董裕華

每年高考結(jié)束后，不少熱心人士都會(huì)不遺余力地搜集、整理高考題的不同解題方法，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有的解法非常平實(shí)，易于上手；有的解法精彩絕倫，令人拍案稱絕.其實(shí)，高考命題的一個(gè)原則就是不刻意追求解題的特殊技巧，每道題都能夠通過中學(xué)數(shù)學(xué)要求掌握的基本方法來解決，只不過有些同學(xué)把這些方法組合得比較巧妙，融會(huì)貫通，有些同學(xué)沒有能找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，甚至沒有能找到門路.盡管有些數(shù)學(xué)題有多種解法，有的甚至有十幾種、幾十種解法，但這些解法中具有普遍意義的通用解法也就一兩種而已，更多的是針對(duì)這個(gè)題目的專用解法，非通用解法作為興趣愛好去欣賞和研究是可以的，但我們不能把特殊技巧當(dāng)作學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而更應(yīng)關(guān)注具有普遍意義的方法和策略.

什么樣的解題方法才是最好的方法？學(xué)生最容易想到、最容易掌握的方法才是真正的好方法.雖然老師偶爾也會(huì)講一些技巧性較強(qiáng)的思想和方法，但我們千萬不能本末倒置，把常用的處理方法置之腦后.

例 設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=l，前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n>k時(shí)，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立.

評(píng)注 本題的第（2）問參考答案是從數(shù)列的遞推關(guān)系人手，作出來的解答關(guān)系式很多，令人望而生畏.很少有學(xué)生想到此法，即使想到，也很難在較短的時(shí)間內(nèi)完成.那么，這道題有沒有更一般、更自然的解決方法？

其實(shí)，我們可以運(yùn)用解數(shù)列題的常用方法，從特殊到一般，考察數(shù)列的前幾項(xiàng)，以此來尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)思路.

這道題難在何處？難在題目本身用集合語言來描述，題意難以把握；難在即使理解了題意，若用代數(shù)推理的方法得數(shù)列的遞推關(guān)系，需要反復(fù)迭代導(dǎo)致關(guān)系式過多，難以理清其關(guān)系.從第二種思路的角度看，本題很好地考查了學(xué)生探索問題的能力，而絕非冷冰冰的演繹推理.本題的方法與思路，在平時(shí)學(xué)習(xí)中就已經(jīng)有所涉及.如：

1.（蘇教版教材必修5第52頁例5）某人從2004年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房公積金貸款20萬元用于購(gòu)房，貸款的月利率為3.375%，并按復(fù)利計(jì)算.每月等額還貸一次，并從貸款后的次月開始?xì)w還.如果10年還清，那么每月應(yīng)還貸多少元？

分析 按照課本方法，畫出還貸示意圖，然后列出一般的關(guān)系式，可能難以理解.如果我們一步一步地分析：若2年還清呢？3年呢？…然后列出1O年還清的關(guān)系，進(jìn)而還可以列出n年還清的關(guān)系式，一切都容易理解.這種方法其實(shí)就是通過特殊項(xiàng)去探索數(shù)列的規(guī)律來解決問題.

2.如果等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，那么S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀是否成等差數(shù)列？你能得到更一般的結(jié)論嗎？

分析 本題是不是一定要用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來解？其實(shí)，我們用項(xiàng)來表示會(huì)更簡(jiǎn)單，也更有探索的味道.

這一方法的運(yùn)用遠(yuǎn)比知道這個(gè)結(jié)論后去套用結(jié)論解題帶來的簡(jiǎn)便有意思，也更有價(jià)值.

如果改為“S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）是否成等差數(shù)列”用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決就更復(fù)雜了，而用上述項(xiàng)表示出和來解決，結(jié)論顯而易見，而且知道S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m這個(gè)等差數(shù)列的公差為原來等差數(shù)列{a_n）公差的m²倍.

由此可見，高考題的解題方法沒有鉆牛角尖，是重視通性通法的，是我們可以學(xué)習(xí)和掌握的.