張文

緣起——我怎么就錯了

“面積的變化”習(xí)題

圖1是一塊梯形地的平面圖，比例尺是1：20000，量出圖上的上底是1厘米，下底是2厘米，高是3厘米。這塊地的實(shí)際面積是多少平方米？

順生A所指，卷面上的解法簡潔而干脆：（1+2）×3÷2=4？郾5（平方厘米），4？郾5×20000=90000（平方厘米）=9（平方米）。

困局——這種解法也沒錯

顯然，前文結(jié)果與實(shí)際面積相差甚遠(yuǎn)，筆者在批閱試卷后發(fā)現(xiàn)錯誤率達(dá)28%。難道學(xué)生不會根據(jù)求得的結(jié)果做出辨析、判斷正誤嗎？剛剛學(xué)完“面積的變化”一課，學(xué)生對面積的變化規(guī)律爛熟于胸：如果把一個圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前的面積比是n2∶1，或者說如果把一個圖形的邊擴(kuò)大n倍，面積就擴(kuò)大n2倍。

習(xí)題講評時，筆者先呈現(xiàn)該題的正確解法：1×20000=20000（厘米）=200（米），2×20000=40000（厘米）=400（米），3×20000=60000（厘米）=600（米），（200+400）×600÷2=180000（平方米）。

筆者希望以正確的學(xué)生的思路，來“指正”那些“誤解”的學(xué)生，過程順暢而自然，全班學(xué)生都認(rèn)為這種解法合情合理。但當(dāng)筆者相機(jī)拋出生A的解法時，學(xué)生又認(rèn)為生A的做法也符合基本思考方向，在方法上是大同小異的，這種解法并沒有錯。

學(xué)生們拋出了“最充分”的理由：一種方法是根據(jù)比例尺，把這三條邊各擴(kuò)大20000倍，先求出梯形地的上底、下底和高的實(shí)際長度，然后來求實(shí)際面積；生A的做法是先求出圖上面積，然后把圖上面積擴(kuò)大20000倍，異曲同工，可為什么結(jié)果就不同了呢？僵局就此形成。

筆者思考，此種類型的問題已出現(xiàn)多次，大多是給出圖上的長方形、正方形或圓形的平面圖以及對應(yīng)的比例尺，計(jì)算實(shí)際面積，相對比較簡單。為此，筆者做了反復(fù)強(qiáng)調(diào)和硬性規(guī)定，要求先求出實(shí)際長度，再根據(jù)實(shí)際長度求實(shí)際面積。固定的解法，已成模式，學(xué)生求解也是得心應(yīng)手。但是為什么要先求出實(shí)際長度，再求實(shí)際面積，卻偶有涉及。筆者認(rèn)為學(xué)習(xí)過“面積的變化“一課后，學(xué)生應(yīng)該能明了其中的原委。

重構(gòu)——基于學(xué)生思維的再認(rèn)識

面對這樣的“困局”，筆者重設(shè)教學(xué)路徑開始了與學(xué)生的重新對話，以期突破面臨的思維桎梏。

一、基礎(chǔ)鋪墊

出示習(xí)題

1. 一個長方形長是3厘米，寬是2厘米，把它的長和寬擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大（ ）倍。

2. 把一個圓的半徑擴(kuò)大3倍，面積擴(kuò)大（ ）倍。

二、呼應(yīng)提升

1. 把一個邊長是6厘米的正方形的邊長擴(kuò)大200倍，面積擴(kuò)大多少倍？

2. 一塊三角形果園，按1：300的比畫在圖紙上，底是4厘米，高是3厘米。實(shí)際面積是圖上面積的多少倍？

師：你們覺得結(jié)果該是多少呢？

生：300倍。

生：不對，應(yīng)該是90000倍。

生：我覺得應(yīng)該先來算一算圖上面積和實(shí)際面積，才能得到結(jié)果。

師：那我們不算能得到結(jié)果嗎？

生：不用算！

師：說說你的想法。

生：這題，其實(shí)和前面的題目完全是同類型的，“按1∶300的比畫在圖紙上”，意思就是說實(shí)際長度是圖上長度的300倍，不信，我可以換一種意思說——把一個底是4厘米，高是3厘米的三角形，擴(kuò)大300倍，面積擴(kuò)大多少倍？

師：到底擴(kuò)大多少倍呢？

生：90000倍。

師：為什么呢？相信大家已經(jīng)在完全理解這題的意思后，與我們早前學(xué)習(xí)的規(guī)律對應(yīng)起來了。不過，下面我還是想請同學(xué)們通過計(jì)算驗(yàn)證下。

生：我先算出圖上的面積，4×3÷2=6平方厘米；再計(jì)算實(shí)際的面積，先要把底和高擴(kuò)大300倍，求出實(shí)際長度，（4×300）×（3×300）÷2=540000平方厘米，540000÷6=90000，確實(shí)是90000倍。

師：如果把一個圖形的邊擴(kuò)大n倍，面積就擴(kuò)大n2倍。我們再次進(jìn)行了驗(yàn)證。

三、遷移拓展

師：那我們再回到那道梯形問題上來，大家還想說些什么？

生：求梯形地的實(shí)際面積，我們可以根據(jù)比例尺求出上底、下底和高的實(shí)際長度，再求實(shí)際面積。

師：那大家想對生A的解法說些什么呢？

生：你的方法不完善，按照我們的驗(yàn)證，根據(jù)面積的變化規(guī)律，求出了圖上面積，應(yīng)該把圖上面積擴(kuò)大200002倍才是梯形菜地的面積。所以你可以這樣算——（1+2）×3÷2=4？郾5（平方厘米），4？郾5×20000×20000=1800000000（平方厘米）=180000（平方米）。

計(jì)算“這塊梯形地的面積”，本是規(guī)律的順承運(yùn)用，可從平常基本的練習(xí)路徑來看，較多的是涉及“把一個基本圖形的邊長擴(kuò)大n倍，面積擴(kuò)大多少倍？”而且n一般是在10以內(nèi)的自然數(shù)。此種類型的題目，只要規(guī)律的簡單套用，學(xué)生便能毫無困難地解決，但當(dāng)面對上述“三角形果園”之例，學(xué)生接觸不多，規(guī)律內(nèi)化不夠，出現(xiàn)生A般誤解也在常理之中?！扒蟪鰣D上面積，再根據(jù)比例尺求出實(shí)際面積”，實(shí)際上是忽略了規(guī)律自身的內(nèi)核，本質(zhì)上是對規(guī)律內(nèi)在的聯(lián)系不甚通曉，也可以說是思維紐帶的斷裂。

啟示——重新演繹故事里的“事”

通過此例，筆者思考，日常還是缺少教與學(xué)之間的一份應(yīng)然通融，未能促成學(xué)生凌空而懸的思維真正“著陸”。

1. 突破“我要的是葫蘆”的狹隘短見。

明明是學(xué)生在學(xué)習(xí)中會遇到的“盲點(diǎn)”，思考中遇阻的“斷層”，教師在教學(xué)中卻視而不見，為追求結(jié)果不關(guān)注細(xì)節(jié)，正是教師平常的教學(xué)活動中頻繁發(fā)生的案例，以己度人，卻忽略了學(xué)生是需要我們關(guān)照而拔節(jié)成長的?！跋惹蟪鰣D上面積，再把圖上面積擴(kuò)大20000倍就可以求出梯形地的實(shí)際面積”，印證了病癥所在。邊線變而面積變，雖有規(guī)律護(hù)航，但規(guī)律的形成需要一個實(shí)實(shí)在在的“探理”過程。規(guī)律掌握但應(yīng)用混亂，歸根結(jié)底，是規(guī)律未能形成思維，自然不能加以有效應(yīng)用。教學(xué)應(yīng)該在充分的預(yù)設(shè)中，正視學(xué)生的困難，做到在預(yù)見中遇見，讓學(xué)生經(jīng)歷自己的研究和探索過程，通過必要的變式，嘗試“磨研思辨”的全方位驗(yàn)證，把知識前后貫通起來，把問題的解決當(dāng)作錘煉思維的提升過程，演繹出新版的“我要的是葫蘆”的動人故事。

2. 無懼“亡羊補(bǔ)牢”救贖。

教師大都會在自己“固有”思維的認(rèn)識下，使課堂偏離教學(xué)預(yù)期，收到適得其反的效果，這并不可怕，教師需要做的是及時反思自己的教學(xué)行為，調(diào)整自身的教學(xué)策略，深入透徹地認(rèn)知知識的生發(fā)點(diǎn)和聯(lián)結(jié)點(diǎn)，同時跟進(jìn)學(xué)生的思維動向，了解他們的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，在學(xué)生的思維盲點(diǎn)、知識斷層處，相機(jī)架起貫通的橋梁，教與學(xué)就不會脫節(jié)，練與用也能趨于相承有度。智者無懼，“亡羊補(bǔ)牢”未嘗不是一個教師的勵志故事。

教師，需要用審慎的態(tài)度，直面學(xué)生；教學(xué)，需要理性地走進(jìn)課堂，緊隨學(xué)生左右，切準(zhǔn)學(xué)生思維的韻律前行。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)潘家小學(xué)）