向文 黃友霞

摘要：《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》這兩門課的內(nèi)容差異大，但也有不少知識(shí)點(diǎn)具有相同性，很多方法和結(jié)論相互滲透，本文探討了《高等數(shù)學(xué)》與《線性代數(shù)》課程內(nèi)容的一些相通性。

關(guān)鍵詞：《高等數(shù)學(xué)》；《線性代數(shù)》；相通性

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）32-0196-02

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》的作用越來越重要，它們是高等院校培養(yǎng)應(yīng)用型人才重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課?！陡叩葦?shù)學(xué)》主要學(xué)習(xí)的是微積分方面的知識(shí)，《線性代數(shù)》主要學(xué)習(xí)的是幾何方面的知識(shí)。由于課程內(nèi)容的不同，部分高校在課程安排上往往一個(gè)教師要么只教《高等數(shù)學(xué)》，要么只教《線性代數(shù)》，從而在教學(xué)時(shí)往往忽略了引導(dǎo)學(xué)生去思考這兩門課程中的一些相通性。實(shí)際上，看似兩門完全不同的課程之間實(shí)有許多相通之處，而讓學(xué)生了解和掌握這些相通性不但有利于更好地掌握這兩門課程，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、思考和總結(jié)的能力，所學(xué)知識(shí)真正做到融會(huì)貫通。

幾年來，筆者一直在教學(xué)一線，既承擔(dān)《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)，也承擔(dān)《線性代數(shù)》的教學(xué)。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了一些這兩門課程的相通性，下面介紹幾點(diǎn)。

一、《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》課程中部分定義和結(jié)論的相通性

4.方程解的結(jié)構(gòu)。在《線性代數(shù)》中，當(dāng)非齊次線性方程組Ax=b有無窮解時(shí)，其解可以表示為對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的通解加上非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解。在《高等數(shù)學(xué)》中，非齊次線性微分方程的通解也有類似的結(jié)構(gòu)，即也可表示成對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解加上非齊次微分方程的特解。線性方程組和線性微分方程除了解結(jié)構(gòu)類似外，解的性質(zhì)也完全一樣。

二、《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》課程中部分量運(yùn)算的相通性

在《線性代數(shù)》中有一個(gè)重要的量——矩陣，故對(duì)矩陣的運(yùn)算作了大量的介紹，有矩陣的加法、矩陣的減法、矩陣的乘法，但是沒有矩陣的除法這一說法。在《高等數(shù)學(xué)》中，極限部分有個(gè)關(guān)鍵量無窮小，兩個(gè)無窮小相加、相減、相乘仍然是無窮小，但是兩個(gè)無窮小相除不一定是無窮小。這個(gè)特點(diǎn)和矩陣的運(yùn)算特點(diǎn)類似，即對(duì)除法運(yùn)算的特殊性。矩陣無除法運(yùn)算，無窮小相除不一定為無窮小，它們雖然沒有除法運(yùn)算或性質(zhì)對(duì)除法運(yùn)算的不成立性，但是它們都有特殊的運(yùn)算來代替，矩陣有矩陣的逆運(yùn)算，無窮小可以通過相除來比較無窮小的階數(shù)。

三、《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》課程對(duì)學(xué)生逆向思維培養(yǎng)的相通性

逆向思維是從原問題的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向進(jìn)行思考的一種思維。它反映了思維過程的間斷性、突變性和多向性，有利于培養(yǎng)思維的靈活性，常常可以幫助學(xué)生尋找新的思路、新的方法，開拓新的知識(shí)領(lǐng)域。在《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》課程中，都大量存在對(duì)定理、結(jié)論的逆否命題的采用，因而兩門課程在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力方面具有相通性。我們來看幾個(gè)例子。

命題1：如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則齊次線性方程組只有零解。而在實(shí)際的解題過程中，往往用其逆否命題：如果齊次線性方程組有非零解，則齊次線性方程組的系數(shù)行列式等于0。

命題2：如果向量組中有一部分向量（部分組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。在向量組中相關(guān)性判斷中，也常常用到其逆否命題形式。線性無關(guān)的向量組中的任何一部分組皆線性無關(guān)。再比如，若向量組線性無關(guān)，則其升維組也線性無關(guān)。其逆否命題：若一個(gè)向量組線性相關(guān)，則其降維組也線性相關(guān)。這些結(jié)論在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中是比較難以區(qū)分的，若弄清楚兩兩之間的關(guān)系，不但有利于逆向思維的培養(yǎng)，而且學(xué)習(xí)起來也會(huì)事半功倍。

上面只是列舉了這兩門課程中的幾個(gè)例子，實(shí)際這種逆向思維的訓(xùn)練在兩門課程中還有很多。文獻(xiàn)[1]中還介紹了利用反例、反問題等來培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的兩門重要基礎(chǔ)課，雖然這兩門課解題方法有些差異，卻密切相關(guān)。除了上面介紹的幾個(gè)方面外，還在很多方面都有內(nèi)在的滲透[2-7]。例如二次型在函數(shù)極值、不等式中有著重要的應(yīng)用，線性空間理論也可用于數(shù)列極限的求解，矩陣、行列式在高等數(shù)學(xué)中的向量積、混合積、旋度、Stokes公式等知識(shí)點(diǎn)中都有具體的應(yīng)用。而另一方面，高等數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容，譬如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等都可廣泛地應(yīng)用于線性代數(shù)眾多章節(jié)之中。教師在教學(xué)過程中應(yīng)該抓住這些相通性及相互滲透的知識(shí)點(diǎn)，將這兩門課的內(nèi)容更好地交叉、融合。

參考文獻(xiàn)：

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