楊湘豫

(湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,長沙 410082)

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“均值”的延拓式教學(xué)設(shè)計(jì)

楊湘豫

(湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,長沙 410082)

摘 要:對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的 “均值”的教學(xué),教師不僅要訓(xùn)練學(xué)生對“均值”的計(jì)算能力,而且要重視學(xué)生理解“均值”的實(shí)際意義以及相關(guān)知識的拓展方面的教學(xué).本文針對“均值”概念及其運(yùn)用的教學(xué)環(huán)節(jié),給出了與“均值”相關(guān)聯(lián)的其它的“數(shù)字特征”的延拓式的教學(xué)設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞:均值; 數(shù)字特征; 延拓式; 教學(xué)設(shè)計(jì)

1　延拓性教學(xué)方法的含義及意義

延拓性教學(xué),它不是局限于對某個(gè)知識點(diǎn)的一般含義的獨(dú)立講解,而是將該知識點(diǎn)的認(rèn)知拓展到與其聯(lián)系著的其它知識點(diǎn),使學(xué)生能夠?qū)φ莆盏闹R舉一反三,養(yǎng)成思考式的主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣,學(xué)生不再是知識的被動接受者.延拓性教學(xué)方法極大地提升了學(xué)生的分析問題與解決問題的能力.筆者在近30年的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)過程中,一直采用啟發(fā)式及延拓式的教學(xué)方法,學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情大大提高.以下是筆者對“均值”這一知識點(diǎn)的延拓式教學(xué)設(shè)計(jì).

2　“均值”(或“數(shù)學(xué)期望”)的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 “數(shù)學(xué)期望”的定義

我們采取易于理解的直觀教學(xué)方式,從n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均入手,給出離散型隨機(jī)變量X的均值(或數(shù)學(xué)期望)的概念.同時(shí)比較算術(shù)平均與隨機(jī)變量X的均值的區(qū)別,以更好地理解數(shù)學(xué)期望的意義.

離散型的隨機(jī)變量的情形[1].

連續(xù)型的隨機(jī)變量的情形.

為連續(xù)型的隨機(jī)變量的的數(shù)學(xué)期望.

由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念,不難獲得由數(shù)學(xué)期望延拓的隨機(jī)變量的數(shù)字特征.

2.2 方差Var(X)(或D(X))的刻畫

Var,即方差(Variance),是概率統(tǒng)計(jì)中一個(gè)非?；A(chǔ)的重要概念,用于表示隨機(jī)變量相對于其平均值(即數(shù)學(xué)期望)的偏離程度,已被廣泛地應(yīng)用到許多實(shí)際問題的分析中.[X- E(X)]稱為隨機(jī)變量X的離差,利用離差的平方來刻畫隨機(jī)變量X偏離其數(shù)學(xué)期望的E(X)的程度.

方差Var(X)的表達(dá)式為

從方差Var(X)的表達(dá)式可知,方差是離差平方的期望,屬于期望的范疇.

2.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的意義

數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)反映隨機(jī)變量X及Y各自的均值,Var(X)、Var(Y)反映隨機(jī)變量X及Y各自偏離其數(shù)學(xué)期望的程度.當(dāng)論及隨機(jī)變量X及Y的相互關(guān)系時(shí),就需要知道協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念.協(xié)方差在一定程度上反映了X與Y之間的關(guān)系,但它受到度量單位的約束.為了克服這一缺陷,將協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化,即可得相關(guān)系數(shù)ρXY.相關(guān)系數(shù)ρXY刻畫了X與Y之間的線性相關(guān)程度.

從協(xié)方差Cov(X ,Y)的表達(dá)式可知,協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量X及Y離差之積的期望,也屬于數(shù)學(xué)期望的范疇.

設(shè)隨機(jī)變量X、Y ,且Var(X)＞ 0,Var(Y)＞ 0,則稱X*、Y*為隨機(jī)變量X、Y的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,其表達(dá)式為

兩個(gè)隨機(jī)變量X及Y的相關(guān)系數(shù)為

從相關(guān)系數(shù)ρXY的表達(dá)式可知,相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差,仍屬于數(shù)學(xué)期望的范疇.

2.4 變異系數(shù)、偏度、峰度[2]、矩的解釋

變異系數(shù)是用數(shù)學(xué)期望為單位去度量隨機(jī)變量取值的波動程度,變異系數(shù)的定義式為

總體偏度為

(樣本)偏度反映總體分布密度曲線的對稱性信息.當(dāng)樣本偏度大于零時(shí),分布形狀右尾長(正偏); 當(dāng)樣本偏度小于零時(shí),分布形狀左尾長(左偏).

總體峰度為

(樣本)峰度反映總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度的信息.當(dāng)樣本峰度小于零時(shí),比正態(tài)分布來得平坦.峰度不是指概率密度的峰值高低.顯然,變異系數(shù)、峰度、偏度的定義都是與“數(shù)學(xué)期望”相關(guān)聯(lián)的.

另外,由矩[1](原點(diǎn)矩、中心矩、混合矩)的概念及運(yùn)算知,它們也都?xì)w屬于隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

3　方差(Var)的延拓及Var — VaR — VAR三者的比較

在風(fēng)險(xiǎn)投資及風(fēng)險(xiǎn)管理[3]的大量文獻(xiàn)中,我們常常會遇見三個(gè)英文縮寫Var、VaR和VAR的字樣,乍看還以為它們是一樣的,因?yàn)樗鼈冊谛问缴鲜窒嗨?但事實(shí)上,它們表達(dá)的含義卻大為不同.

(1)Var,即方差(Variance),用于表示隨機(jī)變量相對于其平均值(即數(shù)學(xué)期望)的偏離程度.Var概念廣泛地應(yīng)用于許多實(shí)際問題的分析中,比如,在討論經(jīng)濟(jì)及金融時(shí)間序列的波動性問題時(shí),常用方差來反映收益率的波動情況.由于方差法度量風(fēng)險(xiǎn)方便且實(shí)用性強(qiáng),因此該方法是迄今為止最具影響和廣泛應(yīng)用的方法.

如果已知某一資產(chǎn)組合的波動程度,則可通過數(shù)據(jù)的處理得到其收益情況的平均波動.以方差衡量市場風(fēng)險(xiǎn)的公式為

其中ir為資產(chǎn)的第i種收益率,iP是與該收益率相對應(yīng)的概率.

方差有較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),尤其當(dāng)收益率服從正態(tài)分布時(shí),資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)矩陣將更容易計(jì)算,可以利用獨(dú)立資產(chǎn)的收益率方差和它們收益率之間的協(xié)方差得到.

用資產(chǎn)收益率的波動程度來描述風(fēng)險(xiǎn)雖然有一定道理,但只有收益率向下波動才可能帶來損失,因此用方差來描述風(fēng)險(xiǎn)不能完全反映風(fēng)險(xiǎn)的經(jīng)濟(jì)意義.

(2)VaR(Value at Risk),即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值,它表示的是“處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值”.VaR是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想度量風(fēng)險(xiǎn),它的定義由Jorion[4]給出,簡單描述為在一定持有時(shí)間內(nèi)在給定置信區(qū)間下資產(chǎn)的最大可能損失值.VaR方法是風(fēng)險(xiǎn)管理和風(fēng)險(xiǎn)度量的主流方法.VaR表示的是資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在市場常規(guī)波動情況下面臨的最大損失價(jià)值.在給定時(shí)間內(nèi),對應(yīng)于某一設(shè)定置信度(概率),資產(chǎn)或資產(chǎn)組合可能發(fā)生的最大損失價(jià)值,即

其中ΔP為資產(chǎn)組合在Δt時(shí)期內(nèi)的損失,VaR是給定置信度c時(shí)的在險(xiǎn)價(jià)值.

計(jì)算VaR的過程中要考慮五個(gè)因素,分別是資產(chǎn)持有時(shí)間、置信水平、數(shù)據(jù)的頻度、價(jià)值函數(shù)和分布函數(shù).這里,價(jià)值函數(shù)和分布函數(shù)是VaR計(jì)算的核心和難點(diǎn).價(jià)值函數(shù)應(yīng)用的是估值模型,該模型以資產(chǎn)價(jià)值與市場因子間的相互影響關(guān)系為依據(jù)而設(shè)定; 分布函數(shù)一般會用市場因子的波動性模型替代,是根據(jù)市場因子的未來分布確定的.通常要預(yù)先給定收益率的概率分布假定,重點(diǎn)在于對模型參數(shù)的計(jì)算.模擬方法可以直接根據(jù)模擬出的數(shù)據(jù)尋找分位數(shù)從而得到將要求解的風(fēng)險(xiǎn)值,這一過程常常是采用歷史模擬法或蒙特卡羅模擬法實(shí)現(xiàn)的.

VaR方法克服了方差(Var)法的很多不足,直接將風(fēng)險(xiǎn)刻畫為一個(gè)數(shù)字,不僅能滿足投資者對損失的直觀感受,也可以綜合反映不同證券組合、不同市場部門的風(fēng)險(xiǎn)情況.但VaR方法仍有缺點(diǎn),那就是當(dāng)市場運(yùn)行出現(xiàn)極端情況比如股市崩盤時(shí),VaR方法不再適用[4],而且VaR沒有次可加性,對此衍生出了改進(jìn)方法CVaR.

(3)VAR,向量自回歸模型[2](Vector autoregression),是根據(jù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性建立起來的模型.該模型以聯(lián)立方程的形式構(gòu)造出系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)內(nèi)生變量對所有內(nèi)生變量滯后值的函數(shù),建立起對它們之間動態(tài)關(guān)系的估計(jì),是現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)證研究中的一種主流方法.

VAR模型的應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋了房地產(chǎn)、股市等多個(gè)方面,在許多實(shí)證問題(例如中國貨幣供給決定、貨幣政策的有效性和中介目標(biāo)的選擇、潛在通貨膨脹率的度量和通脹因素的分解等問題)中,都有非常重要的應(yīng)用[5].

通過對Var、VaR和VAR三個(gè)概念的比較可知,Var(方差)和VaR是風(fēng)險(xiǎn)度量的兩個(gè)不同工具,方差法在描述金融資產(chǎn)波動性方面有很重要的應(yīng)用,因此可以方便快速地比較出幾種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)性; 而VaR方法可以給出具體的數(shù)值,解答在一定置信度下?lián)p失的最大值這一問題,更符合投資者對風(fēng)險(xiǎn)的感受.而向量自回歸模型VAR在建立多個(gè)時(shí)間變量間的動態(tài)關(guān)系時(shí)有重要應(yīng)用.

4　結(jié)論與展望

基于“數(shù)學(xué)期望”的延拓式教學(xué)方法的實(shí)踐,只是筆者對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的點(diǎn)滴感悟.“數(shù)學(xué)期望”這種延拓式教學(xué)方法不僅對本課程的學(xué)習(xí)有益,而且可為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展,社會的不斷進(jìn)步,我們必須從新的視角來認(rèn)識數(shù)學(xué)的教學(xué)過程.數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該從目的、內(nèi)容、形式、方法到組織進(jìn)行全面改革,旨在使教學(xué)的表現(xiàn)形式更加形象化、多樣化、視覺化,更有利于充分揭示數(shù)學(xué)的魅力及數(shù)學(xué)思維的作用.筆者在近30年的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,一直探尋著延拓性的教學(xué)方法,并一步一步地在實(shí)踐著.筆者主持的已上線的國家視頻公開課“經(jīng)濟(jì)生活的數(shù)學(xué)魅力”,采用了案例賞析的教學(xué)方式,從通俗易懂的例子切入,將數(shù)學(xué)知識延拓于我們的經(jīng)濟(jì)生活中.此課程獲得了很好的社會反響.該課程團(tuán)隊(duì)在此視頻課的基礎(chǔ)上,不斷改進(jìn)并完善教學(xué)模式,又制作了“經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)”的慕課課程.我們繼續(xù)在探索教學(xué)方法的路上前行,不斷地尋求更加完善的教學(xué)方法.

參考文獻(xiàn)

[1] 楊湘豫,羅 漢.大學(xué)數(shù)學(xué)4[M].北京: 高等教育出版社,2015

[2] 龐 皓.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京: 科學(xué)出版社,2012

[3] 王春峰.金融市場風(fēng)險(xiǎn)管理[M].天津: 天津大學(xué)出版社,2001

[4] Jorion.VaR: 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值[M].張海魚,譯.北京: 中信出版社,2000.

[5] 張延群.向量自回歸模型的理論方法及應(yīng)用實(shí)例[M].北京: 中國社會科學(xué)出版社,2013

Extension Type Teaching Design of " Mean"

YANG Xiang-yu
(College of Mathematics and Econometrics,Hunan University,Changsha 410082,China)

Abstract:On the teaching of " Mean " in the course "probability theory and mathematical statistics,teachers not only to train the computing power of students on “Mean”,but also to pay attention to the teaching about students' understanding on the practical significance of " Mean "and Extended type of the relevant knowledge.In this paper,aiming at teaching link of the concept of " Mean " and its application,the teaching design of the extension of the other " Digital feature " which is related to the " Mean " is given.

Key words:mean,digital feature,extended type,teaching design

作者簡介:楊湘豫(1964?),女,湖南永州人,湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院教授.主要研究方向: 金融數(shù)學(xué)及大學(xué)數(shù)學(xué)教育

基金項(xiàng)目:國家第七批視頻公開課《經(jīng)濟(jì)生活的數(shù)學(xué)魅力》(教高廳函[2015]11號)

收稿日期:2015-10-05

中圖分類號:G642

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1672-5298(2016)01-0079-04