李海英, 趙建英

(1. 內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2. 內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 社科與基礎(chǔ)教學(xué)部, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

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相干態(tài)在量子相空間中二維正態(tài)分布

李海英1,2, 趙建英2

(1. 內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2. 內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 社科與基礎(chǔ)教學(xué)部, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

摘要：將數(shù)理統(tǒng)計中的正態(tài)分布與物理學(xué)中的量子力學(xué)不確定性有效結(jié)合，通過二維正態(tài)分布密度函數(shù)和有序算符內(nèi)的積分技術(shù)，簡單有效地求得量子空間中粒子坐標(biāo)|x〉，動量本征態(tài)|p〉及相干態(tài)|z〉在 Fock 表象中的表達(dá)式，并證明其完備性.結(jié)果表明：通過采用數(shù)理統(tǒng)計及正規(guī)乘積方法，求證結(jié)果準(zhǔn)確，且大大簡化了求證過程.

關(guān)鍵詞：正態(tài)分布; 量子空間; 相干態(tài); 分布密度; 正規(guī)乘積

德國物理學(xué)家海森堡通過矩陣、正則變換、算符等數(shù)學(xué)語言創(chuàng)建算符與矩陣的關(guān)系式，提出物質(zhì)系統(tǒng)的光譜關(guān)系式、海森堡對易關(guān)系式、測不準(zhǔn)關(guān)系式、海森堡的矩陣力學(xué)方程等,以及數(shù)學(xué)化的矩陣力學(xué)理論闡述微觀世界的本質(zhì).利用具有統(tǒng)計性質(zhì)的幾率密度描述量子在空間中的運動情況，量子的粒子狀態(tài)則采用波函數(shù)描寫.通過宏觀的軌道參數(shù)方程無法判定量子某一時刻是出現(xiàn)在A點或是B點，只能通過波函數(shù)測算量子出現(xiàn)在空間中某一點的概率，微觀粒子無固定軌道運動.數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用已有很多報道[1].本文根據(jù)微觀粒子的不確定性(統(tǒng)計性質(zhì))與數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計中概率密度函數(shù)的相似性，利用二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)研究粒子的運動狀態(tài).

1一維正態(tài)分布

一維隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

(1)

式(1)中:μ,σ均為常數(shù)，若σ>0，則變量X服從常數(shù)μ,σ的正態(tài)分布.

2二維正態(tài)分布

如果二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，當(dāng)f(x,y)≥0時，對任意實數(shù)x,y都滿足

(2)

函數(shù)f(x,y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度或分布密度，如果其概率密度滿足

(3)

則二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

(4)

式(4)中:σ1,σ2,u1,u2,ρ均為已知參數(shù)，如果σ1>0,σ2>0，-1<ρ<1，則二維隨機(jī)變量(X,Y)服從參數(shù)σ1,σ2,u1,u2的二維正態(tài)分布.當(dāng)x,y,u1,u2的物理意義確定后，同樣可采用量子力學(xué)中的算符代替.

3正規(guī)乘積

正規(guī)乘積的以上性質(zhì)可簡化量子力學(xué)算符符號的積分運算，即正規(guī)乘積內(nèi)的積分技術(shù).

4坐標(biāo)和動量表象

狄拉克最早把“表象”引入量子力學(xué)中，表象主要描述在不同坐標(biāo)系下，體系的狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示形式[3].他把系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)看成抽象空間中的態(tài)矢量在某個表象中的表示，力學(xué)量的本征函數(shù)即此空間的一組基矢，完備性是基矢成為表象的必要條件.

設(shè)Q,P分別為量子力學(xué)中坐標(biāo)表象的坐標(biāo)算符和動量表象的動量，Q,P本征態(tài)分別為|x〉和|p〉.由狄拉克符合表示方法，有

(5)

(6)

式(6)中:h為普朗克常數(shù)，引用Q,P的湮滅算符a和產(chǎn)生算符a+，a和a+滿足厄米共扼關(guān)系，一維諧振子的哈密頓量[4]為

(7)

由式(7)可知:a，a+滿足

(8)

根據(jù)式(8)，可得

(9)

(10)

再根據(jù)正規(guī)乘積性質(zhì)和∶exp(-a+a)∶=|0〉〈0|，有

(11)

令

(12)

則式(12)改寫為

(13)

同理可證

(14)

式(13)，(14)是坐標(biāo)及動量本征態(tài)在Fock表象中的形式.在理論物理中，如果任意物理量A的算符A′作用在描述微觀體系狀態(tài)的某一狀態(tài)函數(shù)φ上，等于常數(shù)a乘以φ，即A′φ=aφ.則物理量A具有的確定數(shù)值a稱為物理量算符A′的本征值，φ稱為算符A′的本征態(tài)或本征函數(shù). 由式(13)，(14)可知：f(x,p)=|x〉〈x||p〉〈p|，由量子力學(xué)中量子狀態(tài)的完備性,可得

(15)

5相干態(tài)表象

湮滅算符的本征態(tài)為|z〉相干態(tài)，復(fù)數(shù)z則為本征值[6-11].取σ1=1,σ2=1,ρ=0，則式(10)變?yōu)?/p>

(16)

根據(jù)正規(guī)乘積性質(zhì)和∶exp(-a+a)∶=|0〉〈0|，聯(lián)合式(9)，(16)，有

(17)

(18)

(19)

6結(jié)束語

在量子力學(xué)中闡述粒子狀態(tài)是建立在幾率的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計特性，將量子空間中的粒子狀態(tài)與概率統(tǒng)計有效地結(jié)合，利用概率統(tǒng)計中的連續(xù)型二維正態(tài)分布密度函數(shù)，推導(dǎo)出量子力學(xué)中的坐標(biāo)表象、動量表象和相干態(tài)表象在Fock表象中的關(guān)系式.同時，簡捷地證明了其完備性.此方法不僅簡單、新穎、有效地簡化了推導(dǎo)過程，且很好地把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于量子力學(xué)基本表象.

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(責(zé)任編輯： 錢筠英文審校： 黃心中)

Two Variable Normal Distribution of Coherent States in Quantum Space

LI Haiying1.2, ZHAO Jianying2

(1. Mathematical School, Inner Mongolia Normal University, Hohhot 010022, China;2. Department of Social Sinence and Basic teaching, Inner Mongolia Business and Trade College， Hohhot 010070， China)

Abstract：Normal distribution in mathematical statistics and the uncertainty of quantum mechanics in physics are effectively combined, by two dimensional normal distribution density function and orderly operator of integral technology, simple quantum particle in the space coordinate |x〉, momentum intrinsic state |p〉 and coherent state |z〉expression in Fock representation are obtained effectively, and its completeness is also proved. By using mathematical statistics and normal product method, we show that the obtained result is not only accurate but also greatly simplifies the process of verification.

Keywords：normal distribution; puantum space; coherent state; density function; normal product

中圖分類號：O 211.3; O 413.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究基金資助項目(NJZY16399)； 中國教育學(xué)會“十一五”科研規(guī)劃重點基金資助項目(ZY0084)

通信作者：李海英(1968-)，女，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)的研究.E-mail:sunjinpo838@163.com.

收稿日期：2016-03-03

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.03.0391

文章編號：1000-5013(2016)03-0391-04