趙金龍

全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)與人類(lèi)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，特別是隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面.數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.課程內(nèi)容也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法.課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索.使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

下面結(jié)合教科書(shū)借助所學(xué)過(guò)的知識(shí)，就不可度量的物體寬度、長(zhǎng)度、高度的求法作一探導(dǎo).

方法一構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的原理來(lái)求不可度量的距離.

例題1（人教版新課程八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）P9例題）如圖1，有一個(gè)池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=CA，連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離.為什么？

理由：在△ABC和△DEC中，

CA=CD，

∠1=∠2，

CB=CE，所以△ABC≌△DEC（SAS），所以AB=DE.

例題2（人教版新課程八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）P13例題）如圖2，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線(xiàn)BF上取兩點(diǎn)C、D，使BC=CD，再畫(huà)出BF的垂線(xiàn)DE，使E與A、C在一條直線(xiàn)上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).為什么？

理由：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，

BC=CD，

∠ACB=∠ECD，

所以△ABC≌△EDC（ASA），

所以AB=DE.

方法二利用函數(shù)關(guān)系式來(lái)求出不可度量的高.

例題3（人教版新課程八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）P76、練習(xí)T9改編）自由下落物體的高度h（單位：米）與下落時(shí)間t（單位：秒）的關(guān)系是h=4.9t2，如圖3，有一物從樓頂上自由落下，它到達(dá)地面的時(shí)間為5秒，則此建筑物的高度是多少？

解h=4.9×52=4.9×25

=122.5（米）.

因此，此建筑物的高度為122.5米.

方法三構(gòu)造出兩個(gè)三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的原理來(lái)求不可度量的距離.

例題4（人教版新課程九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）P49例題）據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線(xiàn)構(gòu)造出兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度.如圖4，木桿EF長(zhǎng) m，它的影長(zhǎng)為3 m，測(cè)得OA為201 m，求金字塔的高度BO.

解太陽(yáng)光是平行光線(xiàn)，因此∠BAO=∠EDF，

又因?yàn)椤螦OB=∠DFE=90°，所以△ABO∽△DEF，

BOEF=OAFD，所以BO=OA·EFFD=201×23≈134 m.

因此金字塔的高約為134米.

例題5（人教版新課程九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）P50例題）如圖5，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線(xiàn)且直線(xiàn)PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線(xiàn)a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線(xiàn)b的交點(diǎn)R，如果測(cè)得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的寬度PQ.

解因?yàn)椤螾QR=∠PST=90°，∠P=∠P，

所以△PQR∽△PST，PQPS=QRST，QPQP+45=6090，

解得PQ=90.因此河寬大約為90米.

方法四構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的三角函數(shù)關(guān)系來(lái)求不可度量的距離.

例題6（人教版新課程九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）P92例題）熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120 m，這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到0.1 m）

解如圖6所示，

α=30°，β=60°，AD=120，

因?yàn)閠anα=BDAD，tanβ=CDAD，

所以BD=ADtanα=120tan30°

=120×33=403，

所以CD=ADtanβ=120tan60°=120×3=1203，

所以BC=BD+CD=403+1203=1603≈277.1.

答：這棟樓高約為277.1 m.

例題7（人教版新課程九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）P93例題）如圖8，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到0.01海里）

解如圖7，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥AB，垂足為C.

在Rt△APC中，

PC=PAcos（90°-65°）=80cos25°≈80×0.91=72.8.

在Rt△BPC中，∠B=34°，因?yàn)閟inB=PCPB，

所以PB=PCsinB=72.8sin34°≈72.80.559≈130.23.

答：這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P約有130.23海里.