jié)的易錯處、多解處、困難處；反思解題中反映出的數(shù)學(xué)思想方法.

反思數(shù)學(xué)思想方法是進行理解性學(xué)習(xí)很重要的一個途徑.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為解決問題能力的橋梁.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，這個過程是經(jīng)同化和順應(yīng)兩種方式實現(xiàn)的.數(shù)學(xué)思想方法擔(dān)當(dāng)著指導(dǎo)“加工”、“改造”的重擔(dān)，它不僅提供思維策略，而且提供實施目標的具體手段.在問題解決后，學(xué)生反思所用到的數(shù)學(xué)思想方法，可以更好地正確理解數(shù)學(xué).比如，分類討論是貫穿整個初中數(shù)學(xué)的一種重要數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題策略，通過它可以把一個較為復(fù)雜的問題分解成若干個相對確定的問題來處理.每遇到這類題型，數(shù)學(xué)教師都應(yīng)把分類討論的思想方法體現(xiàn)給學(xué)生，從分類的原則、對象、標準，到分類的層次，著重調(diào)動學(xué)生的心智活動，讓學(xué)生體味思想方法在掌握學(xué)習(xí)重點、突破學(xué)習(xí)難點及解決具體數(shù)學(xué)問題中的靈魂作用，進而達到提高學(xué)習(xí)效率，促使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的目的.

二、從錯誤分析入手進行理解性學(xué)習(xí)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中經(jīng)常會出現(xiàn)各種錯誤，這種錯誤往往體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)思維以及對某些數(shù)學(xué)概念、命題的建構(gòu)等方面的缺漏.但另一方面，作為理解的必要發(fā)展階段，錯誤的產(chǎn)生又顯示出某種合理性.從錯誤分析入手進行理解性學(xué)習(xí)能促進學(xué)生對概念、命題的更加充分的理解.

1.做好選擇性注意策略

選擇性注意策略是指學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境中激活與維持學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，將注意集中于有關(guān)學(xué)習(xí)信息或重要信息上，對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料保持高度的覺醒或警覺狀態(tài).教師在培養(yǎng)學(xué)生對錯誤的選擇性注意的時候可以幫助學(xué)生確立學(xué)習(xí)目標，使學(xué)生樹立目標意識，能優(yōu)先選擇與目標有關(guān)的信息，學(xué)生在確立和完成目標的時候可以根據(jù)反饋信息，對教學(xué)目標適時地進行調(diào)整、優(yōu)化.

案例1解分式方程要檢驗.

這是初中數(shù)學(xué)考查的一個重要知識點，不少學(xué)生在各種測驗、考查中重復(fù)出現(xiàn)忘記檢驗的問題.每次分析試卷時，學(xué)生都表示這次疏忽了，可下次考試依然如此.這是由于解分式方程時，“去分母”等步驟在練習(xí)中地位舉足輕重，學(xué)生的注意力過份集中于此，而抑制了“檢驗”這個注意點，所以，這時應(yīng)將記憶的重點轉(zhuǎn)移到易被忽略的“檢驗”上，使“檢驗”的地位得到強化和凸現(xiàn).如解分式方程xx-1-1=2x-1x2-1時，可以先求解使分式以及分式方程有意義的未知數(shù)的取值范圍，在此前提下再解這個分式方程，學(xué)生就能自然地把所求得的未知數(shù)的值與未知數(shù)的取值范圍進行對比，從而把x≠1及時舍去，達到檢驗的效果.還可再編一個分式化簡題，如x+2x-1+2xx2-4，并請學(xué)生代入一個自己喜歡的數(shù)求代數(shù)式的值，再一次體會代入的自己喜歡的數(shù)必須保證分式有意義即x≠±2且x≠0的大前提.這種針對錯誤的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方式、轉(zhuǎn)變思維方向的自覺性，有利于對實際問題的動態(tài)處理，突破思維和心理定勢，在長期的訓(xùn)練中不僅可使思維深刻靈活，而且極大地提高學(xué)生的理解思維品質(zhì).

2.做好糾錯策略

教師可給予學(xué)生足夠的時間對自己的錯誤進行反思，可以提示學(xué)生問自己一些反思的問題：這個題我為什么錯了？錯誤的原因是什么？這個內(nèi)容和前面學(xué)過的知識有什么關(guān)系嗎？等等.這不僅可以使得對于錯誤的糾正真正成為學(xué)生的自覺行動，更有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和自學(xué)能力，而這些習(xí)慣和能力對學(xué)生的學(xué)習(xí)終生有益.結(jié)合平時的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，筆者在教學(xué)中先讓學(xué)生把作業(yè)或測試中出現(xiàn)的錯誤當(dāng)天及時訂正；同時指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)錯題集，把平時做錯的題收入其中，并注明錯在哪里，如概念不清、審題不仔細、錯用公式、計算失誤、解答不具體不完整等；然后每章小結(jié)時進行典型錯題的交流，讓學(xué)生互相糾錯，還要求學(xué)生從教材或資料中找出2～3道相同類型的數(shù)學(xué)題目，或同學(xué)間互相找題、編題，并認真解答，以達到鞏固、預(yù)防之目的.最后，利用每周練習(xí)的時間，對一些容易讓學(xué)生產(chǎn)生錯誤理解的題目進行檢測，再次檢驗學(xué)生是否消除了錯誤，這樣可以有效提高學(xué)生的理解能力.

三、通過“說數(shù)學(xué)”進行理解性學(xué)習(xí)

1.通過“說數(shù)學(xué)”加強數(shù)學(xué)理解

理解是以語言為媒介的，能用語言表述是衡量學(xué)生對初中數(shù)學(xué)知識理解的標志.通過表述，一方面，學(xué)生自己進一步理解問題，澄清一些模糊性認識；另一方面，學(xué)生理解其他學(xué)生問題解決方法，互相比較各自問題解決過程，擴展解決問題的思路，顯示出學(xué)生理解問題的自主性，也提醒學(xué)生要學(xué)會從顯性的條件中挖掘隱性條件，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)原理.“說數(shù)學(xué)”是指用自己的語言敘述數(shù)學(xué)知識，敘述要完整、準確、流暢，能對敘述的內(nèi)容作適當(dāng)解釋，經(jīng)得起老師和同學(xué)進一步追問.在這種既聽又說的數(shù)學(xué)交流活動中，教師把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，激發(fā)和調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促使他們積極思考、積極交流、主動理解.同時，教師也可以從中發(fā)現(xiàn)、分析學(xué)生的理解情況，做到有的放矢.通過這個表述過程，可以充分暴露學(xué)生理解上的缺陷，知道學(xué)生哪些地方理解了，哪些地方?jīng)]理解，理解的程度如何；可以使學(xué)生重新認識、思索那些理解得不很透徹的知識，從而促進對知識的理解.

案例2若關(guān)于x的方程ax2+2x-1=0有解，求a的取值范圍.

絕大部分學(xué)生都能算出正確答案a≥-1，但讓學(xué)生敘述解題方法時發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是用一元二次方程的根的判別式b2-4ac≥0計算得到，也有同學(xué)提出因為二次項系數(shù)為字母，所以此方程不一定是一元二次方程，應(yīng)該先對方程類型進行分類討論，若a=0，此方程為一元一次方程，此時方程有解，所以a=0成立；若a≠0，則此方程為一元二次方程，再利用一元二次方程的根的判別式b2-4ac≥0計算出a≥-1，所以a≥-1且a≠0.最后兩種情況綜合得到a≥-1.同樣的答案，通過說數(shù)學(xué)，充分暴露學(xué)生理解上的缺陷，知道學(xué)生哪些地方理解了，哪些地方?jīng)]理解，從而促進對知識的準確理解.

2.“說數(shù)學(xué)”的內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)知識主要是數(shù)學(xué)基本事實、概念、原理、法則等.學(xué)生運用普通語言和數(shù)學(xué)語言描述和展示自己對數(shù)學(xué)現(xiàn)象、事實、概念、法則、定理、公式等知識的理解、把握和應(yīng)用.學(xué)生“說數(shù)學(xué)”需要經(jīng)歷下面過程：熟練說出數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容，用飽含著自己體驗的語言表達數(shù)學(xué)知識，能多方位對概念進行解釋，說出知識點的內(nèi)涵和外延，說出與相似知識點的聯(lián)系、區(qū)別以及這類概念的易混淆之處，最后利用準確的數(shù)學(xué)語言表達數(shù)學(xué)知識.在這一過程中，經(jīng)過爭辯、互動、小組交流等方式學(xué)生逐步形成共識，加深對數(shù)學(xué)知識的理解.

此外，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)概念、理論的相互聯(lián)系和本質(zhì)所在，是貫穿于數(shù)學(xué)的、具有一定概括性的概念，一直貫穿于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和問題解決的過程之中.學(xué)生“說數(shù)學(xué)”主要是說出用到的數(shù)學(xué)思想方法，并能在不同知識和背景下，提煉共同的數(shù)學(xué)思想方法.通過這個過程，學(xué)生加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解，從而能夠提高自身靈活遷移理解數(shù)學(xué)知識的能力.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，加強初中學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)很重要.只要我們在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識加強這方面的思考與探索，圍繞著加強學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)，采取切實有效的措施，就會收到好的理解效果.