祁　瓊

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

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自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下馬爾科夫跳變系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)

祁瓊

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

摘要：研究了具有時(shí)變時(shí)滯的馬氏跳躍系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.為通過(guò)設(shè)置狀態(tài)輸出估計(jì)器使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，提出了一種自適應(yīng)的事件觸發(fā)通信方案.此方案的特點(diǎn)是，采樣數(shù)據(jù)是否應(yīng)該被發(fā)送由當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)和最新傳輸數(shù)據(jù)與其之間的誤差決定，它可以自適應(yīng)地調(diào)整事件觸發(fā)通信閾值，在確保所需控制性能的前提下減少信息通信負(fù)擔(dān).基于Lyapunov-Krasovskii泛函方法，通過(guò)求解線性矩陣不等式實(shí)現(xiàn)了對(duì)馬爾科夫的狀態(tài)估計(jì).利用數(shù)據(jù)實(shí)例探討了自適應(yīng)事件觸發(fā)的有效性.

關(guān)鍵詞：馬爾科夫系統(tǒng)；自適應(yīng)事件觸發(fā)；狀態(tài)估計(jì)

近年來(lái)，馬爾科夫跳躍系統(tǒng)因同時(shí)包含了連續(xù)的系統(tǒng)狀態(tài)和跳變的結(jié)構(gòu)而被廣泛應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域,現(xiàn)階段已有很多重要的成果[1-3].在許多應(yīng)用中，如信號(hào)處理、控制工程等，只有部分信息可以從網(wǎng)絡(luò)輸出，因此，通過(guò)利用網(wǎng)絡(luò)的有效輸出量來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)，進(jìn)而利用估計(jì)的狀態(tài)來(lái)達(dá)到一定的設(shè)計(jì)目標(biāo)，具有重要意義.近年來(lái)，基于事件觸發(fā)機(jī)制的狀態(tài)估計(jì)也得到了廣泛關(guān)注[4-5].

文獻(xiàn)[6]研究了一類新的離散時(shí)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及馬爾科夫跳躍參數(shù)和模式相關(guān)的混合時(shí)間延遲的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，其離散和分布式延遲是模式依賴的.值得注意的是，以往的研究大多是在預(yù)先指定的時(shí)間間隔采樣，這被稱為時(shí)間觸發(fā)采樣，該抽樣方法可能會(huì)導(dǎo)致一個(gè)固有的周期性傳輸，并產(chǎn)生許多無(wú)用的消息，如果采樣信號(hào)相比以前的采樣沒(méi)有顯著改變時(shí)間觸發(fā)采樣則依然傳輸數(shù)據(jù)，這導(dǎo)致了通信資源的浪費(fèi).最近，事件觸發(fā)的方案提供了一種有效的方法，其主要特征是對(duì)該信號(hào)進(jìn)行周期采樣，只有一些系統(tǒng)狀態(tài)或輸出測(cè)量超過(guò)閾值才被傳輸.與周期采樣法相比，事件觸發(fā)機(jī)制能減少通信的負(fù)擔(dān)，也能保持理想的連續(xù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)的理想性能，如穩(wěn)定性和收斂性.對(duì)事件觸發(fā)機(jī)制的利用可以在許多文獻(xiàn)中找到.本文在事件觸發(fā)機(jī)制的基礎(chǔ)上，通過(guò)調(diào)節(jié)事件觸發(fā)閾值動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)事件觸發(fā).本文的主要貢獻(xiàn)有如下2點(diǎn).

1)與時(shí)間觸發(fā)周期通信方案相比較，提出了自適應(yīng)事件觸發(fā)方案.該通信方案只取決于采樣時(shí)刻與當(dāng)前采樣時(shí)刻和前一傳輸狀態(tài)之間的誤差.因此，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臓顟B(tài)信號(hào)的數(shù)目可能會(huì)明顯降低.

2)通過(guò)利用Matlab中的LMI工具箱很容易求解線性矩陣不等式，其結(jié)果不僅依賴觸發(fā)參數(shù)、采樣周期，還依賴延遲的大小.

1問(wèn)題描述

考慮一帶有時(shí)滯的馬爾科夫跳變系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，y(t)∈Rn為輸出向量.{θt}是右連續(xù)且在有限集S={1,2,…,N}中的連續(xù)馬爾科夫過(guò)程，馬爾科夫跳轉(zhuǎn)移概率為：

在式(1)中，時(shí)滯τ(t)是隨時(shí)間變化的連續(xù)函數(shù)，滿足以下條件：

其中τm,τM是通信時(shí)滯的下界和上界.

本節(jié)中，測(cè)量輸出在進(jìn)入估計(jì)器之前被采樣，根據(jù)抽樣技術(shù)，實(shí)際輸出可被描述為：

(2)

樣本數(shù)據(jù)y(tk+j)不滿足以下的不等式則觸發(fā)：

[y(tk+j)-y(tk)]TW[y(tk+j)-y(tk)]<σ(tk+j)yT(tk+j)Wy(tk+j)

(3)

其中σ(0)∈[0,1]是σ(t)的初始條件，σ(t)∈[σm,σM],ρ是一個(gè)非負(fù)常數(shù).

(4)

將式(4)代入式(3)中得：

[x(tk+j)-x(tk)]TCT(θt)WC(θt)[x(tK+j)-x(tk)]<σ(tk+j)xT(tK+j)CT(θt)WC(θt)x(tk+j)

(5)

為方便起見(jiàn)，參考文獻(xiàn)[7]，式(5)可寫(xiě)成：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中:

2主要結(jié)論

本節(jié)中，將對(duì)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)事件觸發(fā)的狀態(tài)估計(jì)器.式(9)可寫(xiě)為：

(10)

其中ξ(t)=

定理1假設(shè)式(5)成立，若對(duì)給定的估計(jì)增益矩陣K，式(10)均方意義上指數(shù)穩(wěn)定的條件如下：存在一些適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣Pi>0,Q0>0,Q1>0,Q2i>0,Q3>0,Q4>0,R1>0,R2>0,R3>0,Zi>0,Mi2>0,Mi4>0,Ni2>0,Ni5>0,Hi3>0,Hi6>0,Gi3>0,Gi6>0(i=1,2)滿足:

(11)

證明考慮下面式(12)的李雅普諾夫泛函:

(12)

其中:

根據(jù)式(10),對(duì)式(12)求導(dǎo)可得：

(13)

根據(jù)積分可加性得：

(14)

參考文獻(xiàn)[10]可知： [8]和Schur補(bǔ)可知，‖‖2,參考文獻(xiàn)[9]可知式(10)指數(shù)穩(wěn)定.

(15)

結(jié)合式(14)和式(15)，式(13)可化簡(jiǎn)得:

(16)

考慮自由權(quán)矩陣Mi,Ni,Hi,Gi,其中:

(17)

在定理1的分析結(jié)果基礎(chǔ)上，狀態(tài)估計(jì)增益很容易根據(jù)定理2求得.

定理2假設(shè)式(5)成立，若對(duì)給定的估計(jì)增益矩陣K，使式(10)指數(shù)穩(wěn)定的條件如下：存在一些適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣，Pi>0,Vi,Qj=diag{Qj,Qj}>0(j=0,1,3,4),Q2i=diag{Q2i,Q2i}>0,Ri=diag{Ri,Ri}>0(i=1,2,3),Zi>0,Mi2=diag{Mi2,Mi2}>0,Mi4=diag{Mi4,Mi4}>0,

Ni2=diag{Ni2,Ni2}>0,Ni5=diag{Ni5,Ni5}>0,Hi3=diag{Hi3,Hi3}>0,Hi6=diag{Hi6,Hi6}>0,Gi3=diag{Gi3,Gi3}>0,Gi6=diag{Gi6,Gi6}>0(i=1,2),對(duì)給定的ε>0滿足：

(18)

(19)

由于:

(20)

(21)

3數(shù)例仿真

考慮1個(gè)含有2個(gè)模態(tài)的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下.

圖1事件觸發(fā)驅(qū)動(dòng)下釋放時(shí)刻和間隔圖

圖2自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)下釋放時(shí)刻和間隔圖

由圖1和圖2可見(jiàn)自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)觸發(fā)點(diǎn)數(shù)量明顯較少，觸發(fā)參數(shù)的選取對(duì)觸發(fā)點(diǎn)有明顯影響，而自適應(yīng)事件驅(qū)動(dòng)觸發(fā)參數(shù)不固定，只給定范圍，能夠在一定程度上削弱觸發(fā)參數(shù)的影響力，避免觸發(fā)點(diǎn)過(guò)少影響系統(tǒng)穩(wěn)定，同時(shí)減少了一定的通信負(fù)載.參數(shù)d先在-1,0,1之間震蕩，很快恒定為1之后σ就一直遞增，最后達(dá)到所設(shè)定的σ最大值.系統(tǒng)狀態(tài)很快達(dá)到穩(wěn)定，而狀態(tài)誤差也很快趨向0.

4結(jié)論

本文研究了自適應(yīng)事件觸發(fā)驅(qū)動(dòng)下馬爾科夫跳躍系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，通過(guò)建立一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)，利用矩陣不等式的凸性，得出使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的估計(jì)器增益，并利用數(shù)據(jù)實(shí)例仿真所得結(jié)果,由仿真結(jié)果可明顯看出自適應(yīng)時(shí)間觸發(fā)能在保持系統(tǒng)性能的前提下降低觸發(fā)參數(shù)的影響，同時(shí)在一定程度上減少了數(shù)據(jù)傳輸量.

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(責(zé)任編輯高嵩)

State Estimation for Markovian Jump Systems Triggered by Adaptive State

QiQiong

(School of Applied Mathematics,Nanjing University of Finance and Economics,Nanjing Jiangsu 210046)

Abstract：This paper studies the state estimation problem for Markovian jump systems with time- varying delays.The main purpose is to obtain the system exponential stability by setting the state output estimator.Firstly, an adaptive event-triggering communication scheme is proposed.The feature of the scheme is that whether the sampling data should be transmitted or not is determined by error between the current sampling data the latest transmission data,At the same time,the threshold of the event-triggering mechanism is adaptively adjusted to reduce the burden of information communication under the premise of ensuring the needed control performance.Based on the Lyapunov-Krasovskii functional method,a state estimation of the Markovian systems can be achieved by solving the linear matrix inequalities (LMI).Finally,a numerical example is given to show the validity of the proposed adaptive event-triggering scheme.

Key words：Markovian systems;adaptive event-triggering scheme;state estimation

中圖分類號(hào)：O231.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-4565(2016)02-0042-08

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.02.010

作者簡(jiǎn)介：祁瓊，碩士。

收稿日期：2015-10-14