袁石良 ，董 杰 ，徐志強 ，朱啟晨 ，楊志賢

（1.中國礦業(yè)大學（北京）化學與環(huán)境工程學院，北京 100083；2.北京四方繼保自動化股份有限公司，北京 100085；3.四方繼保（武漢）軟件有限公司，湖北 武漢 430223）

0 引言

頻率是反映電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行和電能質量的重要指標，也是系統(tǒng)運行的主要控制參數(shù)之一。在水電廠以及風電、光伏等新能源系統(tǒng)中，頻率有可能是非恒定、隨時間變化的［1］。例如，在發(fā)電機并網前，頻率隨發(fā)電機轉速增加而增加，并逐漸向系統(tǒng)頻率靠攏；系統(tǒng)擾動或發(fā)生短路故障時，頻率可能會快速下滑［2］；在孤島運行狀態(tài)下，頻率會有一定程度的波動。頻率的波動不但影響測量準確性，甚至可能引起保護裝置誤動、拒動［3］。

在水電廠及新能源系統(tǒng)中，頻率測量主要是由嵌入式保護及測控裝置實現(xiàn)。測頻方法主要有硬件測頻和軟件測頻。軟件測頻由于易實現(xiàn)、使用靈活，在嵌入式裝置中獲得了廣泛應用。根據(jù)水電廠及新能源系統(tǒng)中頻率隨時間變化的特點，其對軟件測頻算法的要求與其他情況下的頻率測量要求有所不同，主要包括：在頻率偏離額定頻率，并且信號中含有諧波、直流、噪聲等分量時，均能精確測頻；計算量不能太大，不占用或少占用內存為佳；較快的動態(tài)跟蹤能力，測量時滯小。由于水電廠及新能源系統(tǒng)頻率具有隨時間變化的特點，如果不能快速、實時、準確地測量頻率，或者頻率測量時滯過大，都將會影響低頻保護、距離保護等功能，以及電廠自動準同期等功能的可靠性。

目前嵌入式裝置中常用的軟件測頻方法主要有基于離散/快速傅里葉變換（DFT/FFT）的測頻算法和過零點測頻算法。

基于DFT的傳統(tǒng)測頻算法存在頻譜泄漏和柵欄效應［4-5］，測頻精度很低，受高次諧波的影響大。各種改進算法中，加窗函數(shù)修正DFT測頻算法［6-8］的實時性不能滿足要求［9］；插值和迭代相結合的DFT測頻算法［10］計算量太大，限制了其應用范圍。

過零點算法是通過測量信號波形相繼過零點間的時間寬度來計算頻率［11］。該方法原理簡單、計算量小，但容易受高次諧波、直流分量和噪聲的影響。文獻［12］提出了一種改進的過零點算法，使用傅里葉級數(shù)的基波實部或虛部的2個同方向變化的過零點之間的時間差來測量頻率，該方法在一定程度上抑制了諧波和直流分量的影響，但是測頻精度不高，計算量較大。

上述算法均存在以下2個問題：算法成立的前提條件是信號頻率恒定不變，當頻率波動或快速變化時測頻誤差較大；所計算出的頻率實際上是數(shù)據(jù)窗內的平均頻率，而不是某一確定時刻的頻率。當頻率快速變化時，測頻誤差除了原有算法誤差以外，還會有響應速度慢而帶來的時滯誤差，從而使得測頻誤差大幅增加。采用頻率跟蹤并自適應調整采樣間隔或調整數(shù)據(jù)窗長度的技術可實現(xiàn)較高精度的測頻［13］，但對嵌入式裝置的軟硬件方面要求較高，因而限制了其應用范圍。文獻［14］考慮了頻率變化率帶來的相鄰周期相角差的影響，提出了一種改進算法，但該算法僅適用于頻率為（50±3）Hz、頻率變化率不超過±5 Hz/s的情況。而在實際系統(tǒng)中，發(fā)電機開機過程的頻率與50 Hz相去甚遠，電力系統(tǒng)故障時頻率變化率可能會達到20 Hz/s。因此，該算法的適用范圍受到一定的限制。

本文以頻率按一定變化率隨時間變化為前提，提出了一種軟件過零點測頻算法，解決了頻率時變條件下的精確測頻問題。該算法可求出任意采樣點時刻頻率的實時值，具有計算量小、測頻精度高、測頻范圍大、適用面廣、占用內存少等優(yōu)點，能很好地滿足電力系統(tǒng)保護及測控裝置的測頻需要。

1 算法原理

1.1 任意時刻的頻率f與周期T的關系

設待測信號的幅值為A，頻率為f，相位角為φ（f，t），則該信號可表示為：

如果頻率f非恒定，其一階導數(shù)不為0，則任意時刻 t的相角 φ（f，t）可按下式計算［15］：

其中，ω=2πf為角頻率；dω/dt為角加速度。 t=0時刻的初始相角為φ0，初始角速度為ω0=2πf0，初始頻率為f0。

考察連續(xù)3個過零點處的相位角，如圖1所示，將縱坐標移到過零點0處，則t=0時過零點0處相角為0，頻率為f0，過零點1和過零點2處的相位角分別為2π和4π。

圖1 信號波形及過零點示意圖Fig.1 Schematic diagram of signal waveform and zero-crossing points

故根據(jù)式（2）有：

解此方程組，得：

其中，

在求出T01和 T12后（見下節(jié)），即可根據(jù)式（4）、（5）求出 df/dt和過零點 0 處的頻率 f0。

利用上述結果可以求出任意時刻的頻率。如圖1所示，設最新的過零點為過零點2，當前時刻的采樣點為m，采樣點m與過零點2中間有m個采樣值，則當前時刻的頻率為：

其中，Δt為過零點2與采樣點1之間的時間；TS為采樣時間間隔。

1.2 周期T的計算

式（4）—（6）中需要用到過零點之間的時間，即周期T。本文按以下方法計算周期T。

1.2.1 計算Δt

如圖1所示，信號的過零點通常并不正好是采樣點，因此需要求出過零點與過零點后第1個采樣點之間的時間Δt，才能準確計算出周期T。

信號的真實過零點無法直接求出，但可以擬合過零點附近的信號波形，求出擬合波形的過零點，從而求出 Δt。

傳統(tǒng)過零點算法［11］假定信號波形在過零點附近的波形近似為直線，采用線性插值（或相似三角形）方法求取Δt。為了獲得更高的計算精度，本文采用Newton三次插值多項式f（λ）來逼近：

下面分析計算式（7）中的系數(shù)a0—a3。

參見圖2，根據(jù)等距節(jié)點Newton三次插值多項式公式，取過零點前后4個采樣點：過零點后第1個采樣點（tk，uk），過零點之前 3 個采樣點（tk-1，uk-1）、（tk-2，uk-2）、（tk-3，uk-3）。 利用這 4 個采樣值建立向后差分表，如表1所示。

圖2 Newton三次插值多項式計算示意圖Fig.2 Schematic diagram of Newton cubic interpolation polynomial calculation

表1 Newton向后差分表Table 1 Newton backward differential table

表1中，

Newton三次插值多項式函數(shù)為：

其中，λ與Δt的關系為：

根據(jù)式（9）可求出式（7）的系數(shù)如下：

令式（7）中 f（λ）=0，求擬合函數(shù)的過零點：

采用Newton迭代法求上式的根：

迭代初值λ0可根據(jù)三角形相似法求得。參見圖2，根據(jù)相似三角形原理，有：

將 Δt=-λTS代入上式，得，故取迭代初值：

一般迭代計算2次即可。計算出λ后，即可計算出 Δt=-λTS。

1.2.2 計算周期T

設相鄰2個過零點之間的采樣點數(shù)為N，則周期T為：

其中，Δt1、Δt2分別為前后2個過零點距離過零后第1個采樣點之間的時間。

2 算法實現(xiàn)步驟

a.尋找過零點。程序從當前采樣點向前逐個搜索，直到找到某個采樣點為正數(shù)，而前一個采樣點為負數(shù)，則由負到正過零點必在2個采樣點之間。

b.根據(jù)式（8）、式（11）計算擬合函數(shù)系數(shù)。

c.計算過零點。根據(jù)式（15）計算迭代初值，利用式（7）、（12）、（13）迭代計算得到過零點處的 λ 值。

d.計算當前周期T。用式（10）計算出當前過零點的Δt并保存，利用式（16）計算出當前的周期T并保存。

e.計算當前采樣點處的頻率。利用最近3個過零點處的 Δt和周期 T，用式（4）、（5）求出 df/dt和過零點0處的頻率f0，用式（6）計算出當前頻率。

3 算法仿真

對各種情況下的算法性能進行仿真以驗證其測頻精度，并與文獻［10］的改進DFT算法和文獻［12］的改進過零點算法進行了對比，頻率計算誤差取自對應文獻中給出的結果。

3.1 純正弦波

設電壓信號為 u（t）=Asin（2πft+φ），頻率取 30～70 Hz，初相角隨機選擇。取30周期計算結果中誤差最大值，測量結果見表2。

表2 純正弦信號時的頻率誤差Table 2 Frequency error of pure sine signal Hz

從表2可見，本文算法的最大誤差為10-6Hz級。

3.2 疊加諧波、噪聲

設電壓信號為：基波幅值100 V，2次諧波10%，3次諧波20%，5次諧波10%，7次諧波5%，固有直流10%，噪聲信號取50 dB高斯白噪聲。頻率取45～55 Hz，初相角隨機選擇。取30周期計算結果中誤差最大值，測量結果見表3。

表3 含有諧波和噪聲時的頻率誤差Table 3 Frequency error of signals with harmonics and noise Hz

從表 3 可見，改進 DFT［10］和改進過零點算法［12］對諧波、固有直流分量和噪聲有一定抑制作用，最大誤差分別為-0.0156 Hz和0.02 Hz，而本文算法的最大誤差僅為0.0024 Hz。因此，本文算法可在一定程度上降低上述因素的影響。

3.3 頻率波動

模擬發(fā)電機啟機階段頻率快速變化。取初始頻率 30 Hz，初相角 -10°，頻率變化率 df/dt=10 Hz/s。則頻率及輸入電壓信號模型為：

其中，ω0=2πf0；ω=2πf。

仿真結果見表4。從表4可見，本文算法在頻率波動時測頻精度較高，最大誤差僅為10-6Hz級。

表4 頻率波動時的頻率誤差Table 4 Frequency error during frequency fluctuation Hz

3.4 頻率非線性波動

在實際運行過程中，頻率有可能非線性變化，即頻率的二階導數(shù)非零。本文對此情況也進行了仿真。 取初始頻率 30Hz，初相角 -10°，df/dt=10Hz/s，d2f/dt2=1 Hz/s2。則頻率及電壓信號模型為：

仿真結果見表5。從表5可見，當頻率的一階導數(shù)為10 Hz/s，且頻率的二階導數(shù)高達1 Hz/s2時，本文算法仍有較高精度，最大誤差僅為10-4Hz級，可以滿足水電廠和新能源系統(tǒng)的測頻需要。

表5 頻率非線性波動時的頻率誤差Table 5 Frequency error during frequency nonlinear variation Hz

4 結論

本文根據(jù)相鄰過零點的相位關系，在頻率隨時間變化條件下，推導出了任意時刻頻率的計算公式，并綜合運用了牛頓三次插值多項式、牛頓迭代法、三角形相似法等來精確求解相鄰過零點之間的周期時間。本文算法計算量很小，僅需要28次乘除法、32次加減法。

MATLAB仿真表明，本文算法在頻率波動甚至非線性變化時，測頻精度可高達10-4Hz級；而在純正弦波時的測頻精度高達10-6Hz級；即使存在諧波和噪聲，測頻精度也可高達10-3Hz級。因此，本文算法具有測頻精度高、測頻范圍大、適用面廣、計算量小、占用內存少等優(yōu)點，解決了頻率時變條件下測頻算法誤差大的問題，并在一定程度上降低了高次諧波、直流分量和噪聲的影響，可以滿足電力系統(tǒng)各種保護和測控裝置測頻需要。

本文推導出的頻率與周期的關系式也可應用于硬件測頻等其他測頻算法中。

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