張和平

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）把“幾何直觀”增列為核心概念，但是據(jù)筆者了解發(fā)現(xiàn)，很多小學(xué)教師對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第一學(xué)段關(guān)于幾何直觀的目標(biāo)要求有些疑惑，即在第一學(xué)段的目標(biāo)中如何明確“幾何直觀”的要求？這確實(shí)是不能回避的問(wèn)題，在此作為一個(gè)引子提出來(lái)供大家討論。

一、 《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》和新教材的文本分析

1.《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》的表述

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》[1]指出，在義務(wù)教育階段教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，認(rèn)識(shí)和理解“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用”這一點(diǎn)是非常重要的。它表明，（從內(nèi)容上）我們不僅要在幾何內(nèi)容教學(xué)中重視幾何直觀，在整個(gè)數(shù)學(xué)教育中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)該貫穿義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的始終。從學(xué)段上講，是指第一、二、三學(xué)段中幾何直觀“都發(fā)揮重要作用”，甚至高中和大學(xué)。

2.小學(xué)第一學(xué)段新數(shù)學(xué)教材文本呈現(xiàn)

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“教材編寫建議”中指出：“對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生，可以采用圖片、游戲、卡通、表格、文字等多種方式，直觀形象、圖文并茂、生動(dòng)有趣地呈現(xiàn)素材，提高他們的學(xué)習(xí)興趣?！盵2]因此，直觀素材在教材中呈現(xiàn)出多種形式，并且作用也不一樣。例如，在西師版[3]一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)“11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，通過(guò)捆一捆、撥一撥、說(shuō)一說(shuō)、寫一寫等活動(dòng)（圖1）來(lái)認(rèn)識(shí)“數(shù)位”（即個(gè)位和十位）。在69頁(yè)的“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”中，設(shè)計(jì)蛙跳圖文簡(jiǎn)易圖（圖2）讓學(xué)生掌握9+8的加法計(jì)算。事實(shí)上，把問(wèn)題設(shè)計(jì)成一個(gè)行程問(wèn)題，第一次蛙跳了9格，第二次蛙跳了8格，學(xué)生通過(guò)數(shù)格子的方式，計(jì)算出9+8的得數(shù)。

圖2

又如，在西師版一年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)“100以內(nèi)的加法和減法（二）”中，通過(guò)捆一捆、擺一擺、看一看、寫一寫、議一議等活動(dòng)，設(shè)計(jì)實(shí)物直觀和豎式算的符號(hào)直觀或圖形直觀相結(jié)合，了解、認(rèn)識(shí)對(duì)位和進(jìn)位加法，讓學(xué)生明白進(jìn)位加法的算理。

因此，對(duì)小學(xué)第一學(xué)段新數(shù)學(xué)教材的分析發(fā)現(xiàn)，幾何直觀不僅在這一學(xué)段出現(xiàn)，而且學(xué)生已經(jīng)可以通過(guò)各種形式，借助圖形描述，思考及分析簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體涉及數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率和綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域內(nèi)容。

二、 專家、一線小學(xué)教師及教研員的觀點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)教育專家的觀點(diǎn)

“幾何直觀”增設(shè)為《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心概念后，很多數(shù)學(xué)教育專家都在關(guān)注并著文探討。孔凡哲、史寧中認(rèn)為，學(xué)生在解決行程問(wèn)題時(shí)用的線路圖，就是一種簡(jiǎn)約的、符號(hào)化的直觀圖示。[4]秦德生把幾何直觀分為實(shí)物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示三種形式。其中，實(shí)物直觀演示既可以是實(shí)際存在物，如球體、柱體、長(zhǎng)方形、梯形、圓等，也可以借助計(jì)算機(jī)、投影儀等輔助性工具演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作，感受和探索圖形的特征。圖形直觀操作分動(dòng)手操作和運(yùn)動(dòng)操作，動(dòng)手操作主要是折紙、展開、折疊、拼擺、密鋪等活動(dòng)，運(yùn)動(dòng)操作包括平移、旋轉(zhuǎn)、反射等運(yùn)動(dòng)[5]。

2.一線教師、教研員的認(rèn)識(shí)和做法

蔡宏圣認(rèn)為[6]，對(duì)幾何直觀中圖形的理解可以寬泛些，而且更為重要的是能夠表征數(shù)學(xué)關(guān)系，有些圖也往往具有數(shù)學(xué)的模型性。比如，用語(yǔ)言文字表述“一把尺子6元，3把尺子18元”或“一個(gè)小組4人，3個(gè)小組12人”時(shí)，小學(xué)生理解比較費(fèi)勁，而用幾何直觀的圖形語(yǔ)言表示將更清晰（圖3）。這樣的圖示可以用來(lái)表示其他具有3倍關(guān)系的兩種量，具有數(shù)學(xué)模型價(jià)值，比起符號(hào)語(yǔ)言來(lái)，有形可視。

華旦玲認(rèn)為[7]，小學(xué)生從低年級(jí)就開始學(xué)習(xí)“解決實(shí)際問(wèn)題”，但是他們的思維水平處于形象思維階段，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借其直觀性特點(diǎn)，在解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用。如在一年級(jí)“排隊(duì)問(wèn)題”中，針對(duì)同學(xué)們排隊(duì)的兩類情況：（1）小紅前面有4人，后面有5人；（2）從前面數(shù)小紅排在第4個(gè)，從后數(shù)排在第5個(gè)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫如圖4所示的圖形來(lái)幫助理解。在圖4中，用兩種顏色圓圈區(qū)分了小紅和其他同學(xué)，一目了然，而且準(zhǔn)確地表達(dá)出“幾”和“第幾”的不同。這樣設(shè)計(jì)，不僅有利于學(xué)生掌握知識(shí)，而且還讓一年級(jí)學(xué)生能“感受幾何直觀的作用”。

綜上分析，專家認(rèn)為小學(xué)生可以通過(guò)利用簡(jiǎn)約直觀符號(hào)、直觀圖示（如線路圖）來(lái)解決行程問(wèn)題等。當(dāng)前的一線教師和教研員不僅認(rèn)為小學(xué)低段課標(biāo)目標(biāo)應(yīng)該對(duì)幾何直觀有要求，而且他們正在利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)、解釋比較難理解的算理原理、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生“初步感受幾何直觀的作用”，積極培養(yǎng)小學(xué)生的幾何直觀思維能力。

三、 關(guān)于第一學(xué)段課程目標(biāo)對(duì)幾何直觀要求的分析

對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的分析不難發(fā)現(xiàn)，各學(xué)段對(duì)“幾何直觀”的目標(biāo)要求是不同的。

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的總目標(biāo)對(duì)三個(gè)學(xué)段作了籠統(tǒng)介紹，即對(duì)課程的要求是：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維”。在學(xué)段目標(biāo)闡述中，第一學(xué)段在“數(shù)學(xué)思考”中的目標(biāo)要求是：“在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運(yùn)動(dòng)和位置的過(guò)程中，發(fā)展空間觀念”；第二學(xué)段的要求是：“初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號(hào)和幾何直觀的作用”；第三學(xué)段是：“經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程，初步建立幾何直觀”。

從上述分析發(fā)現(xiàn)，總目標(biāo)的“初步形成幾何直觀”是籠統(tǒng)的，可以理解為整個(gè)義務(wù)教育中最終（視為第三學(xué)段）初步形成的幾何直觀能力。從各學(xué)段目標(biāo)的表述中發(fā)現(xiàn)，學(xué)段目標(biāo)對(duì)“幾何直觀”的要求是：發(fā)展空間觀念（第一學(xué)段）——感受幾何直觀的作用（第二學(xué)段）——初步建立幾何直觀（第三學(xué)段）?！稑?biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的目標(biāo)要求這樣安排，很好地體現(xiàn)了課程目標(biāo)是“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)”要求，符合“逐步提高、螺旋上升”的知識(shí)發(fā)展規(guī)律。但在第一學(xué)段是否對(duì)“幾何直觀”有要求？是否有必要提出要求？下面就對(duì)這些問(wèn)題做一些探討。

1.在第一學(xué)段課標(biāo)已暗含幾何直觀的要求

在第一學(xué)段“數(shù)學(xué)思考”中的目標(biāo)要求是：“在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運(yùn)動(dòng)和位置的過(guò)程中，發(fā)展空間觀念”。這句話對(duì)幾何直觀已經(jīng)提出要求。一方面，“從物體中抽象出幾何圖形”是幾何直觀思維活動(dòng)的基礎(chǔ)，沒(méi)有“幾何圖形”哪來(lái)“利用圖形描述和分析問(wèn)題”？因此，把物體抽象成幾何圖形，掌握基本的幾何圖形知識(shí)是小學(xué)第一學(xué)段“圖形與幾何”課程學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一。另一方面，從目標(biāo)要求中可知，主要是“發(fā)展空間觀念”。事實(shí)上，空間觀念是幾何直觀發(fā)展的基礎(chǔ)，他們共同構(gòu)成“圖形與幾何”課程的主要目標(biāo)。劉曉玫認(rèn)為，“具備良好的空間觀念對(duì)發(fā)展幾何直觀能力會(huì)起到積極的作用。能夠恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用圖形分析描述問(wèn)題，想象是很重要的，雖然其中還有很多其他影響因素。正是由于這樣的原因，在對(duì)空間觀念所反映的一些具體要求的有些表述中，會(huì)提到幾何直觀，或數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問(wèn)題的幾何解釋等?！盵8]孔凡哲等也認(rèn)為，“幾何直觀與空間觀念有重疊的成分，諸如，‘根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體等?！瓗缀沃庇^與空間觀念在幾何活動(dòng)中共同發(fā)揮作用?！盵4]因此，基于上述分析，第一學(xué)段的課程目標(biāo)對(duì)“幾何直觀”已經(jīng)提出了要求。

2.進(jìn)一步的討論

從前面的分析中知道，在第一學(xué)段課程目標(biāo)中已經(jīng)對(duì)幾何直觀提出明確的要求。但從教材分析、專家認(rèn)識(shí)和教師教學(xué)等可知，在小學(xué)第一學(xué)段不僅僅是學(xué)習(xí)掌握幾何圖形知識(shí)，而且已經(jīng)大量出現(xiàn)了“利用圖形描述和分析問(wèn)題”的案例。針對(duì)這些事實(shí)，應(yīng)該有對(duì)幾何直觀“初步感受”的要求。

第二學(xué)段的課程目標(biāo)要求是“感受幾何直觀的作用”。關(guān)鍵動(dòng)詞是“感受”。在《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中過(guò)程目標(biāo)的行為動(dòng)詞有“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等，在《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的附錄1“有關(guān)行為動(dòng)詞的分類”中解釋“經(jīng)歷”的同類詞是“感受”“嘗試”。即“感受”等同于《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的行為動(dòng)詞“經(jīng)歷”。在《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)“經(jīng)歷”的解釋是：“在特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獲得一些感性認(rèn)識(shí)”。從這個(gè)解釋中發(fā)現(xiàn)，課程目標(biāo)的“感受幾何直觀的作用”要求是非常低的。在第一學(xué)段學(xué)生有“先驗(yàn)的直觀物質(zhì)基礎(chǔ)”“先天直觀形式”，在課堂上教師已經(jīng)大量使用“實(shí)物直觀”進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能夠使用幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題變成直觀形象，利用圖形認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、描述和分析問(wèn)題，利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)等。盡管第一學(xué)段的學(xué)生幾何直觀思維能力還是低水平的，表現(xiàn)為實(shí)物化、可視化、單一化、規(guī)則化等特點(diǎn)，但是，學(xué)生能夠“初步感受幾何直觀的作用”是沒(méi)有問(wèn)題的，學(xué)生有足夠的能力達(dá)到這個(gè)要求。換句話說(shuō)，小學(xué)第一學(xué)段學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)后能夠達(dá)成“感受幾何直觀的作用”的目標(biāo)要求。

從上述分析中可知，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中我們可以放心地按照教材要求、結(jié)合學(xué)生的實(shí)際需要實(shí)施教學(xué)，不必?fù)?dān)心小學(xué)第一學(xué)段數(shù)學(xué)課標(biāo)沒(méi)有明確對(duì)“幾何直觀”提出要求而害怕超綱、束縛我們的課堂教學(xué)。

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【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】