李科贊　祝光湖　劉期懷

摘要：任何數(shù)學(xué)概念的提出都具有相應(yīng)的實際背景和理論意義，雖然教材上已給出了相應(yīng)的經(jīng)典實例，但有些例子與學(xué)生的實現(xiàn)生活環(huán)境聯(lián)系得不夠緊密。在科教協(xié)同理念下，本文通過收集教師科研中的實例或與學(xué)生息息相關(guān)的生活例子，以此再現(xiàn)理論知識在具體問題中的應(yīng)用，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性以及加深學(xué)生對相關(guān)概念的理解。

關(guān)鍵詞：協(xié)同理念；數(shù)學(xué)課堂；案例

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）34-0176-02

一、引言

課堂教學(xué)是高校人才培養(yǎng)中最為重要的環(huán)節(jié)，為了進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量和解決當(dāng)下若干突出的教與學(xué)之間的矛盾，課堂教學(xué)方法的改革必須與時俱進(jìn)，務(wù)實求新[1-6]。當(dāng)下存在的主要問題包括：（1）學(xué)生上課的積極性不夠高。作為教師，面對此種情形，應(yīng)該要想方設(shè)法進(jìn)行教學(xué)方式的調(diào)整和改革，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，為提高教學(xué)效果和質(zhì)量奠定基礎(chǔ)。（2）學(xué)生對理論知識的理解和把握能力嚴(yán)重不足。數(shù)學(xué)是一門極其抽象的科學(xué)，傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容學(xué)生普遍感覺理論性太強(qiáng)、定理太多、公式太多、知識點太多。通過平時的交流和課程考試情況分析來看，學(xué)生對基礎(chǔ)理論知識掌握得很不好，因此，必須在教學(xué)方式方法上進(jìn)行適度改革。

我們的科研方向之一是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的同步動力學(xué)與傳播動力學(xué)研究，基于此研究方向以及日常生活事件，針對《數(shù)學(xué)分析I》中的各章[7，8]，分別例舉一至兩個實例，在課堂中向?qū)W生們進(jìn)行介紹，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性以及加深他們對相關(guān)概念的理解力，并且讓學(xué)生們體會到數(shù)學(xué)知識在解決實際問題中的重要性。

二、案例收集

1.實數(shù)集與函數(shù)。

例1.1 實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，其他實數(shù)皆為有理數(shù)，如果一個數(shù)是實數(shù)的話，那么一定可以寫成p/q的形式，其中p，q為整數(shù)，q≠0，否則就是無理數(shù)。生活當(dāng)中我們與實數(shù)常常打交道，例如大家平時去超市購物，所花費(fèi)的費(fèi)用都是實數(shù)，費(fèi)用屬于[0，+∞）這樣一個實數(shù)集合，并且是有理數(shù)；同學(xué)們的考試成績都是實數(shù)，并且成績通常屬于閉區(qū)間[0，100]這樣一個實數(shù)集合；同學(xué)們中學(xué)階段常常用到的圓周率π也是實數(shù)，并且它是一個無理數(shù)。實數(shù)集具有完備性，即連續(xù)性，此內(nèi)容將在本門課程中詳細(xì)講解。

例1.2 假設(shè)本班有n個學(xué)生，從1開始對每個學(xué)生進(jìn)行編號，這樣的話，每個編號就對應(yīng)一個體重，不會出現(xiàn)“存在一個編號對應(yīng)著兩個不同體重”的情況。事實上，這種對應(yīng)關(guān)系就確定了一個函數(shù)。定義域為D={1，2…，n}，對應(yīng)法則f為“每個編號對應(yīng)著該學(xué)生的體重”。

2.數(shù)列極限。

例2.1 奧運(yùn)會中，每個運(yùn)動項目都有世界紀(jì)錄，這個紀(jì)錄就是今后其他運(yùn)動員挑戰(zhàn)的極限，當(dāng)然，該極限與我們數(shù)學(xué)中的極限還是區(qū)別的。因為當(dāng)世界紀(jì)錄被打破之后，該極限就不是極限了，而數(shù)學(xué)中的極限具有唯一性。設(shè)數(shù)列{a■}的極限為a，則當(dāng)下標(biāo)n充分大時，a■與a充分接近，其中a為一個確定的有限的數(shù)。

例2.2 利用Matlab求數(shù)列{1/2■}以及{2■}的極限。

針對數(shù)列{1/2■}的Matlab程序可如下編輯：

n=100；

an=zeros（1，n）； %定義數(shù)列的一般項

for i=1∶n %利用for循環(huán)語句

an（i）=1/（2^i）； %計算一般項的值

end

plot（an）；

該程序運(yùn)行的結(jié)果隨著n充分大時，1/2■與0充分接近，因此該數(shù)列的極限為0。

針對數(shù)列{2■}的Matlab程序可如下編輯：

n=20；

an=zeros（1，n）； %定義數(shù)列的一般項

for i=1∶n %利用for循環(huán)語句

an（i）=2^i； %計算一般項的值

end

plot（an）；

該程序運(yùn)行的結(jié)果隨著n充分大時，{2■}趨向于無窮大，不與任何的有限數(shù)靠近，因此該數(shù)列沒有極限。

3.函數(shù)極限。

例3.1 當(dāng)前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動力學(xué)是學(xué)術(shù)界的一個熱點研究課題，該問題與人類的健康與生存息息相關(guān)。在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學(xué)時，常常會碰到這樣一個函數(shù)I（t），它表示在t時刻整個網(wǎng)絡(luò)中感染個體的密度，例如網(wǎng)絡(luò)總?cè)丝跒?000人，如果在 時刻有500人被感染某種傳染性疾病，則I（t）=0.5。一個重要的理論問題是，在什么樣的條件下當(dāng)t→+∞有

I（t）→0。這個問題就牽扯到一個極限問題，它涉及到動力系統(tǒng)中平衡點的穩(wěn)定性問題。

4.函數(shù)的連續(xù)性。

例4.1 設(shè)T（t）表示在t時刻的氣溫，當(dāng)時間變化很小時，氣溫的變化也很小，從而T（t）是連續(xù)函數(shù)。大家在使用鼠標(biāo)的時候，如果設(shè)置合理的話，當(dāng)你輕微地移動鼠標(biāo)的時候，電腦屏幕上的光標(biāo)也會輕微地移動，即連續(xù)地移動；如果設(shè)置不合理，或者設(shè)備出現(xiàn)故障，當(dāng)你輕微移動鼠標(biāo)的時候，電腦屏幕上的光標(biāo)會劇烈地移動，即不連續(xù)地移動。

例4.2 近二十年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的同步動力學(xué)是學(xué)術(shù)界的一個熱點研究課題，它在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，例如保密通訊、參數(shù)辨識以及多智能體系統(tǒng)的一致性等。設(shè)x（t），y（t）是兩個不同系統(tǒng)的狀態(tài)變量，當(dāng)t→+∞時，如果有x（t）→y（t），則稱x（t）和y（t）同步，這里一個通常假定的前提條件是x（t）和y（t）都是關(guān)于時刻t的連續(xù)函數(shù)。

5.導(dǎo)數(shù)和微分。

例5.1 無論是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的同步動力學(xué)，還是傳染病動力學(xué)，常被研究的數(shù)學(xué)模型可以抽象為以下的常微分方程：

■=f（x（t））

我們可以看到，該方程的左邊就是函數(shù)x（t）對時間t的導(dǎo)數(shù)，f（x（t））指的就是函數(shù)x（t）的變化率，x（t）的變化規(guī)律完全由f（x（t））確定。進(jìn)一步，我們可以得到

dx（t）=f（x（t））dt

這里dx（t）就是函數(shù)x（t）的微分。

6.微分中值定理及其應(yīng)用。

例6.1 網(wǎng)絡(luò)傳播閾值分析是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播動力學(xué)的一個關(guān)鍵問題。在求解傳播閾值時，常常會討論自我維持方程的非平凡根（非零根）的存在性問題，針對該問題可以利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解決。

該問題可如下描述：

考慮自我維持方程θ=■■kp（k）■

其中θ表示在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一條邊并指向感染節(jié)點的概率，p（k）表示網(wǎng)絡(luò)的度分布函數(shù)，定義為在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一個節(jié)點，其度為k的概率，〈k〉=

∑kp（k）表示網(wǎng)絡(luò)的平均度，λ為疾病的傳染率，即健康個體與感染個體接觸時，在單位時間內(nèi)健康個體被感染的概率。問題是：在什么條件下上述關(guān)于θ的方程存在非零根？為此，記上式右邊為f（θ）顯然非負(fù)函數(shù)f（θ），θ∈[0，1]可導(dǎo)，且滿足f（0）=0，f（1）<1。結(jié)合幾何分析，容易得到，只要f'（0）≥1，則θ=f（θ）至少存在一個非零根。

三、結(jié)束語

在科教協(xié)同理念下，本文針對《數(shù)學(xué)分析I》課程的各個章節(jié)，分別給出了一些具有代表性的案例，力求趣味性和實用性。通過這些案例的收集，必將豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的魅力。同時，結(jié)合Matlab數(shù)學(xué)軟件，將一些數(shù)學(xué)問題以比較直觀的方式展示出來，不僅使學(xué)生加深了對基本概念的理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的能力。

在今后的教學(xué)過程中，我們將進(jìn)一步完善案例收集和分析工作，保留學(xué)生感興趣且容易理解的案例，并不斷增加案例庫的內(nèi)容，為提升課堂教學(xué)質(zhì)量打下良好的教學(xué)資源基礎(chǔ)。

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