溫振庶

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

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(N+1)維廣義的Boussinesq方程的精確顯式非線性波解

溫振庶

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

摘要：研究(N+1)維廣義的Boussinesq方程的非線性波解.利用動力系統(tǒng)定性理論和分支方法,獲得它的多種非線性波解的精確顯式表達式，這些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解.

關鍵詞：(N+1)維廣義的Boussinesq方程； 孤立波解； 爆破解； 周期爆破解； 扭波型解

2007年，Yan[1]引入(N+1)維廣義的Boussinesq方程,即

(1)

式(1)中：τ≠0是常數(shù)；N>1是一個整數(shù).文獻[1]利用半行波相似變換得到幾類解.Guo等[2]采用輔助方程方法得到方程(1)的幾種Jacobi橢圓函數(shù)解.Liu等[3]研究(2+1)維Boussinesq方程的精確周期孤立波解，即

(2)

Abdel等[4]研究(2+1)維廣義的Boussinesq方程的孤立波解，即

(3)

本文從動力系統(tǒng)的角度[4-21]研究方程(1)的非線性波解，獲得它的多種非線性波解的精確顯式表達式，這些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解.

1分支相圖

(4)

對式(4)積分兩次，并設積分常數(shù)為0，得到

(5)

令y=φ′，得到一個平面系統(tǒng),即

(6)

其首次積分為

(7)

假設(φi,0)是系統(tǒng)(6)的一個奇點，系統(tǒng)(6)的線性化系統(tǒng)在奇點(φi,0)的特征值為

根據(jù)動力系統(tǒng)的定性理論，有如下引理1.

引理1當n是偶數(shù)時，有

1) 如果c2-N>0，且τ>0，則φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一個鞍點，而(φ1,0)是一個中心.

2) 如果c2-N>0，且τ<0，則φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一個鞍點，而(φ1,0)是一個中心.

3) 如果c2-N<0，且τ>0，則φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一個中心，而(φ1,0)是一個鞍點.

4) 如果c2-N<0，且τ<0，則φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一個中心，而(φ1,0)是一個鞍點.

當n是奇數(shù)時，有

1) 如果c2-N>0，且τ>0，則-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一個鞍點，而(±φ1,0)是中心.

2) 如果c2-N<0，且τ<0，則-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一個中心，而(±φ1,0)是鞍點.

證明通過分析系統(tǒng)(6)的線性化系統(tǒng)在奇點的特征值，很容易證明引理1.

因此，基于以上分析，得到系統(tǒng)(6)的分支相圖如圖1，2所示.

(a) c2-N>0，τ>0　　　　　　　　　　　　　　　　(b) c2-N>0，τ<0

(c) c2-N<0，τ>0　　　　　　　　　　　　　　　　(d) c2-N<0，τ<0圖1　當n為偶數(shù)時系統(tǒng)(6)的分支相圖Fig.1　Phase portraits of system (6) when n is even

(a) c2-N>0，τ>0　　　　　　　　　　　　　　　　(b) c2-N<0，τ<0圖2　當n為奇數(shù)時系統(tǒng)(6)的分支相圖Fig.2　Phase portraits of system (6) when n is odd

2主要結(jié)果及其理論證明

命題11) 當n為偶數(shù)，且c2-N>0時，方程(1)有孤立波解、爆破解，表達式分別為

(8)

(9)

2) 當n為偶數(shù)，且c2-N<0時，方程(1)有周期爆破解，表達式為

(10)

證明1) 當c2-N>0時，在圖1(a)和圖1(b)中有一條通過鞍點(φ0,0)的同宿軌.根據(jù)式(7)可以得到同宿軌的表達式為

(11)

(12)

把式(11)或式(12)代入系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著同宿軌積分，得到

(13)

(14)

(15)

(16)

根據(jù)式(13)或式(14)，得到式(8)中的孤立波解u1；而根據(jù)式(15)或式(16)，可以得到式(9)中的爆破解u2.

2) 當c2-N<0時，在圖1(c)和圖1(d)中有一條與中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的軌道.根據(jù)式(7)，此軌道的表達式為式(11)或式(12).把式(11)或式(12)代入到系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著此軌道積分，得到式(15)或式(16).由此，得到式(10)中的周期爆破解u3.

命題21) 當n為偶數(shù)，且c2-N<0時，方程(1)有孤立波解和爆破解.特別地，取n=2，孤立波解和爆破解的表達式分別為

(17)

(18)

2) 當n為偶數(shù)，且c2-N>0時，方程(1)有周期爆破解.特別地，取n=2，周期爆破解的表達式為

(19)

證明1) 當c2-N<0時，在圖1(c)和圖1(d)中有一條通過鞍點(φ1,0)的同宿軌.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特別地，取n=2，則由式(7)，得到同宿軌的表達式為

(20)

(21)

把式(20)或式(21)代入到系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著同宿軌積分，得到

(22)

(23)

(24)

(25)

由式(22)或式(23)，得到式(17)的孤立波解u4，而根據(jù)式(24)或式(25)，得到式(18)的爆破解u5.

2) 當c2-N>0時，在圖1(a)和圖1(b)中有一條與中心(φ1,0)的Hamiltonian相同的軌道.

由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特別地，取n=2，則由式(7)，把式(20)或式(21)代入系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著此軌道積分，可以得到式(24)或式(25).由此，也就得到式(19)中的周期爆破解u6.

命題31) 當n為奇數(shù)，且c2-N>0,τ>0時，方程(1)有孤立波解，表達式為

(26)

2) 當n為奇數(shù)，且c2-N<0,τ<0時，方程(1)有周期爆破解，即

(27)

此外，方程(1)有扭波型解和爆破解.特別地，取n=3，扭波型解和爆破解的表達式分別為

(28)

(29)

式(28)中：β≥0是一個實數(shù).

特別地，取n=5，扭波型解為

(30)

式(30)中：γ是一個任意的實數(shù).

此外，圖2(b)中還有兩條連接兩個鞍點(φ1,0)和(-φ1,0)的異宿軌，由分支方法知，方程(1)有扭波型解和爆破解.特別地，取n=3，則由式(7)，異宿軌的表達式為

(31)

把式(31)代入到系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著異宿軌積分，得到

(32)

(33)

類似地，取n=5，異宿軌的表達式為

(34)

把式(34)代入系統(tǒng)(6)的第一個方程，并沿著異宿軌積分，得到

(35)

3結(jié)束語

利用動力系統(tǒng)定性理論和分支方法，研究(N+1)維廣義的Boussinesq方程的非線性波解，獲得它的多種非線性波解的精確顯式表達式，這些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解.

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(責任編輯： 陳志賢英文審校：黃心中 )

Exact Explicit Nonlinear Wave Solutions for the (N+1)-Dimensional Generalized Boussinesq Equation

WEN Zhenshu

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

Abstract：In this paper, we study the nonlinear wave solutions for the (N+1)-dimensional generalized Boussinesq equation. Using the bifurcation method and qualitative theory of dynamical systems, we obtain many exact explicit expressions of the nonlinear wave solutions for the equation. These solutions contain solitary wave solutions, blow-up solutions, periodic blow-up solutions, and kink-shaped solutions.

Keywords：(N+1)-dimensional generalized boussinesq equation; solitary wave solutions; blow-up solutions; periodic blow-up solutions; kink-shaped solutions

中圖分類號：O 175.29

文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61573004， 11401230)； 福建省自然科學基金資助項目(2015J05008)； 福建省教育廳科技項目(JA14023)

通信作者：溫振庶(1984-)，男，副教授，博士，主要從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究.E-mail:wenzhenshu@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-11-19

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.03.0380

文章編號：1000-5013(2016)03-0380-06