張鈺婷

類比推理是理解新問(wèn)題、拓展新領(lǐng)域的重要手段.波利亞曾說(shuō)：“如果沒(méi)有相似推理，那么無(wú)論是在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來(lái)可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無(wú)從發(fā)現(xiàn).”開(kāi)普勒也說(shuō)：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中尤其不能忽視它.”

以下是類比推理的應(yīng)用舉例.

類比推理具有探索真理，發(fā)現(xiàn)真理的作用，是科學(xué)創(chuàng)造中的一個(gè)重要思想方法.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中若注意自覺(jué)運(yùn)用類比推理的方法，將對(duì)拓展思維、培養(yǎng)理解能力、增強(qiáng)解題能力等方面有重大的意義.類比推理具有思維、理解、解題功能.既然類比推理如此重要，那么到底在數(shù)學(xué)中有什么應(yīng)用呢？

1.類比推理在圓錐曲線中的應(yīng)用

圓錐曲線中，圓、橢圓、雙曲線在定義的時(shí)候都是通過(guò)到定點(diǎn)的距離來(lái)定義的，它們之間的很多性質(zhì)通過(guò)類比也可以得到.

例如：由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系類比得到點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系.

由圓的概念易得點(diǎn)P與圓O的三種位置關(guān)系：

點(diǎn)P在圓上，則|PO|=r（r為圓O的半徑）；

點(diǎn)P在圓外，則|PO|>r；

點(diǎn)P在圓內(nèi)，則|PO|

由上述結(jié)論可以看出，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)常數(shù)（半徑）有關(guān)，那么，橢圓中的兩個(gè)定點(diǎn)（即焦點(diǎn)）與一個(gè)常數(shù)（即2a）有關(guān)，應(yīng)用類比推理，是否得到橢圓中的類似結(jié)論？

由類比，我們?nèi)菀椎玫饺缦碌牟孪耄?/p>

若點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|+|PF2|=2a；

若點(diǎn)P在橢圓外，則|PF1|+|PF2|>2a；

若點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，則|PF1|+|PF2|<2a.

下面我們來(lái)驗(yàn)證或證明這個(gè)結(jié)論的正確性.根據(jù)橢圓的概念容易知道：

若點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|+|PF2|=2a成立；

若點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，連接F1P并延長(zhǎng)交橢圓于Q，則

|PF1|+|PF2|<|QF1|+|QF2|=2a.

同理，可以證明出點(diǎn)P在橢圓外的結(jié)論.

2.類比推理在幾何中的應(yīng)用

類比推理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用最能得到很好的體現(xiàn)的就是在幾何中的應(yīng)用.空間三維中的很多性質(zhì)，往往都能在平面中找到相類似的性質(zhì)，這給立體幾何的學(xué)習(xí)帶來(lái)了方便.

例如：在平面幾何中，有勾股定理：設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐A-BCD的側(cè)面積與底面積之間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，且面積分別是S1、S2、S3，△BCD的面積是S，則S與S1、S2、S3之間的關(guān)系是”.

分析聯(lián)想勾股定理的證明過(guò)程：

如圖1，作CE⊥AB于E，利用投影定理得

BC2+AC2=BE·AB+AE·AB=AB2.

根據(jù)平面的解題方法，類比空間圖形的做法，作截面（圖2），所以

S21+S22+S23=14（BC2·AE2+AD2·AC2+AB2·AD2）

=14（BC2·AE2+AD2·BC2）=14BC2·DE2=S2，

即S2=S21+S22+S23.

又例如：設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，且AB=a，Ac=b，則內(nèi)切圓的半徑r=aba+b+a2+b2.

類比到空間，得“三棱錐A-BCD中，三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，且面積分別是S1、S2、S3，則三棱錐的內(nèi)切球的半徑是多少？”

分析本題顯然要將空間幾何類比到平面幾何，首先分析一下平面△ABC內(nèi)切圓半徑的求解方法：

因?yàn)椤鰽BC的兩邊AB、AC互相垂直，且AB=a，AC=b，

根據(jù)三角形面積的兩種不同表示方法，得

12ar+12br+12a2+b2r=12ab，

則r=aba+b+a2+b2.

在三棱錐A-BCD中，設(shè)三條側(cè)棱分別為AB=a，AC=b，AD=c，底面△BCD的面積為S，由于三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，且面積分別是S1，S2，S3，由上例我們可以得到S2=S21+S22+S23.

又三棱錐A-BCD中，以內(nèi)切球的圓心為頂點(diǎn)，三棱錐A-BCD的四個(gè)面為底面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和等于三棱錐A-BCD的體積，從而有

13S1r+13S2r+13S3r+13S21+S22+S23=13×12abc.

由于12ab=S1，12bc=S2，12ac=S3，

得12abc=2S1S2S3，

即r=2S1S2S3S1+S2+S3+S21+S22+S23.

從上面類比推理的應(yīng)用中，我們可以看到，無(wú)論是在代數(shù)中還是在立體幾何中，不論是關(guān)于概念，還是關(guān)于性質(zhì)和結(jié)論，都運(yùn)用到了類比推理的方法.近年來(lái)，中學(xué)教學(xué)中，又加重了類比推理思想的比重，可見(jiàn)類比推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著越來(lái)越重要的地位.那么怎么培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中像演繹推理一樣順暢的應(yīng)用呢？1、注重知識(shí)的積累，完善自身知識(shí)體系雖然說(shuō)，教師是學(xué)校教育系統(tǒng)中，最重要的因素，在與學(xué)生的授受關(guān)系中，教師處于主導(dǎo)的地位.學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)成，大部分是依靠教師的親口傳授.但是，知識(shí)的吸收、內(nèi)化、形成知識(shí)系統(tǒng)還是由學(xué)生自身來(lái)完成.在發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、創(chuàng)新解題時(shí)，教師通常會(huì)進(jìn)行引導(dǎo)、組織學(xué)生運(yùn)用類比推理的思想去解決，這時(shí)，學(xué)生就要注重知識(shí)和方法的積累.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已有的知識(shí)水平對(duì)類比能否順利實(shí)施開(kāi)展起決定作用，只有有了相關(guān)知識(shí)，才使類比推理的發(fā)現(xiàn)有了可能.只有頭腦中有完整的知識(shí)體系，在碰到新問(wèn)題時(shí)，才能從體系中，抽取出與新知識(shí)具有聯(lián)系的已學(xué)知識(shí).因此，在遇到問(wèn)題時(shí)，要盡量思考，探索新穎的解題方式，而不是形成思維定勢(shì)，這樣不利于類比推理能力的培養(yǎng).2、 創(chuàng)設(shè)類比問(wèn)題情境，加強(qiáng)練習(xí)模仿在培養(yǎng)操作技能時(shí)，模仿了之后，我們就要進(jìn)行反復(fù)的訓(xùn)練，使之達(dá)到熟練的程度，同樣，類比推理能力的培養(yǎng)，也需要這樣的練習(xí)，那就是多經(jīng)歷這樣的類比問(wèn)題情境.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會(huì)適時(shí)的創(chuàng)設(shè)類比推理的問(wèn)題情境，并且在講解過(guò)程中，會(huì)將思維過(guò)程和每一個(gè)環(huán)節(jié)展示給學(xué)生，讓學(xué)生能夠形象具體的感受到類比推理的思想.教師在教學(xué)中會(huì)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，不僅如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要盡量自己創(chuàng)設(shè)情境，增加練習(xí)的機(jī)會(huì).現(xiàn)在的新教材中，很注重理論練習(xí)實(shí)際這一點(diǎn)，每節(jié)內(nèi)容中，都涉及到生活的實(shí)例，學(xué)生可以從這些實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，類比得到一些數(shù)學(xué)知識(shí).另外，數(shù)學(xué)教材的編排是按照知識(shí)的發(fā)展和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來(lái)編排的，這樣有利于前后知識(shí)的類比.3、 學(xué)習(xí)過(guò)程中注重變式學(xué)習(xí)應(yīng)該說(shuō)變式教學(xué)是中國(guó)教學(xué)中的成功環(huán)節(jié)，通過(guò)變式的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生分析、提煉出表象后面相同本質(zhì)的東西，通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的潛移默化的影響，培養(yǎng)分析問(wèn)題的意識(shí)和能力，從而加強(qiáng)自身進(jìn)行主動(dòng)類比的能力.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)中，對(duì)于變式學(xué)習(xí)，要加以重視，只有這樣才會(huì)在遇到新的問(wèn)題時(shí)，站在一定的高度去認(rèn)識(shí)、把握問(wèn)題，才能有自己獨(dú)特的想法.4、開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)，增進(jìn)交流中學(xué)生的思維還不成熟、不完善，演繹推理對(duì)他們已經(jīng)有一定的難度，類比推理對(duì)他們的要求可能相對(duì)更高了，有時(shí)，單靠學(xué)生自己在短時(shí)間內(nèi)事很難發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系并解決問(wèn)題.所以，學(xué)生在自我學(xué)習(xí)的時(shí)候要更多的和身邊的同學(xué)組成小組，一起進(jìn)行探究.俗話說(shuō)：“三個(gè)臭皮匠勝過(guò)一個(gè)諸葛亮”，通過(guò)小組成員間的討論，使大家的思維都活躍起來(lái)，通過(guò)小組的合作去提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、構(gòu)建知識(shí).這樣，不僅解決了問(wèn)題，在訓(xùn)練自己的類比推理的同時(shí)也增加了其他人進(jìn)行類比思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì).在合作學(xué)習(xí)中，共同提高類比推理能力.5、注重題后反思許多學(xué)生在解決完問(wèn)題后，就不會(huì)去思考什么，特別是那些有難度的問(wèn)題，學(xué)生往往會(huì)沉醉在成功解題的興奮中，但不會(huì)再回過(guò)頭去研究問(wèn)題.而題后反思恰恰是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié).將所解問(wèn)題與之前所學(xué)知識(shí)或者已經(jīng)解決的問(wèn)題，放在一起思考，或許能找到些共同點(diǎn)和聯(lián)系之處，這樣，在以后的學(xué)習(xí)中，遇到類似的問(wèn)題，就能很快發(fā)現(xiàn)與之相類似的問(wèn)題，通過(guò)類比，最終解決問(wèn)題.