盧永翠，黃華平,2*，辛　華，劉婉貞，付　琴

(1湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002;2湖北師范學(xué)院 文理學(xué)院，湖北 黃石 435002)

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柯西中值定理的高階推廣

盧永翠1，黃華平1,2*，辛華1，劉婉貞1，付琴1

(1湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002;2湖北師范學(xué)院 文理學(xué)院，湖北 黃石 435002)

摘要：利用數(shù)學(xué)歸納法，得到了高階形式的柯西中值定理，推廣了柯西中值公式.相比前人的結(jié)果而言，該結(jié)果更簡潔，直觀，實用.

關(guān)鍵詞：柯西中值定理;柯西中值公式;連續(xù);可導(dǎo)

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣[1]，是微分學(xué)的基本定理之一[2].其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦[1].柯西中值定理是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的定理[3]，它在判定函數(shù)的單調(diào)性，求不定式極限，證明等式和不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用[4].然而，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，單一地使用柯西中值定理,已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足人們的需要，因此探求它的推廣公式，已經(jīng)成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一.現(xiàn)今，已經(jīng)呈現(xiàn)出了許多推廣形式[2-8].基于此，本文得到了廣義柯西中值定理，同時得到了柯西中值公式的高階推廣公式.相比前人的結(jié)果，本文的結(jié)果更方便,實用.

為方便讀者，首先回顧一下如下定理.

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

1) 在閉區(qū)間[a,b]上都連續(xù)；

2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；

3)對?x∈(a,b),都有g(shù)'(x)≠0.

則?ξ∈(a,b),使得:

此定理稱為柯西中值定理，上述等式稱為柯西中值公式[5-6].

1主要結(jié)果

定理1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

1) 在閉區(qū)間[a,b]上都連續(xù)；

2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都n階可導(dǎo)；

3)對?x∈(a,b),都有g(shù)(n)(x)≠0.

則?ξ∈(a,b),使得:

(1)

證明當(dāng)n=1時，式(1) 就是柯西中值公式，結(jié)論顯然.

假設(shè)當(dāng)n=m時，式(1) 成立，即:

(2)

當(dāng)n=m+1時，令:

則F(a)=0,G(a)=0,且:

(3)

顯然F(x)和G(x)在區(qū)間[a,b]上滿足柯西中值定理的條件，于是存在ξ1∈(a,b)，使得:

(4)

得到:

(5)

同理可得:

(6)

將式(5)和式(6)代入到式(4)可得:

(7)

(8)

將式(8)代入到式(7)，并記f'(x)=f1(x),g'(x)=g1(x),可得:

(9)

現(xiàn)對f1(x),g1(x)在區(qū)間[a1,b1]上應(yīng)用m階的柯西中值公式式(2)，于是存在:

(10)

最后，聯(lián)立式(3), (9), (10)可得:

因此由數(shù)學(xué)歸納法可知式(1)對一切自然數(shù)都成立,證畢.

注相比文獻(xiàn)[2]中的定理3，文獻(xiàn)[6]中的命題2，文獻(xiàn)[8]中的定理3，本文的定理1中的公式(1)更實用，因為它避免了前面定理中高階行列式的復(fù)雜計算.

下面給出本定理的2個推論.

推論1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

1)在閉區(qū)間[a,b]上都連續(xù)；

2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都2階可導(dǎo)；

3)對?x∈(a,b),都有g(shù)''(x)≠0.

則?ξ∈(a,b)，使得:

推論2設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

1)在閉區(qū)間[a,b]上都連續(xù)；

2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都3階可導(dǎo)；

3)對?x∈(a,b),都有g(shù)'''(x)≠0.

則?ξ∈(a,b)，使得:

參 考 文 獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].4版.北京：高等教育出版社，2010:128-136.

[2]張則增,周相泉,王娥.微分中值定理的推廣[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1998,13(3)：323-325.

[3]王曉翊.柯西中值定理的兩種推廣[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2013(1)：6-7.

[4]王娟，李力新，陳波，等.關(guān)于廣義柯西中值定理的一種推廣[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報,2010，16(5)：1-2.

[5]吳校良,相偉.柯西中值定理的推廣[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報,2008，14(4)：1-2.

[6]郭森明,謝雪軍.對柯西中值定理的若干認(rèn)識[J].宜春學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2006，28(6)：38,45.

[7]張發(fā)云.關(guān)于微分中值定理的一個推廣[J].玉溪師專學(xué)報(自然科學(xué)版),1991(3)：69-72.

[8]尹櫪.柯西中值定理的推廣及其“中間點(diǎn)”的漸近性[J].濱州學(xué)院學(xué)報,2005,21(3)：74-77.

(責(zé)任編輯吳鴻霞)

Generalization of Cauchy Mean Value Theorem to High Order

LuYongcui1,HuangHuaping1,2*,XinHua1,LiuWanzhen1,FuQin1

(1School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002;2School of Art and Science,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002)

Abstract：In this paper,by using mathematical induction,Cauchy mean value theorem for high order case is given.Moreover,the corresponding Cauchy mean value formula is also extended.Compared with the previous methods in the literature,the obtained techniques are much simpler,more straightforward and applicable.

Key words：Cauchy mean value theorem;Cauchy mean value formula;Continuity;Differentiability

中圖分類號：O172.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-4565(2016)02-0050-02

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.02.011

*通訊作者：黃華平，副教授，碩士，研究方向：函數(shù)論。

作者簡介：盧永翠，本科生。

基金項目：湖北省教育廳科學(xué)研究計劃指導(dǎo)性項目(項目編號：B2015137)；湖北師范學(xué)院本科生科研項目立項資助項目(項目編號：2014071)；湖北師范學(xué)院文理學(xué)院教學(xué)研究項目(項目編號：XJ201417)。

收稿日期：2016-01-26