李率杰，馮兆永

(1. 河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023；2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州510275)

基于自適應(yīng)TVp正則化圖像恢復(fù)方法

李率杰1，馮兆永2

(1. 河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023；2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州510275)

為了解決圖像恢復(fù)時所引起的階梯效應(yīng)和邊緣模糊問題，定義可變TVp范數(shù)，提出一個自適應(yīng)TVp(Adaptive TVp, ATVp)正則恢復(fù)模型，并結(jié)合AOS數(shù)值計(jì)算方法，給出完整的ATVp正則恢復(fù)算法，其中p可以自動區(qū)分圖像中的邊緣和平坦區(qū)域，自適應(yīng)選擇不同的數(shù)值，使得新模型在恢復(fù)的同時不僅能夠自適應(yīng)的對圖像中目標(biāo)邊緣進(jìn)行有效的保護(hù)，而且可以避免出現(xiàn)階梯效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)表明，和主要的一些正則模型相比，本恢復(fù)算法對模糊圖像的恢復(fù)無論在視角效果還是定量指標(biāo)上都有了明顯的改進(jìn)。

圖像恢復(fù)；ATVp正則；AOS數(shù)值計(jì)算

為了解決圖像恢復(fù)中階梯效應(yīng)，本文提出了自適應(yīng)TVp(AdaptiveTVp, ATVp)正則方法，其中，1

1 Tikhonov正則與 TV正則模型

從數(shù)學(xué)意義上理解，圖像恢復(fù)問題是一個病態(tài)的逆問題，其可總結(jié)為一個退化模型：f為定義在Ω?R2上的理想原圖像，η為加入的加性高斯白噪聲，觀察到的待恢復(fù)圖像g可表示為：

g=Hf+η

(1)

其中H為模糊算子矩陣。由于這是病態(tài)問題，因此圖像恢復(fù)中需要對其正則化，在文獻(xiàn)[1]中Tikhonov等提出以下能量泛函：

(2)

其中

為l2范數(shù)，α為正常數(shù)，模型恢復(fù)將使得圖像邊緣模糊。Rudin等[2]提出了TV正則，TV正則因?yàn)槠浞制饣再|(zhì)，可以保持圖像邊緣，基于TV正則的圖像恢復(fù)能量泛函為：

(3)

2 自適應(yīng)TVp正則模型

為了在圖像恢復(fù)的同時既能避免階梯效應(yīng)，又能更好的保護(hù)圖像的邊緣信息，本文提出ATVp正則方法，p可以根據(jù)圖像特征自適應(yīng)選取。其模型如下：

(4)

其中

這里Gσ為高斯濾波，K>0為固定的參數(shù)，*為卷積符號。

為了求解模型，極小化能量泛函，得到恢復(fù)后的圖像f，由變分法原理先對泛函求導(dǎo)可得Euler-Lagrange方程：

(5)

(6)

其中H*為H的共軛，方程(6)的解即為所求恢復(fù)后的圖像f。

3 模型分析

為了進(jìn)一步說明本文提出的ATVp正則模型的優(yōu)異的擴(kuò)散能力，對方程(6)的正則項(xiàng)在圖像局部結(jié)構(gòu)上分解，然后進(jìn)行分析其擴(kuò)散方向和強(qiáng)度。在圖像的局部定義直角坐標(biāo)系(ξ,η)，如圖1所示，其中η-軸平行于梯度方向，ξ-軸垂直于梯度方向，即：

圖1 坐標(biāo)系(ξ,η)示意圖Fig.1 Coordinate system(ξ,η)

(7)

從上式可以看出，方程(6)本質(zhì)上為非線性的各向異性擴(kuò)散方程，其擴(kuò)散能力由擴(kuò)散系數(shù)

所控制，如圖1所示。

這就意味著在圖像目標(biāo)邊緣處沿梯度方向的擴(kuò)散強(qiáng)度接近于零，幾乎沒有擴(kuò)散，只沿著圖像目標(biāo)邊緣的垂直于梯度的方向即切線方向進(jìn)行擴(kuò)散，從而可以保護(hù)圖像目標(biāo)邊緣不被模糊，保持圖像目標(biāo)邊緣信息。

這就意味著在沿梯度方向和切線方向的擴(kuò)散強(qiáng)度接近于相等，在圖像的平坦區(qū)域內(nèi)沿著沿梯度和切線兩個方向進(jìn)行同等擴(kuò)散，從而可以更好的光滑圖像，去除噪聲，避免出現(xiàn)階梯狀效應(yīng)。

根據(jù)以上分析，本文提出的ATVp正則模型可以在圖像恢復(fù)的同時避免TV正則模型的階梯狀效應(yīng)和Tikhonov正則模型的模糊邊界的缺點(diǎn)。

4 數(shù)值計(jì)算

對于提出的ATVp正則模型的數(shù)值計(jì)算，關(guān)鍵是求解方程(6)，在求解該方程時本文采用半隱格式的加性算子分裂(Additive Operator Splitting，AOS)算法[19-20]，具體如下：

方程(6)可用半隱有限差分格式來逼近：

f(i)-ταH*(Hf(i+1)-g)

其中τ表示時間步長，演化方程的求解將采用AOS算法，首先進(jìn)行算子分裂，移項(xiàng)可得：

由AOS算法原理，上式的求解可通過：

從而可得f(i+1)：

AOS算法是絕對穩(wěn)定的，從而可以在保證精度的前提下，選用盡可能大的時間步長以提高效率，并且時間步長的選定，不是出于穩(wěn)定性考慮，而是出于精度和效率的折中考慮。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法的有效性，選用一幅大小為256×256的著名的Lena圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，Lena圖像細(xì)節(jié)豐富利于檢驗(yàn)比較恢復(fù)結(jié)果。并將本文ATVp正則模型與Tikhonov正則模型[1]，Log正則模型[14]，TV正則模型[2]，TVp正則模型(這里選定p=0.8)[16]分別對恢復(fù)運(yùn)動、失焦和噪聲引起的模糊進(jìn)行了比較。為了更加客觀，本文從視角效果與定量指標(biāo)兩方面對圖像質(zhì)量進(jìn)行比較。采用的定量指標(biāo)SBR(Signaltoblurringratio)用來定量模糊的程度，恢復(fù)的效果，采用PSNR(峰值信噪比)定量噪聲的強(qiáng)度，去噪的效果，定義分別如下：

其中u表示原模糊前圖像，unew表示恢復(fù)后圖像，M,N分別為圖像的行列數(shù)。容易看出SBR和PSNR的值越大說明圖像恢復(fù)的質(zhì)量越好。

實(shí)驗(yàn)1 驗(yàn)證算法對運(yùn)動模糊圖像恢復(fù)效果，如圖2所示。本實(shí)驗(yàn)首先對原始的Lena圖像加入角度θ=45°，運(yùn)動距離為L=15像素的運(yùn)動模糊，如圖2(a)所示。令模型中的K=1，以下實(shí)驗(yàn)相同，并且試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)算法對時間步長并不敏感，在τ=1附近算法都是穩(wěn)定的，另外為了更接近原圖像，權(quán)值α選的較大，本實(shí)驗(yàn)參數(shù)選擇為：時間步長：τ=0.8，α=2.5。圖2(b)-(f)為各模型恢復(fù)效果，容易看出Tikhonov正則與Log正則恢復(fù)的圖像比較模糊，TV正則恢復(fù)的圖像階梯效應(yīng)明顯，TVp正則模型得到了稍微的改善，本文ATVp正則模型在改善階梯效應(yīng)，保持邊緣上恢復(fù)效果更好。同時算法收斂方面也是較好(見圖3)，在迭代100次左右就達(dá)到了穩(wěn)定，并且得到更高的SBR值如表1所示。

圖2 Lena圖像的運(yùn)動模糊恢復(fù)結(jié)果Fig.2 Restored result of motion blurred Lena

模糊類型性能指標(biāo)恢復(fù)前Tikhonov正則模型Log正則模型TV正則模型TVp正則模型本文ATVp正則模型運(yùn)動模糊SBR7.31558.630110.737013.636014.065014.2807失焦模糊SBR7.33908.16389.384710.273110.411910.5790噪聲PSNR20.048325.731626.090327.562627.744928.4431

圖3 各模型對運(yùn)動模糊恢復(fù)SBR值收斂曲線圖Fig.3 SBR curves with iteration times in experiment 1

實(shí)驗(yàn)2驗(yàn)證算法對失焦模糊圖像恢復(fù)效果，如圖4所示。

圖4 Lena圖像失焦模糊恢復(fù)結(jié)果Fig.4 Restored result of out of focus for Lena

本實(shí)驗(yàn)對原始圖像加入了模糊窗口h=21，標(biāo)準(zhǔn)差σ=5的Gaussian模糊，如圖4(a)。參數(shù)同樣選擇為：時間步長：τ=0.8，λ=2.5，圖4(b)-(f)為各模型恢復(fù)效果，從各恢復(fù)圖可以看出，本文ATVp正則模型恢復(fù)的效果顯然比其他正則模型更為理想。圖5和表1也可以驗(yàn)證算法在運(yùn)算收斂和指標(biāo)SBR值方面表現(xiàn)良好。

圖5 各模型對失焦模糊恢復(fù)SBR值收斂曲線圖Fig.5 SBR curves with iteration times in experiment 2

實(shí)驗(yàn)3 本實(shí)驗(yàn)主要驗(yàn)證算法的去除噪聲的效果，如圖6所示。

圖6 Lena圖像噪聲恢復(fù)結(jié)果Fig.6 Restored result of noisy Lena

本實(shí)驗(yàn)在原始圖像加入了均值為零，方差為0.1的高斯噪聲，如圖6(a)。實(shí)驗(yàn)中選擇時間步長τ=0.8，為了加強(qiáng)磨光作用，去除噪聲，λ選擇較小，λ=0.05。圖6(b)-(f)為各模型恢復(fù)效果，結(jié)果正如實(shí)驗(yàn)1中分析，Tikhonov正則與Log正則恢復(fù)的圖像邊緣比較模糊，TV正則恢復(fù)的圖像出現(xiàn)階梯效應(yīng)，TVp正則模型得到了稍微的改善，本文ATVp正則模型由于綜合了Tikhonov正則和TV正則模型的優(yōu)點(diǎn)，摒棄其缺點(diǎn)得到了較好效果，并且運(yùn)算收斂理想(見圖7)，迭代50次左右就已達(dá)到穩(wěn)定。PSNR值相比其他模型有了大幅提高，如圖7和表1所示。

圖7 各模型對噪聲恢復(fù)PSNR值收斂曲線圖Fig.7 PSNR curves with iteration times in experiment 3

6 結(jié) 論

為了解決算法在恢復(fù)圖像時所引起的階梯效應(yīng)和邊緣模糊問題，在本文中基于自適應(yīng)TVp范數(shù)，提出一個ATVp正則模型， 并結(jié)合AOS數(shù)值計(jì)算方法，得到完整的ATVp正則恢復(fù)算法，通過分析，容易看出p可以自動區(qū)分圖像中的邊緣和平坦區(qū)域，從而自適應(yīng)的選擇不同的值，使得新模型可以實(shí)現(xiàn)在圖像邊緣處逼近TV正則模型來保持邊緣，在圖像平坦區(qū)域內(nèi)逼近Tikhonov正則模型，可以充分磨光圖像，從而不僅能夠自適應(yīng)的對圖像中的邊緣進(jìn)行有效的保護(hù)，而且可以避免出現(xiàn)階梯效應(yīng)。

通過一系列實(shí)驗(yàn)表明，和主要的一些正則模型相比，本文恢復(fù)算法對模糊圖像的恢復(fù)無論在視角效果還是定量指標(biāo)都有了明顯的改進(jìn)。

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Image restoration method based on adaptive TVpregularization

LI Shuaijie1, FENG Zhaoyong2

(1.School of Mathematics and Statistics, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471023, China;2. School of Mathematics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

In order to avoid the staircasing effect and edge blurring problem. A variable TVpnorm was defined, and an adaptive TVp(ATVp) regularization model was proposed. Combining the AOS numerical method, a complete ATVpregularization algorithm was shown, wherepcanbeadaptiveselectedaccordingtodifferentimageareas.Thecharacteristicsmakethenewmodelpreservetheedgeinformationbetterandavoidthestaircasingeffectwhileimagerestoration.Experimentsshowedthatcomparedwiththeexistingregularizationmodels,itimprovedtherestorationresultsinbothvisualeffectsandSBRandPSNR.

image restoration; ATVpregularization; AOS method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.05.002

2016-03-25

國家自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(11271381，11471339)；國家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(61301229)；河南省教育廳資助項(xiàng)目(15A110020)；河南科技大學(xué)博士科研啟動基金資助項(xiàng)目(13480032)；廣州市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(201607010144)

李率杰(1980年生)，男；研究方向：偏微分方程，圖像處理；通訊作者：馮兆永；E-mail:fzhaoy@mail.sysu.edu.cn

TP911.73

A

0529-6579(2016)05-0008-06