李迪淼

湖北2015年高考數(shù)學(xué)卷文理科都采用了這樣一道壓軸題：一種畫橢圓的工具如圖1所示.0是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞0轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動N繞0轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以0為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

（工）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動直線ι與兩定直線ι₁：x-2y=0和ι₂：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn).若直線ι總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

這是一道很有創(chuàng)意義緊扣學(xué)生所學(xué)知識方法的好題，其中第一題比較簡單，本文只就第二小題給出幾個有別于標(biāo)準(zhǔn)解答的解法和若干引申，意在拋磚引玉.

另解1 由第一小題知橢網(wǎng)方程為：x²+4y²=16，因而可設(shè)切點(diǎn)為E4cosθ，2sinθ），從而得切線PQ的方程：

顯然其中等號成立的充要條件是cos2θ=±1<=>PQ⊥x軸或PQ∥x軸，因此△OPQ的面積存在最小值，為8.

評注 該解法應(yīng)用橢圓的角參數(shù)方程建立起以角為白變量的面積函數(shù)關(guān)系式，再利用余弦函數(shù)的有界性獲得了答案，過程簡明，思路清晰，但要用到切線公式和有關(guān)三角公式.

解析2 因?yàn)闄E圓被直線l₁：x-2y=O和l₂：x+2y=0分割為四部分，根據(jù)對稱性則只需討論切點(diǎn)位于E和E'所處的兩個區(qū)域的情況即可（參見圖4）.

顯然其中等號成立的充要條件是y₀=O，即PQ⊥x軸，所以此時△OPQ的面積存在最小值8；

若切點(diǎn)位于圖4所示的E位置，同法可得當(dāng)PQ∥x軸時△OPQ的面積存在最小值8.

評注 該解法應(yīng)用橢圓的普通方程建立起以切點(diǎn)縱坐標(biāo)為白變量的面積函數(shù)關(guān)系式，再利用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性獲得了答案，思路清晰，但要用到切線公式和分類討論方法.

當(dāng)切點(diǎn)位于圖2所示的E'位置，同法可得△OPQ的面積存在最小值8.

評注 這里利用幾何直觀法迅速獲得了答案，但這要建立在堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和非凡的洞察力之上.

引申1 在直線l₁：x-2y=0上任取一點(diǎn)P作橢圓x²+4y²=16的兩條切線PQ和PQ'分別交直線l₂：x+2y=0于Q，Q'，則△POQ與△POQ'的面積相等.

故M是切點(diǎn)弦EE'的中點(diǎn).

另一方面，因?yàn)榍悬c(diǎn)弦EE'：bx₀z+ax₀y=a²b與直線l₂：bx+ay=0的斜率相而獲知△POQ與△POQ'的面積相等.證畢.

引申3 動直線l與兩定直線l₁：bx-ay=0和l₂：bx+ay=0分別交于P，Q兩點(diǎn).若直線l總與橢圓b²x²+a²y²=a²b²有且只有一個公共點(diǎn)，則△OPQ的面積的最小值是ab.

證明 由引申2及對稱性知只需考慮切點(diǎn)E位于∠POx的情況即可（參見圖7）.

當(dāng)PQ⊥x軸時，顯然S_△OPQ=ab；