閔逸萌，高文莉，周子恒,杜　立，王思慧

(南京大學(xué) a.匡亞明學(xué)院; b.物理學(xué)院,江蘇 南京 210093)

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橡皮筋發(fā)動(dòng)機(jī)

閔逸萌a，高文莉b，周子恒b,杜立b，王思慧b

(南京大學(xué) a.匡亞明學(xué)院; b.物理學(xué)院,江蘇 南京 210093)

摘要：研究了通過扭轉(zhuǎn)橡皮筋作為驅(qū)動(dòng)力的“發(fā)動(dòng)機(jī)”的能量存儲(chǔ)與輸出. 根據(jù)觀察定義了橡皮筋形變的多階纏繞，在此基礎(chǔ)上建立模型模擬了橡皮筋解旋的能量輸出過程. 定義了該發(fā)動(dòng)機(jī)的各項(xiàng)參量，包括總的旋轉(zhuǎn)時(shí)間、有效旋轉(zhuǎn)時(shí)間、效率等，探究了能量的分布情況. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：橡皮筋發(fā)動(dòng)機(jī)的大部分能量轉(zhuǎn)化為螺旋槳的動(dòng)能和空氣動(dòng)能.

關(guān)鍵詞：橡皮筋發(fā)動(dòng)機(jī)；多階纏繞；應(yīng)變能；有效旋轉(zhuǎn)時(shí)間；效率；CUPT/IYPT

本文是2014年“CUPT/IYPT”題目“Rubber Motor”的解答，原題為：經(jīng)過扭轉(zhuǎn)的橡皮筋可以儲(chǔ)存能量，例如可以用來驅(qū)動(dòng)模型飛機(jī). 請(qǐng)研究該能量來源的特性，以及能量輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律.

橡皮筋動(dòng)力飛機(jī)是常見的玩具和簡(jiǎn)易飛機(jī)模型. 本文以玩具橡皮筋飛機(jī)作為發(fā)動(dòng)機(jī)模型，研究其扭轉(zhuǎn)過程中能量的存儲(chǔ)，以及通過釋放螺旋槳如何將應(yīng)變能轉(zhuǎn)換成空氣動(dòng)能、螺旋槳?jiǎng)幽芗澳Σ梁纳? 通過預(yù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)圈數(shù)較大時(shí)，橡皮筋會(huì)發(fā)生多階纏繞，為此將建立了數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出了多階纏繞下存儲(chǔ)應(yīng)變能的公式. 根據(jù)能量守恒原理，考慮螺旋槳能量釋放過程中各項(xiàng)功率與應(yīng)變能的瞬時(shí)關(guān)系，得到了釋放過程中螺旋槳轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化的微分方程，從而與實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了對(duì)比.

1預(yù)實(shí)驗(yàn)

為了記錄螺旋槳釋放過程中轉(zhuǎn)速的變化，采用如圖1(a)所示的裝置，先將模型飛機(jī)的“發(fā)動(dòng)機(jī)”部分固定，將螺旋槳旋轉(zhuǎn)一定圈數(shù)后釋放，用高速相機(jī)(240幀/s)記錄整個(gè)釋放過程.

當(dāng)初始轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋槳時(shí)，橡皮筋會(huì)卷曲并均勻纏繞，纏繞到一定圈數(shù)時(shí)，橡皮筋已經(jīng)纏滿了1層. 此時(shí)如果繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋槳，纏繞過一遍的皮筋將再次卷曲盤繞，稱之為二階纏繞；隨著轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)的增加，還將出現(xiàn)三階纏繞，等等，如圖2所示. 在重復(fù)做了幾次實(shí)驗(yàn)后，得到多階纏繞的數(shù)據(jù)如表1中所示. 實(shí)驗(yàn)所用的橡皮筋參量為：截面2 mm×2 mm，長(zhǎng)度30 cm，由2根并聯(lián)而成.

(a)

(b)圖1　實(shí)驗(yàn)裝置

(a)一階纏繞

(b)二階纏繞

(c)三階纏繞圖2　3種纏繞情況

實(shí)驗(yàn)次數(shù)N一階二階三階10～4646～201201～24020～5050～193193～24030～4242～208208～240多次實(shí)驗(yàn)平均范圍0～5045～200200～240

旋轉(zhuǎn)不同圈數(shù)后釋放螺旋槳，此時(shí)葉片開始轉(zhuǎn)動(dòng)，利用圖1中的裝置獲得轉(zhuǎn)速與時(shí)間的關(guān)系，得到的結(jié)果如圖3所示. 通過預(yù)實(shí)驗(yàn)， 觀察到以下現(xiàn)象：

1)隨著纏繞圈數(shù)的增加，螺旋槳解旋的總時(shí)間增長(zhǎng).

2)隨著纏繞圈數(shù)的增加，螺旋槳的最大轉(zhuǎn)速也會(huì)增加.

3)螺旋槳具有在一段時(shí)間內(nèi)保持角速度不變的狀態(tài).

圖3　螺旋槳轉(zhuǎn)速曲線

2能量?jī)?chǔ)存與釋放的理論模型

2.1應(yīng)變能與機(jī)械功

在螺旋槳被釋放前，輸入的機(jī)械功首先會(huì)以應(yīng)變能的形式儲(chǔ)存在扭曲的橡皮筋中. 先給出這部分能量所對(duì)應(yīng)的公式.

引入x,y和z方向的拉伸比λ1,λ2和λ3. 對(duì)于不可壓縮材料的單軸拉伸，有：λ1=λ和λ2=λ3=λ-0.5. 利用Mooney Rivlin模型[1]， 橡皮筋的應(yīng)變能可以表示為

(1)

其中參量C1和C2是與材料有關(guān)的常量. 假定輸入的機(jī)械功全部轉(zhuǎn)變?yōu)橄鹌そ畹膽?yīng)變能，通過測(cè)量伸長(zhǎng)量(拉伸比)與拉力做的功的關(guān)系[2]，由式(1)可擬合得到本實(shí)驗(yàn)中C1=0.190 J，C2=0.081 J.

為了建立轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)與拉伸比λ之間的關(guān)系，建立如下模型. 假設(shè)模型發(fā)動(dòng)機(jī)兩端(固定橡皮筋用)的距離是l0， 當(dāng)螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)θ角度時(shí)，橡皮筋的長(zhǎng)度從l0拉伸到lθ. 假設(shè)扭曲的橡皮筋可以看成是等距螺旋線，如圖4(a)所示，最終長(zhǎng)度lθ與初始長(zhǎng)度l0的關(guān)系如圖4(b)所示. 其中Rg是引入的有效纏繞半徑. 因此，橡皮筋的拉伸比可以表示為

(2)

則三階纏繞的拉伸比λ可分別為

(3)

其中λi是每一階纏繞前的初始拉伸比，例如第一階纏繞，λi是橡皮筋被固定到模型飛機(jī)上的初始拉伸比. 由于僅考慮三階纏繞，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，取N1=50，N2=200.

(a)　　　　(b)圖4　等距螺旋線模型及最終長(zhǎng)度lθ和　　　初始長(zhǎng)度l0間的關(guān)系

顯然在三階纏繞的情況下，Rg不同.Rg的值可以從實(shí)驗(yàn)中獲得.

在橡皮筋發(fā)動(dòng)機(jī)的能量存儲(chǔ)階段，輸入的機(jī)械功可以由橡皮筋的扭矩與旋轉(zhuǎn)角度(圈數(shù))的關(guān)系推算. 通過實(shí)驗(yàn)，測(cè)量得到扭矩與旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的關(guān)系，扭矩Mf=fd， 其中d是螺旋槳的半徑，f為緩慢推動(dòng)螺旋槳外端所使用的推力. 實(shí)驗(yàn)中每隔5圈測(cè)量1次螺旋槳上的扭力，其測(cè)量結(jié)果如圖5所示. 圖中曲線下方的面積S與機(jī)械功成正比，即W′=2πdS. 實(shí)際計(jì)算時(shí)假設(shè)每旋進(jìn)5圈的扭力不變， 那么總的輸入功可以表示為

圖5　螺旋槳旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)N與受力f的關(guān)系

(4)

假設(shè)應(yīng)變能與輸入的機(jī)械功相等，即W=W′. 由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的輸入的機(jī)械功的值可以倒推拉伸比以及有效纏繞半徑Rg的值.

2.2能量釋放與分配

當(dāng)螺旋槳解旋后，橡皮筋中儲(chǔ)存的應(yīng)變能將主要轉(zhuǎn)換成螺旋槳的動(dòng)能、空氣動(dòng)能及與螺旋槳軸之間的摩擦耗散. 根據(jù)能量守恒，可以得到：

(5)

(6)

Ip為螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

Pair是螺旋槳推動(dòng)空氣的功率，其形式為[3]

(7)

其中，ρ為來流的氣體密度，A是槳盤的面積，V0是未受螺旋槳擾動(dòng)的軸向速度，對(duì)于通常的螺旋槳，a為8%～15%，取a=10%. 實(shí)驗(yàn)所用螺旋槳槳葉長(zhǎng)度為8.70 cm.

本實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)風(fēng)速和螺旋槳的轉(zhuǎn)速存在線性關(guān)系，即

(8)

則式(7)可變?yōu)?/p>

(9)

這代表了推動(dòng)空氣運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的功率. 至此，給出了式(5)中每一項(xiàng)與轉(zhuǎn)速或者角位移的關(guān)系. 由實(shí)驗(yàn)確定各項(xiàng)系數(shù)后，就可以通過求解微分方程得到解旋過程中角速度與時(shí)間的關(guān)系，并由此計(jì)算在此過程中能量的分配情況.

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1風(fēng)速與螺旋槳轉(zhuǎn)速的關(guān)系

利用如圖1(b)的裝置，測(cè)量了風(fēng)速與螺旋槳轉(zhuǎn)速的值，見圖6. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了風(fēng)速和轉(zhuǎn)速之間存在線性關(guān)系，得到了比例系數(shù)K0=0.042 m/rad.

3.2解旋過程

以三階纏繞為例分析轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化情況. 圖7為螺旋槳旋轉(zhuǎn)240圈后釋放的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化曲線. 顯然三階解旋的時(shí)間相對(duì)最短，在此階段中轉(zhuǎn)速以加速為主;在二階解旋過程中，轉(zhuǎn)速先下降，后趨于平穩(wěn)，在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)保持不變;最后經(jīng)過一階解旋，轉(zhuǎn)速最終下降到0. 如果定義在最大速度Vmax到Vmax/e之間的時(shí)間為有效輸出時(shí)間，則有效輸出時(shí)間約10 s.

圖6　風(fēng)速V0與轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)圖線

圖7　三階纏繞下的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化曲線

3.3發(fā)動(dòng)機(jī)輸出性能

由于從實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)得到了轉(zhuǎn)速的變化曲線，按照式(9)，容易求出空氣動(dòng)能或相應(yīng)功率隨時(shí)間的變化曲線，如圖8(a)所示. 實(shí)驗(yàn)中螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ip=8.56×10-5kg·m2，橡皮筋推動(dòng)螺旋槳的機(jī)械功率見圖8(b)，由圖可知，在最初很短時(shí)間內(nèi)(1 s左右)轉(zhuǎn)速達(dá)到極大值，橡皮筋對(duì)螺旋槳做正功，Pp>0. 此后螺旋槳減速，對(duì)外釋放能量，Pp<0.

推動(dòng)空氣運(yùn)動(dòng)的這部分功率被視為有用功率，空氣運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與輸入功相比，可以得到發(fā)動(dòng)機(jī)的效率. 空氣運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能可以由圖8的陰影面積求得. 而總的輸入功可以從圖5中得到，即W′=∑10πdfi.

由旋槳旋轉(zhuǎn)240圈后釋放的數(shù)據(jù)，可得到總的空氣動(dòng)能占輸入能量的56.6%. 多次實(shí)驗(yàn)，在一階、二階和三階纏繞條件下得到的結(jié)果如表2所示，表中Pmax為最大有用功率，t總為總持續(xù)時(shí)間，t有為有效時(shí)間.

(a)

(b)圖8　推動(dòng)空氣的功率以及推動(dòng)螺旋槳的　　　機(jī)械功率隨時(shí)間的變化

N/圈Pmax/Wt總/st有效/sη200.00437.26.081.5%1100.1412.29.461.6%2400.7615.010.656.6%

4理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件確定式(5)中的各項(xiàng)系數(shù)后，就可以通過求解微分方程，得到解旋過程角速度與時(shí)間的關(guān)系. 通過計(jì)算得到螺旋槳在旋轉(zhuǎn)20，110，240圈后釋放的角速度與時(shí)間關(guān)系，見圖9.

(a)20圈

(b)110圈

(c)240圈圖9　角速度與時(shí)間關(guān)系

經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值基本吻合，但在實(shí)驗(yàn)中沒有明顯地出現(xiàn)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定的平臺(tái)階段 (尤其在一級(jí)纏繞中存在轉(zhuǎn)速穩(wěn)定的平臺(tái)，提示模

型過于簡(jiǎn)化，可能由于忽略了拉伸和釋放過程的非線性和摩擦導(dǎo)致的).

圖10　發(fā)動(dòng)機(jī)能量隨時(shí)間的變化(240圈)

5結(jié)束語(yǔ)

研究了橡皮筋發(fā)動(dòng)機(jī)性質(zhì)，結(jié)合多階纏繞的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，給出了儲(chǔ)存應(yīng)變能的公式. 經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論分析，給出了螺旋槳轉(zhuǎn)速與時(shí)間的變化關(guān)系，空氣動(dòng)能、螺旋槳?jiǎng)幽芤约翱偰芰康淖兓闆r. 定義了該發(fā)動(dòng)機(jī)的各項(xiàng)參量，包括總的旋轉(zhuǎn)時(shí)間、有效旋轉(zhuǎn)時(shí)間、效率等. 理論模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比符合較好.

致謝：感謝楊王飛同學(xué)無私的幫助和鼓勵(lì).

參考文獻(xiàn)：

[1]James H M, Guth E. Theory of the elastic properties of rubber [J]. Journal of Chemical Physics, 1943,11(10):455-481.

[2]左亮，肖緋雄. 橡膠Mooney-Rivlin模型材料系數(shù)的一種確定方法[J]. 機(jī)械制造，2008,46(7)：38-40.

[3]劉沛清. 空氣螺旋槳理論及其應(yīng)用[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2006:56-62.

[責(zé)任編輯：任德香]

Rubber band motor

MIN Yi-menga, GAO Wen-lib, ZHOU Zi-hengb, DU Lib, WANG Si-huib

(a. Kuang Yaming Honors School; b. Physics School, Nanjing University, Nanjing 210093, China)

Abstract:The properties of a rubber band motor, a toy motor that stores mechanical energy in a twisted rubber band and releases the energy through an aircraft propeller in an unwinding process, was systematically studied. The strain energy stored in the winded band was converted into three parts: kinetic energy of air, kinetic energy of propeller, frictional dissipation of propeller. For each one of them, a mathematical model was built to account for its contribution to the motor performance. Particularly, configurations of a twisted rubber band were classified into three types: the primary winding, the secondary winding and the tertiary winding. Various properties revealed by the experiment were clarified by our theory.

Key words:rubber motor; kink configurations; strain energy; effective spinning time; efficiency; CUPT/IYPT

中圖分類號(hào)：O344.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)04-0027-05

作者簡(jiǎn)介：閔逸萌(1995-)，男，江蘇蘇州人，南京大學(xué)匡亞明學(xué)院2013級(jí)本科生.指導(dǎo)教師：王思慧(1964-)，女，北京人，南京大物理學(xué)院教授，博士，從事基礎(chǔ)物理理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué).

收稿日期：2015-12-31